Номер 2, страница 194 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Ещё раз убедитесь в том, что параллельные главной оптической оси лучи сходятся в точку только в случае тонкой линзы. Начертите крупно толстую сферическую линзу, проведите параллельно её главной оптической оси три луча. Измерьте транспортиром углы падения и вычислите углы преломления, считая линзу стеклянной $(n = 1,3)$. Проведите преломлённые лучи. Проделайте то же самое на другой сферической поверхности. Сделайте вывод.

Данная задача представляет собой практическое упражнение для демонстрации явления сферической аберрации в толстых линзах. В отличие от идеализированной модели тонкой линзы, где все параллельные лучи собираются в одной точке (фокусе), в реальной толстой линзе этого не происходит. Мы выполним пошаговое построение хода лучей, чтобы убедиться в этом.

Дано:

Толстая двояковыпуклая сферическая линза.
Показатель преломления материала линзы (стекло): $n = 1,3$.
Среда вокруг линзы — воздух, показатель преломления которого принимаем за $n_{возд} \approx 1$.
Три луча, падающие на линзу параллельно её главной оптической оси на разном расстоянии от неё.

Найти:

Построить ход преломлённых лучей через линзу и сделать вывод о точке их пересечения.

Решение:

Для решения задачи мы выполним геометрическое построение и расчёты, основанные на законе преломления света (законе Снеллиуса).

Закон Снеллиуса для границы раздела двух сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ имеет вид: $n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$, где $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления.

1. Построение линзы и лучей.
   Начертим в крупном масштабе двояковыпуклую линзу. Она образована двумя пересекающимися сферическими поверхностями. Обозначим центры кривизны этих поверхностей как $C_1$ и $C_2$. Прямая, проходящая через $C_1$ и $C_2$, является главной оптической осью линзы.
   Проведём три луча (луч 1, луч 2, луч 3) параллельно главной оптической оси. Луч 1 пустим вдоль самой оси, луч 2 — на некотором расстоянии от оси, а луч 3 — ещё дальше от оси, чем луч 2.
2. Преломление на первой поверхности (воздух → стекло).
   - Луч 1, идущий вдоль главной оптической оси, падает на обе поверхности линзы перпендикулярно и поэтому проходит без преломления.
   - Для луча 2 и 3: В точке падения луча на первую поверхность строим нормаль. Нормаль к сферической поверхности — это прямая, проходящая через точку падения и центр кривизны этой поверхности ($C_1$).
   - Измеряем транспортиром угол падения $\alpha$ (угол между падающим лучом и нормалью).
   - Вычисляем угол преломления $\beta$ по закону Снеллиуса. Так как луч входит из воздуха в стекло ($n_1=1, n_2=1,3$), формула выглядит так: $\sin(\alpha) = 1,3 \sin(\beta)$, откуда $\sin(\beta) = \frac{\sin(\alpha)}{1,3}$.
   - Например, если для луча 2 угол падения $\alpha_2 = 20^\circ$, то $\sin(\beta_2) = \frac{\sin(20^\circ)}{1,3} \approx \frac{0,342}{1,3} \approx 0,263$. Тогда угол преломления $\beta_2 = \arcsin(0,263) \approx 15,2^\circ$.
   - Для луча 3, который падает дальше от оси, угол падения $\alpha_3$ будет больше. Например, $\alpha_3 = 40^\circ$. Тогда $\sin(\beta_3) = \frac{\sin(40^\circ)}{1,3} \approx \frac{0,643}{1,3} \approx 0,495$. Угол преломления $\beta_3 = \arcsin(0,495) \approx 29,7^\circ$.
   - Проводим преломлённые лучи внутри линзы под углами $\beta_2$ и $\beta_3$ к соответствующим нормалям.
3. Преломление на второй поверхности (стекло → воздух).
   - Продлеваем лучи, идущие внутри линзы, до пересечения со второй сферической поверхностью.
   - В новых точках падения строим нормали, соединяя эти точки с центром кривизны второй поверхности ($C_2$).
   - Измеряем новые углы падения $\alpha'$ (углы между лучом внутри линзы и второй нормалью).
   - Вычисляем углы преломления $\beta'$ при выходе луча из стекла в воздух ($n_1=1,3, n_2=1$): $1,3 \sin(\alpha') = \sin(\beta')$.
   - Проводим окончательные преломлённые лучи, выходящие из линзы в воздух.

Вывод:

После выполнения построений мы увидим, что три луча, вышедшие из линзы, не пересекаются в одной точке на главной оптической оси. Луч 3, который был дальше всего от оси, преломился сильнее и пересёк главную оптическую ось ближе к линзе. Луч 2 пересёк ось дальше, чем луч 3. Это явление, при котором лучи, проходящие через линзу на разном расстоянии от оптической оси, фокусируются в разных точках, называется сферической аберрацией.

Таким образом, утверждение о том, что параллельные главной оптической оси лучи сходятся в одну точку (фокус), справедливо лишь для идеализированной модели тонкой линзы и для параксиальных лучей (лучей, очень близких к оси). Для толстых линз и для лучей, далёких от оси, это не выполняется.

Ответ: В результате прохождения через толстую сферическую линзу параллельные лучи не собираются в одной точке. Лучи, проходящие дальше от главной оптической оси, преломляются сильнее и пересекают ось ближе к линзе, чем лучи, проходящие ближе к оси. Это является проявлением сферической аберрации.