Номер 3, страница 190 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. В дно водоёма глубиной 3 м вертикально вбита свая, скрытая под водой. Высота сваи 2 м. Свая отбрасывает на дне водоёма тень длиной 0,75 м. Определите угол падения солнечных лучей на поверхность воды. Показатель преломления воды $n = 4/3$.

Дано:

Глубина водоёма $H = 3$ м

Высота сваи $h = 2$ м

Длина тени сваи $L = 0,75$ м

Показатель преломления воды $n = 4/3$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} = 1$

Найти:

Угол падения солнечных лучей $\alpha$

Решение:

Солнечные лучи падают на поверхность воды под углом падения $\alpha$ к нормали (вертикали) и, преломляясь, входят в воду под углом преломления $\beta$ к нормали. Тень на дне водоёма образуется за счёт того, что свая преграждает путь солнечным лучам. Край тени определяется лучом, который проходит вскользь у верхушки сваи.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вертикально стоящей сваей (катет $h$), её тенью на горизонтальном дне (катет $L$) и преломлённым солнечным лучом, проходящим через верхушку сваи (гипотенуза). В этом треугольнике угол между преломлённым лучом и вертикальной сваей (которая параллельна нормали к поверхности воды) равен углу преломления $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике мы можем найти тангенс угла преломления $\beta$: $$ \tan(\beta) = \frac{L}{h} $$ Подставим известные значения: $$ \tan(\beta) = \frac{0,75 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0,375 = \frac{3}{8} $$

Для применения закона преломления света (закона Снеллиуса) нам необходимо найти синус угла $\beta$. Связь между синусом и тангенсом угла выражается формулой, которую можно вывести из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $$ \sin(\beta) = \frac{\tan(\beta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\beta)}} $$ Подставим найденное значение тангенса: $$ \sin(\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{1 + (3/8)^2}} = \frac{3/8}{\sqrt{1 + 9/64}} = \frac{3/8}{\sqrt{73/64}} = \frac{3/8}{\frac{\sqrt{73}}{8}} = \frac{3}{\sqrt{73}} $$

Закон преломления света Снеллиуса связывает углы падения и преломления на границе двух сред: $$ n_{воздуха} \sin(\alpha) = n \sin(\beta) $$ Поскольку показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$, формула упрощается: $$ \sin(\alpha) = n \sin(\beta) $$ Подставим известные значения $n$ и найденное значение $\sin(\beta)$: $$ \sin(\alpha) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{73}} = \frac{4}{\sqrt{73}} $$

Теперь найдём сам угол падения $\alpha$: $$ \alpha = \arcsin\left(\frac{4}{\sqrt{73}}\right) $$ Вычислим приближенное значение. Используя калькулятор, $\sqrt{73} \approx 8,544$. $$ \sin(\alpha) \approx \frac{4}{8,544} \approx 0,4682 $$ $$ \alpha \approx \arcsin(0,4682) \approx 27,9^\circ $$ Округлим результат до целых. $$ \alpha \approx 28^\circ $$ Информация о глубине водоёма ($H = 3$ м) является избыточной, так как она лишь подтверждает, что свая высотой $h=2$ м полностью находится под водой.

Ответ: угол падения солнечных лучей на поверхность воды составляет приблизительно $28^\circ$.