Страница 198 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Постройте несколько последовательных изображений предмета $AB$ (см. рис. 7.41) в линзе, изменяя расстояние $d$ от $d > 2F$ до $d < F$. Начертите график зависимости $f$ от $d$.

Дано:

Собирающая линза с фокусным расстоянием $F$.

Предмет $AB$.

Расстояние от предмета до линзы $d$.

Расстояние от линзы до изображения $f$.

Найти:

1. Построить последовательные изображения предмета $AB$ при изменении расстояния $d$ от $d > 2F$ до $d < F$.

2. Начертить график зависимости $f$ от $d$.

Решение:

Для построения изображений и графика будем использовать формулу тонкой линзы для собирающей линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения, $F$ – фокусное расстояние линзы. Положительное значение $f$ соответствует действительному изображению (с другой стороны от линзы), а отрицательное – мнимому (с той же стороны, что и предмет).

1. Построение изображений в зависимости от положения предмета

Для построения изображения точки $A$ (вершины предмета) используем два стандартных луча:

• Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через ее задний фокус $F$.
• Луч, проходящий через оптический центр линзы $O$, не преломляется.

Точка пересечения этих лучей (или их продолжений) дает изображение $A'$ вершины предмета.

а) Предмет находится за двойным фокусом ($d > 2F$)

Изображение получается действительным, перевернутым и уменьшенным. Оно расположено между фокусом и двойным фокусом с другой стороны линзы ($F < f < 2F$).

б) Предмет находится в двойном фокусе ($d = 2F$)

Изображение получается действительным, перевернутым, равным по размеру предмету. Оно расположено в двойном фокусе с другой стороны линзы ($f = 2F$).

в) Предмет находится между фокусом и двойным фокусом ($F < d < 2F$)

Изображение получается действительным, перевернутым и увеличенным. Оно расположено за двойным фокусом с другой стороны линзы ($f > 2F$).

г) Предмет находится в фокусе ($d = F$)

Лучи после преломления в линзе идут параллельным пучком. Изображение не формируется (или говорят, что оно находится в бесконечности).

д) Предмет находится между линзой и фокусом ($d < F$)

Лучи после преломления расходятся. Их продолжения пересекаются с той же стороны линзы, где находится предмет. Изображение получается мнимым, прямым и увеличенным. Оно расположено дальше от линзы, чем предмет ($|f| > d$).

Ответ:

Характеристики изображения, даваемого собирающей линзой, в зависимости от положения предмета сведены в таблицу:

2. График зависимости f от d

Выразим расстояние до изображения $f$ из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} \implies \frac{1}{f} = \frac{d-F}{d \cdot F} \implies f = \frac{d \cdot F}{d-F}$

Это функция, представляющая собой гиперболу. Проанализируем ее:

• При $d \to \infty$, $f \to F$. Изображение предмета, находящегося очень далеко, формируется в фокальной плоскости.
• При $d > F$, знаменатель $d-F > 0$, следовательно $f > 0$. Изображение действительное.
• При $d = 2F$, $f = \frac{2F \cdot F}{2F-F} = 2F$.
• При $d \to F$ (справа, $d > F$), $f \to +\infty$.
• При $d < F$, знаменатель $d-F < 0$, следовательно $f < 0$. Изображение мнимое.
• При $d \to F$ (слева, $d < F$), $f \to -\infty$.
• При $d=0$, $f=0$.

График этой зависимости представлен ниже. Пунктирные линии показывают асимптоты графика: $d=F$ и $f=F$. Ветвь в верхней части ($f>0$) соответствует действительным изображениям, а в нижней ($f<0$) – мнимым.

Ответ:

График зависимости расстояния до изображения $f$ от расстояния до предмета $d$ представляет собой гиперболу, описываемую уравнением $f = \frac{d \cdot F}{d-F}$. Графическое представление приведено выше.

Подумайте, в каких случаях $\Gamma < 1$.

Величина Г, называемая линейным (или поперечным) увеличением, является одной из основных характеристик оптических систем, таких как линзы или зеркала. Она показывает, во сколько раз размер изображения, создаваемого системой, больше или меньше размера самого предмета. Линейное увеличение определяется по формуле: $ \Gamma = \frac{H}{h} $ , где $H$ — линейный размер (например, высота) изображения, а $h$ — линейный размер предмета.

Неравенство $ \Gamma < 1 $, с учетом того, что размеры являются положительными величинами, означает, что $ H < h $. Физически это значит, что оптическая система создает уменьшенное изображение предмета. Рассмотрим, в каких конкретных случаях это происходит.

Собирающая линза

Собирающая линза способна создавать как увеличенные, так и уменьшенные изображения. Уменьшенное изображение ($ \Gamma < 1 $) получается в том случае, когда предмет находится от линзы на расстоянии $d$, которое превышает удвоенное фокусное расстояние $F$ данной линзы. Математически это условие записывается как $ d > 2F $. В этом случае получаемое изображение будет действительным, перевернутым и уменьшенным.

Ответ: для собирающей линзы увеличение меньше единицы ($ \Gamma < 1 $), когда предмет расположен за двойным фокусом линзы ($ d > 2F $).

Рассеивающая линза

Рассеивающая линза, в отличие от собирающей, всегда создает уменьшенное изображение, вне зависимости от того, на каком расстоянии от нее находится предмет. Изображение, даваемое рассеивающей линзой, всегда будет мнимым, прямым и уменьшенным. Следовательно, для нее всегда выполняется условие $ \Gamma < 1 $.

Ответ: для рассеивающей линзы увеличение всегда меньше единицы ($ \Gamma < 1 $) при любом возможном положении предмета.

Вогнутое зеркало

Вогнутое сферическое зеркало по своим оптическим свойствам во многом аналогично собирающей линзе. Оно формирует уменьшенное изображение ($ \Gamma < 1 $), когда предмет расположен на расстоянии $d$ от зеркала, превышающем удвоенное фокусное расстояние $F$ (то есть за центром кривизны зеркала $C$, так как радиус кривизны $ R = 2F $). Условие: $ d > 2F $. Такое изображение будет действительным, перевернутым и уменьшенным.

Ответ: для вогнутого зеркала увеличение меньше единицы ($ \Gamma < 1 $), когда предмет расположен за его центром кривизны ($ d > 2F $).

Выпуклое зеркало

Выпуклое сферическое зеркало, подобно рассеивающей линзе, всегда формирует уменьшенное изображение. Изображение, полученное с помощью выпуклого зеркала, является мнимым, прямым и уменьшенным при любом положении предмета перед ним. Таким образом, для выпуклого зеркала всегда справедливо $ \Gamma < 1 $.

Ответ: для выпуклого зеркала увеличение всегда меньше единицы ($ \Gamma < 1 $) при любом положении предмета.

1. Какие лучи удобно использовать для построения изображения в линзе?

Решение

Для построения изображения, создаваемого тонкой линзой, используют лучи, дальнейший ход которых после преломления известен и легко предсказуем. Их называют «характерными» или «удобными» лучами. Для нахождения изображения любой точки предмета (за исключением точек на главной оптической оси) достаточно построить ход любых двух лучей, выходящих из этой точки. Точка, где пересекутся преломленные лучи, будет действительным изображением. Если же пересекаются их продолжения, проведенные в обратную сторону, изображение будет мнимым.

К таким «удобным» лучам относятся:

• Луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси. После преломления в собирающей линзе этот луч проходит через её задний (главный) фокус $F$. В рассеивающей линзе преломленный луч идёт так, что его продолжение проходит через передний (мнимый) фокус $F$.

• Луч, проходящий через оптический центр линзы $O$. Такой луч проходит через тонкую линзу, не преломляясь и не меняя своего направления.

• Луч, проходящий через передний фокус линзы $F$ или направленный на её задний фокус. Луч, который до преломления проходит через передний фокус собирающей линзы, после преломления пойдет параллельно главной оптической оси. Для рассеивающей линзы луч, направленный на её задний фокус, после преломления также пойдет параллельно главной оптической оси.

Ответ: Для построения изображения в линзе удобно использовать лучи, ход которых после преломления известен: 1) луч, идущий параллельно главной оптической оси; 2) луч, проходящий через оптический центр линзы; 3) луч, проходящий через фокус линзы или направленный на него.

2. Что называется увеличением линзы?

2. Увеличением линзы (также называют линейным или поперечным увеличением) называется безразмерная физическая величина, которая показывает, во сколько раз линейные размеры изображения, полученного с помощью линзы, отличаются от линейных размеров самого предмета.

Увеличение линзы обозначается греческой буквой $\Gamma$ (гамма).

Его можно рассчитать как отношение высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$:
$\Gamma = \frac{H}{h}$

Также увеличение линзы можно определить через расстояния. Из подобия треугольников, которые образуются при построении изображения, следует, что увеличение равно модулю отношения расстояния от линзы до изображения ($f$) к расстоянию от предмета до линзы ($d$):
$\Gamma = \frac{|f|}{d}$

По значению увеличения можно определить характер изображения:
- если $\Gamma > 1$, изображение является увеличенным;
- если $\Gamma < 1$, изображение является уменьшенным;
- если $\Gamma = 1$, изображение по размеру равно предмету.

Ответ: Увеличением линзы называется безразмерная физическая величина, равная отношению линейного размера изображения к линейному размеру предмета. Она показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета и рассчитывается по формуле $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{|f|}{d}$, где $H$ и $h$ — высоты изображения и предмета, а $f$ и $d$ — расстояния от линзы до изображения и до предмета соответственно.