Страница 189 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите показатель преломления воды относительно алмаза и серо-углерода относительно льда.

Дано:

Для решения задачи используются справочные значения абсолютных показателей преломления веществ:

• Абсолютный показатель преломления воды: $n_{воды} = 1.33$
• Абсолютный показатель преломления алмаза: $n_{алмаза} = 2.42$
• Абсолютный показатель преломления сероуглерода: $n_{сероуглерода} = 1.63$
• Абсолютный показатель преломления льда: $n_{льда} = 1.31$

Найти:

1. Показатель преломления воды относительно алмаза: $n_{вода-алмаз}$
2. Показатель преломления сероуглерода относительно льда: $n_{сероуглерод-лед}$

Решение:

Относительный показатель преломления среды 2 относительно среды 1 ($n_{21}$) определяется как отношение их абсолютных показателей преломления ($n_2$ и $n_1$ соответственно):

$n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$

где $n_2$ — это абсолютный показатель преломления среды, в которую свет переходит, а $n_1$ — абсолютный показатель преломления среды, из которой свет падает.

Вычисление показателя преломления воды относительно алмаза

В этом случае свет переходит из алмаза (среда 1) в воду (среда 2). Следовательно, относительный показатель преломления вычисляется по формуле:

$n_{вода-алмаз} = \frac{n_{воды}}{n_{алмаза}}$

Подставляем числовые значения из справочных данных:

$n_{вода-алмаз} = \frac{1.33}{2.42} \approx 0.54958$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$n_{вода-алмаз} \approx 0.550$

Ответ: 0.550

Вычисление показателя преломления сероуглерода относительно льда

Здесь свет переходит из льда (среда 1) в сероуглерод (среда 2). Формула для расчета будет следующей:

$n_{сероуглерод-лед} = \frac{n_{сероуглерода}}{n_{льда}}$

Подставляем числовые значения:

$n_{сероуглерод-лед} = \frac{1.63}{1.31} \approx 1.24427$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$n_{сероуглерод-лед} \approx 1.24$

Ответ: 1.24

2. Сечение призмы представляет собой равносторонний треугольник. Луч проходит сквозь призму, преломляясь в точках, равноотстоящих от вершины (рис. 7.27). Чему равно наибольшее допустимое значение показателя преломления вещества призмы?

Дано:

Найти:

Решение:

Рассмотрим прохождение луча света через призму. Пусть $\alpha_1$ - угол падения на первую грань, $\beta_1$ - угол преломления в призме. Пусть $\beta_2$ - угол падения на вторую грань изнутри призмы, и $\alpha_2$ - угол выхода из призмы. Показатель преломления призмы обозначим как $n$.

Закон преломления света (закон Снеллиуса) на первой и второй гранях призмы имеет вид:

$n_0 \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

$n \sin \beta_2 = n_0 \sin \alpha_2$

Поскольку окружающая среда - воздух, принимаем $n_0 = 1$:

$\sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

$n \sin \beta_2 = \sin \alpha_2$

Углы $\beta_1$ и $\beta_2$ связаны с преломляющим углом призмы $\phi$ соотношением:

$\beta_1 + \beta_2 = \phi$

В условии задачи сказано, что точки преломления на гранях призмы равноудалены от вершины. Это означает, что путь луча внутри призмы симметричен относительно биссектрисы преломляющего угла. При симметричном ходе луча выполняются условия:

$\alpha_1 = \alpha_2$ и $\beta_1 = \beta_2 = \beta$

Тогда из соотношения для углов получаем:

$2\beta = \phi$

Так как сечение призмы - равносторонний треугольник, все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, преломляющий угол призмы $\phi = 60^\circ$.

$\beta = \frac{\phi}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь подставим это значение в закон Снеллиуса для первой грани:

$\sin \alpha_1 = n \sin 30^\circ = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

Для того чтобы луч мог войти в призму, должен существовать действительный угол падения $\alpha_1$. Максимальное возможное значение синуса угла равно 1 (что соответствует углу падения $\alpha_1 = 90^\circ$, т.е. скользящему падению).

Следовательно, должно выполняться условие:

$\sin \alpha_1 \le 1$

$\frac{n}{2} \le 1$

Отсюда находим максимально допустимое значение показателя преломления $n$:

$n \le 2$

Таким образом, наибольшее допустимое значение показателя преломления вещества призмы, при котором возможен описанный в задаче ход луча, равно 2.

Ответ: $n_{max} = 2$.

3. Изобразите ход лучей через треугольную стеклянную призму, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник. Лучи падают на призму, как показано на рисунке 7.28. Останется ли ход лучей таким же, если призму погрузить в воду?

Дано:

Призма изготовлена из стекла, основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник.
Показатель преломления стекла: $n_{ст} = 1.5$
Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1.0$
Показатель преломления воды: $n_{воды} \approx 1.33$
Падающий луч перпендикулярен одному из катетов призмы (стандартное условие для таких задач, предполагаемое из контекста).

Найти:

1. Проследить и описать ход лучей через призму, находящуюся в воздухе.
2. Определить, изменится ли ход лучей, если призму поместить в воду.

Решение:

Изобразите ход лучей через треугольную стеклянную призму, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник. Лучи падают на призму, как показано на рисунке 7.28.

Рассмотрим ход луча через призму, когда она находится в воздухе.

1. Граница воздух-стекло (вход в призму).
Луч света падает на боковую грань (катет) призмы перпендикулярно ее поверхности. Это означает, что угол падения равен $0^\circ$. Согласно закону преломления света ($n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$), угол преломления также будет равен $0^\circ$. Таким образом, луч входит в призму, не изменяя своего направления.

2. Движение внутри призмы и падение на гипотенузу.
Внутри призмы луч движется прямолинейно до встречи с гипотенузой. Поскольку основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник, его острые углы равны $45^\circ$. Из геометрических построений следует, что угол падения $\alpha$ луча на гипотенузу равен $45^\circ$.

3. Граница стекло-воздух (на гипотенузе).
Свет пытается перейти из оптически более плотной среды (стекло) в менее плотную (воздух). В этом случае может наблюдаться явление полного внутреннего отражения (ПВО). Для этого угол падения должен быть больше или равен предельному углу $\alpha_{пред}$. Найдем предельный угол для границы стекло-воздух: $$ \sin \alpha_{пред} = \frac{n_{возд}}{n_{ст}} = \frac{1.0}{1.5} \approx 0.667 $$ $$ \alpha_{пред} = \arcsin(0.667) \approx 42^\circ $$

Сравниваем угол падения с предельным углом: $\alpha = 45^\circ > \alpha_{пред} \approx 42^\circ$. Так как угол падения больше предельного, происходит полное внутреннее отражение. Луч не выходит из призмы через гипотенузу, а полностью отражается от нее.

4. Выход луча из призмы.
Согласно закону отражения, угол отражения равен углу падения, то есть $45^\circ$. Отраженный от гипотенузы луч направляется ко второй боковой грани (второму катету) и падает на нее перпендикулярно (под углом $0^\circ$). При выходе из призмы в воздух луч снова не преломляется.

В результате луч света поворачивается на $90^\circ$ относительно своего первоначального направления.

Ответ: В воздухе луч света, падающий перпендикулярно на катет призмы, испытывает полное внутреннее отражение от гипотенузы и выходит перпендикулярно через второй катет, изменив свое направление движения на $90^\circ$.

Останется ли ход лучей таким же, если призму погрузить в воду?

Теперь рассмотрим случай, когда та же призма погружена в воду.

1. Движение внутри призмы.
Вход луча в призму и его движение до гипотенузы остаются без изменений. Луч по-прежнему подходит к гипотенузе под углом падения $\alpha = 45^\circ$.

2. Граница стекло-вода (на гипотенузе).
Теперь внешняя среда — вода. Свет пытается перейти из стекла ($n_{ст} = 1.5$) в воду ($n_{воды} = 1.33$). Поскольку $n_{ст} > n_{воды}$, полное внутреннее отражение теоретически возможно. Найдем новый предельный угол $\alpha'_{пред}$ для границы стекло-вода: $$ \sin \alpha'_{пред} = \frac{n_{воды}}{n_{ст}} = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887 $$ $$ \alpha'_{пред} = \arcsin(0.887) \approx 62.5^\circ $$

Сравним угол падения с новым предельным углом: $\alpha = 45^\circ < \alpha'_{пред} \approx 62.5^\circ$. В этом случае угол падения меньше предельного угла, поэтому полного внутреннего отражения не произойдет. Луч света преломится и выйдет из призмы в воду через гипотенузу.

3. Преломление на границе стекло-вода.
Угол преломления $\beta$ можно найти из закона Снеллиуса: $$ n_{ст} \sin \alpha = n_{воды} \sin \beta $$ $$ \sin \beta = \frac{n_{ст}}{n_{воды}} \sin \alpha = \frac{1.5}{1.33} \sin 45^\circ \approx 1.128 \times 0.707 \approx 0.797 $$ $$ \beta = \arcsin(0.797) \approx 53^\circ $$

Таким образом, луч выйдет из гипотенузы в воду под углом около $53^\circ$ к нормали.

Ответ: Нет, ход лучей не останется таким же. При погружении призмы в воду явление полного внутреннего отражения на гипотенузе исчезает, так как угол падения ($45^\circ$) становится меньше нового предельного угла ($\approx 62.5^\circ$). В результате луч не отражается, а преломляется и выходит из призмы в воду через гипотенузу. Ход лучей кардинально меняется.