Страница 194 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Ещё раз убедитесь в том, что параллельные главной оптической оси лучи сходятся в точку только в случае тонкой линзы. Начертите крупно толстую сферическую линзу, проведите параллельно её главной оптической оси три луча. Измерьте транспортиром углы падения и вычислите углы преломления, считая линзу стеклянной $(n = 1,3)$. Проведите преломлённые лучи. Проделайте то же самое на другой сферической поверхности. Сделайте вывод.

Данная задача представляет собой практическое упражнение для демонстрации явления сферической аберрации в толстых линзах. В отличие от идеализированной модели тонкой линзы, где все параллельные лучи собираются в одной точке (фокусе), в реальной толстой линзе этого не происходит. Мы выполним пошаговое построение хода лучей, чтобы убедиться в этом.

Дано:

Толстая двояковыпуклая сферическая линза.
Показатель преломления материала линзы (стекло): $n = 1,3$.
Среда вокруг линзы — воздух, показатель преломления которого принимаем за $n_{возд} \approx 1$.
Три луча, падающие на линзу параллельно её главной оптической оси на разном расстоянии от неё.

Найти:

Построить ход преломлённых лучей через линзу и сделать вывод о точке их пересечения.

Решение:

Для решения задачи мы выполним геометрическое построение и расчёты, основанные на законе преломления света (законе Снеллиуса).

Закон Снеллиуса для границы раздела двух сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ имеет вид: $n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$, где $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления.

1. Построение линзы и лучей.
   Начертим в крупном масштабе двояковыпуклую линзу. Она образована двумя пересекающимися сферическими поверхностями. Обозначим центры кривизны этих поверхностей как $C_1$ и $C_2$. Прямая, проходящая через $C_1$ и $C_2$, является главной оптической осью линзы.
   Проведём три луча (луч 1, луч 2, луч 3) параллельно главной оптической оси. Луч 1 пустим вдоль самой оси, луч 2 — на некотором расстоянии от оси, а луч 3 — ещё дальше от оси, чем луч 2.
2. Преломление на первой поверхности (воздух → стекло).
   - Луч 1, идущий вдоль главной оптической оси, падает на обе поверхности линзы перпендикулярно и поэтому проходит без преломления.
   - Для луча 2 и 3: В точке падения луча на первую поверхность строим нормаль. Нормаль к сферической поверхности — это прямая, проходящая через точку падения и центр кривизны этой поверхности ($C_1$).
   - Измеряем транспортиром угол падения $\alpha$ (угол между падающим лучом и нормалью).
   - Вычисляем угол преломления $\beta$ по закону Снеллиуса. Так как луч входит из воздуха в стекло ($n_1=1, n_2=1,3$), формула выглядит так: $\sin(\alpha) = 1,3 \sin(\beta)$, откуда $\sin(\beta) = \frac{\sin(\alpha)}{1,3}$.
   - Например, если для луча 2 угол падения $\alpha_2 = 20^\circ$, то $\sin(\beta_2) = \frac{\sin(20^\circ)}{1,3} \approx \frac{0,342}{1,3} \approx 0,263$. Тогда угол преломления $\beta_2 = \arcsin(0,263) \approx 15,2^\circ$.
   - Для луча 3, который падает дальше от оси, угол падения $\alpha_3$ будет больше. Например, $\alpha_3 = 40^\circ$. Тогда $\sin(\beta_3) = \frac{\sin(40^\circ)}{1,3} \approx \frac{0,643}{1,3} \approx 0,495$. Угол преломления $\beta_3 = \arcsin(0,495) \approx 29,7^\circ$.
   - Проводим преломлённые лучи внутри линзы под углами $\beta_2$ и $\beta_3$ к соответствующим нормалям.
3. Преломление на второй поверхности (стекло → воздух).
   - Продлеваем лучи, идущие внутри линзы, до пересечения со второй сферической поверхностью.
   - В новых точках падения строим нормали, соединяя эти точки с центром кривизны второй поверхности ($C_2$).
   - Измеряем новые углы падения $\alpha'$ (углы между лучом внутри линзы и второй нормалью).
   - Вычисляем углы преломления $\beta'$ при выходе луча из стекла в воздух ($n_1=1,3, n_2=1$): $1,3 \sin(\alpha') = \sin(\beta')$.
   - Проводим окончательные преломлённые лучи, выходящие из линзы в воздух.

Вывод:

После выполнения построений мы увидим, что три луча, вышедшие из линзы, не пересекаются в одной точке на главной оптической оси. Луч 3, который был дальше всего от оси, преломился сильнее и пересёк главную оптическую ось ближе к линзе. Луч 2 пересёк ось дальше, чем луч 3. Это явление, при котором лучи, проходящие через линзу на разном расстоянии от оптической оси, фокусируются в разных точках, называется сферической аберрацией.

Таким образом, утверждение о том, что параллельные главной оптической оси лучи сходятся в одну точку (фокус), справедливо лишь для идеализированной модели тонкой линзы и для параксиальных лучей (лучей, очень близких к оси). Для толстых линз и для лучей, далёких от оси, это не выполняется.

Ответ: В результате прохождения через толстую сферическую линзу параллельные лучи не собираются в одной точке. Лучи, проходящие дальше от главной оптической оси, преломляются сильнее и пересекают ось ближе к линзе, чем лучи, проходящие ближе к оси. Это является проявлением сферической аберрации.

Почему мы считаем, что фокусы расположены симметрично, хотя сама линза может быть несимметрична?

Симметричное расположение фокусов относительно линзы, даже если сама линза геометрически несимметрична (например, плоско-выпуклая), является прямым следствием одного из фундаментальных законов оптики — принципа обратимости световых лучей.

Этот принцип гласит, что если луч света, распространяясь по определённому пути из точки А в точку B, проходит через ряд отражений и преломлений, то свет, направленный из точки B в точку А по тому же пути, пойдет в обратном направлении по траектории исходного луча.

Рассмотрим, как этот принцип применяется к фокусам линзы:

• По определению, задний фокус (F') — это точка, в которой собираются лучи, падающие на линзу параллельно её главной оптической оси.
• Теперь применим принцип обратимости: если из заднего фокуса F' пустить лучи света через линзу, то на выходе из неё они будут распространяться параллельно главной оптической оси.
• С другой стороны, по определению, передний фокус (F) — это как раз такая точка на главной оптической оси, лучи из которой (или их продолжения) после прохождения через линзу становятся параллельными этой оси.

Из этого следует, что расстояние от оптического центра линзы до переднего фокуса (переднее фокусное расстояние $f$) должно быть равно расстоянию до заднего фокуса (заднее фокусное расстояние $f'$). Они расположены на одинаковом расстоянии, но по разные стороны от линзы, то есть симметрично.

Математически это подтверждается формулой для оптической силы тонкой линзы (формулой шлифовщика линз), которая не зависит от того, с какой стороны на линзу падает свет. Для линзы, находящейся в воздухе, формула имеет вид: $D = \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ где $D$ — оптическая сила, $f$ — фокусное расстояние, $n$ — показатель преломления материала линзы, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны её передней и задней поверхностей.

Если мы "перевернём" линзу, то есть направим свет с другой стороны, то первая и вторая поверхности поменяются местами ($R_1 \leftrightarrow R_2$), а также изменится знак их радиусов кривизны в соответствии с правилом знаков ($R_1 \rightarrow -R_2$, $R_2 \rightarrow -R_1$). Новая оптическая сила будет равна: $D' = (n - 1) \left( \frac{1}{-R_2} - \frac{1}{-R_1} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = D$ Как видно, оптическая сила, а следовательно, и величина фокусного расстояния, остаются неизменными. Это доказывает, что фокусное расстояние является внутренней характеристикой линзы, не зависящей от направления распространения света.

Ответ: Расположение фокусов определяется не геометрической симметрией самой линзы, а её оптическими свойствами. Ключевую роль играет принцип обратимости световых лучей, согласно которому ход лучей обратим. Из-за этого оптическая сила линзы (и величина фокусного расстояния) одинакова для света, идущего в любом направлении. Поэтому переднее и заднее фокусные расстояния равны по величине, а сами фокусы расположены симметрично относительно оптического центра линзы.