Страница 196 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. С помощью очень тонких одинаковых сегментов изготовлены четыре двояковогнутые линзы. Показатель преломления глицерина больше, чем показатель преломления воды. У собирающей линзы

1) между стёклами глицерин, окружающая среда — воздух

2) между стёклами вода, окружающая среда — воздух

3) между стёклами глицерин, окружающая среда — вода

4) между стёклами вода, окружающая среда — глицерин

Дано:

Четыре двояковогнутые линзы, изготовленные из очень тонких одинаковых сегментов.
Показатель преломления глицерина: $n_{глицерина}$.
Показатель преломления воды: $n_{воды}$.
Показатель преломления воздуха: $n_{воздуха}$.
Известно, что $n_{глицерина} > n_{воды}$.
Также известно, что вода и глицерин оптически плотнее воздуха, то есть $n_{воды} > n_{воздуха}$ и $n_{глицерина} > n_{воздуха}$.
Общее соотношение: $n_{глицерина} > n_{воды} > n_{воздуха}$.

Найти:

Какая из представленных линз является собирающей.

Решение:

Оптическая сила тонкой линзы $D$ определяется по формуле: $D = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$, где $n_{линзы}$ — показатель преломления материала линзы, $n_{среды}$ — показатель преломления окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны ее поверхностей.

Линза является собирающей, если ее оптическая сила положительна ($D > 0$). Для двояковогнутой линзы, которая тоньше в центре, чем по краям, геометрический множитель $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ всегда отрицателен.

Чтобы оптическая сила $D$ была положительной, необходимо, чтобы и первый множитель в формуле был отрицательным: $\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1 < 0$

Это неравенство выполняется только при условии, что $n_{линзы} < n_{среды}$. Таким образом, двояковогнутая линза становится собирающей, если показатель преломления вещества, из которого она сделана, меньше показателя преломления окружающей среды.

Проанализируем каждый из четырех случаев.

1) между стёклами глицерин, окружающая среда — воздух

В этом случае $n_{линзы} = n_{глицерина}$, а $n_{среды} = n_{воздуха}$. Поскольку $n_{глицерина} > n_{воздуха}$, условие $n_{линзы} < n_{среды}$ не выполняется. Следовательно, линза будет рассеивающей.

Ответ: Линза является рассеивающей.

2) между стёклами вода, окружающая среда — воздух

Здесь $n_{линзы} = n_{воды}$, а $n_{среды} = n_{воздуха}$. Так как $n_{воды} > n_{воздуха}$, условие $n_{линзы} < n_{среды}$ не выполняется. Линза будет рассеивающей.

Ответ: Линза является рассеивающей.

3) между стёклами глицерин, окружающая среда — вода

Здесь $n_{линзы} = n_{глицерина}$, а $n_{среды} = n_{воды}$. Согласно условию задачи, $n_{глицерина} > n_{воды}$, поэтому условие $n_{линзы} < n_{среды}$ не выполняется. Линза будет рассеивающей.

Ответ: Линза является рассеивающей.

4) между стёклами вода, окружающая среда — глицерин

В этом последнем случае $n_{линзы} = n_{воды}$, а $n_{среды} = n_{глицерина}$. Согласно условию задачи, $n_{глицерина} > n_{воды}$, что можно записать как $n_{воды} < n_{глицерина}$. Таким образом, условие $n_{линзы} < n_{среды}$ выполняется. Следовательно, эта линза будет собирающей.

Ответ: Линза является собирающей.

2. Линзу, изготовленную из двух тонких сферических стекол одинакового радиуса, между которыми находится воздух (воздушная линза), опустили в воду. Как действует эта линза?

1) как собирающая линза

2) как рассеивающая линза

3) она не изменяет хода луча

4) может действовать и как собирающая, и как рассеивающая линза

Решение

Чтобы определить, как действует линза (собирает или рассеивает свет), необходимо определить знак её оптической силы $D$. Оптическая сила тонкой линзы в некоторой среде определяется по формуле:

$D = \frac{1}{F} = \left(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

где $n_{линзы}$ — показатель преломления материала линзы, $n_{среды}$ — показатель преломления окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны поверхностей линзы. Если $D > 0$, линза собирающая, если $D < 0$ — рассеивающая.

В данном случае линза представляет собой полость с воздухом, помещенную в воду.
Следовательно, материал линзы — это воздух ($n_{линзы} = n_{воздуха} \approx 1,0$), а окружающая среда — это вода ($n_{среды} = n_{воды} \approx 1,33$).

Рассмотрим первый множитель в формуле: $\left(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1\right)$.
Поскольку показатель преломления воздуха меньше показателя преломления воды ($n_{воздуха} < n_{воды}$), то отношение $\frac{n_{линзы}}{n_{среды}}$ меньше единицы. Следовательно, вся скобка будет иметь отрицательное значение:

$\left(\frac{1,0}{1,33} - 1\right) < 0$

Второй множитель $\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ характеризует геометрию линзы. На рисунке изображена двояковыпуклая линза, которая в центре толще, чем у краев. Для такой формы этот множитель положителен.

Таким образом, оптическая сила $D$ является произведением отрицательной величины (первый множитель) и положительной величины (второй множитель). В результате оптическая сила будет отрицательной ($D < 0$).

Линза с отрицательной оптической силой является рассеивающей. Это происходит потому, что лучи света, переходя из оптически более плотной среды (вода) в оптически менее плотную (воздух), преломляются таким образом, что отклоняются от главной оптической оси.

Ответ: 2) как рассеивающая линза

3. На каком расстоянии от собирающей линзы нужно поместить предмет, чтобы его изображение было действительным?

1) большем, чем фокусное расстояние

2) меньшем, чем фокусное расстояние

3) при любом расстоянии изображение будет действительным

4) при любом расстоянии изображение будет мнимым

Решение

Для того чтобы определить, на каком расстоянии от собирающей линзы нужно поместить предмет для получения действительного изображения, обратимся к формуле тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

где:
$d$ – расстояние от предмета до линзы;
$f$ – расстояние от линзы до изображения;
$F$ – фокусное расстояние линзы.

По определению, фокусное расстояние $F$ собирающей линзы является положительной величиной ($F > 0$). Расстояние от предмета до линзы $d$ также всегда положительно.

Изображение является действительным, если оно образовано сходящимися лучами света, и его можно получить на экране. Для действительного изображения расстояние $f$ является положительной величиной ($f > 0$). Если же $f < 0$, изображение является мнимым (образуется на пересечении продолжений лучей).

Выразим из формулы тонкой линзы величину $1/f$:

$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $

Приведя правую часть к общему знаменателю, получим:

$ \frac{1}{f} = \frac{d - F}{F \cdot d} $

Отсюда можно выразить $f$:

$ f = \frac{F \cdot d}{d - F} $

Нам необходимо, чтобы изображение было действительным, то есть $f > 0$.

Поскольку $F > 0$ и $d > 0$, числитель дроби $F \cdot d$ всегда положителен. Значит, знак $f$ полностью определяется знаком знаменателя $d - F$.

Для того чтобы $f > 0$, знаменатель также должен быть положительным:

$ d - F > 0 $

$ d > F $

Таким образом, для получения действительного изображения предмет необходимо расположить на расстоянии от собирающей линзы, которое превышает ее фокусное расстояние.

Если $d < F$ (предмет между фокусом и линзой), то $d - F < 0$, и $f$ будет отрицательным, то есть изображение будет мнимым.
Если $d = F$ (предмет в фокусе), то знаменатель равен нулю, и изображение формируется в бесконечности.

Следовательно, правильный ответ — 1.

Ответ: 1) большем, чем фокусное расстояние.

4. Предмет находится между собирающей линзой и её фокусом. Изображение предмета

1) мнимое, перевёрнутое

2) действительное, перевёрнутое

3) действительное, прямое

4) мнимое, прямое

4. Решение

Для определения характеристик изображения, которое даёт собирающая линза, можно воспользоваться аналитическим методом на основе формулы тонкой линзы или графическим методом построения лучей. Рассмотрим оба способа.

1. Аналитический метод (с помощью формул)

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Согласно правилу знаков: для собирающей линзы фокусное расстояние $F$ положительно ($F > 0$); расстояние до действительного предмета $d$ положительно ($d > 0$); расстояние до изображения $f$ положительно для действительного изображения (образуется на пересечении самих лучей) и отрицательно для мнимого (образуется на пересечении продолжений лучей).

По условию задачи, предмет находится между линзой и её фокусом, что математически записывается как $0 < d < F$.

Выразим из формулы тонкой линзы величину $1/f$: $ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $

Приведём правую часть к общему знаменателю: $ \frac{1}{f} = \frac{d - F}{dF} $

Проанализируем знак полученного выражения. Поскольку по условию $d < F$, разность в числителе $(d - F)$ будет отрицательной. Знаменатель $(dF)$ будет положительным, так как $d > 0$ и $F > 0$. Следовательно, вся дробь отрицательна: $ \frac{1}{f} < 0 $, а значит и $f < 0$.

Отрицательное значение расстояния до изображения $f$ означает, что изображение является мнимым. Оно располагается с той же стороны от линзы, что и сам предмет.

Далее определим ориентацию изображения с помощью формулы линейного увеличения $Г$: $ Г = -\frac{f}{d} $

Если увеличение $Г$ положительно, изображение является прямым, если отрицательно — перевёрнутым. Мы выяснили, что $f$ — отрицательная величина, а $d$ — положительная. Подставим знаки в формулу: $ Г = -\frac{(отрицательное\;число)}{(положительное\;число)} > 0 $

Так как увеличение $Г$ положительно, изображение является прямым (неперевёрнутым).

Итак, изображение мнимое и прямое. Этот случай соответствует работе лупы (увеличительного стекла).

2. Графический метод (построение)

Можно построить изображение, используя два стандартных луча, выходящих из верхней точки предмета:

1. Луч, параллельный главной оптической оси. После преломления в линзе он пройдёт через её задний фокус.
2. Луч, проходящий через оптический центр линзы. Он не меняет своего направления.

После прохождения через линзу эти два луча расходятся. Они не пересекутся. Однако, если продолжить их в обратном направлении (в сторону предмета), их продолжения пересекутся. Точка их пересечения и даст изображение верхней точки предмета. Это изображение будет находиться дальше от линзы, чем предмет, с той же стороны, и будет прямым (неперевёрнутым). Так как оно образовано продолжениями лучей, а не самими лучами, оно является мнимым.

Оба метода приводят к одному и тому же выводу: изображение является мнимым и прямым. Среди предложенных вариантов этому соответствует вариант 4.

Ответ: 4) мнимое, прямое.

5. Оптическая сила линзы — это величина,

1) равная отношению фокусного расстояния линзы к её диаметру

2) обратная её фокусному расстоянию

3) равная отношению диаметра линзы к её фокусному расстоянию

4) обратная расстоянию от линзы до изображения предмета

Решение

Оптическая сила линзы — это физическая величина, которая характеризует её преломляющую способность, то есть насколько сильно линза собирает или рассеивает свет. Оптическая сила, обозначаемая буквой $D$, по определению является величиной, обратной фокусному расстоянию линзы $F$.

Формула для расчёта оптической силы выглядит следующим образом: $D = \frac{1}{F}$

В этой формуле $F$ — это главное фокусное расстояние линзы. Для того чтобы оптическая сила измерялась в стандартных единицах — диоптриях ($дптр$), фокусное расстояние должно быть выражено в метрах ($м$).

Проанализируем предложенные варианты ответа:

1) равная отношению фокусного расстояния линзы к её диаметру
Это утверждение неверно. Отношение фокусного расстояния к диаметру ($F/d$) называется относительным отверстием (для объективов) и не является оптической силой.

2) обратная её фокусному расстоянию
Это утверждение полностью соответствует определению оптической силы линзы ($D=1/F$). Следовательно, это правильный ответ.

3) равная отношению диаметра линзы к её фокусному расстоянию
Это утверждение неверно. Величина, обратная относительному отверстию ($d/F$), используется в оптике, но не определяет оптическую силу.

4) обратная расстоянию от линзы до изображения предмета
Это утверждение неверно. Величина, обратная расстоянию от линзы до изображения ($1/f$), является одной из составляющих формулы тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} = D$, где $d$ - расстояние от предмета до линзы. Сама по себе она не является оптической силой.

Таким образом, единственный верный вариант — второй.

Ответ: 2.