Номер 4, страница 190 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 7. Световые волны. Параграф 49. Примеры решения задач по теме «Закон преломления света, полное отражение света». Образцы заданий ЕГЭ - номер 4, страница 190.

Условие.

4. На поверхности воды плавает надувной плот шириной 4 м и длиной 6 м. Небо затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет. Определите глубину тени под плотом. Глубину погружения плота и рассеивание света водой не учитывайте. Показатель преломления воды относительно воздуха $n = 4/3$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Ширина плота, $w = 4$ м
Длина плота, $l = 6$ м
Показатель преломления воды, $n = 4/3$

Найти:

Глубину тени под плотом, $h$

Решение:

Поскольку небо затянуто сплошным облачным покровом, свет является рассеянным, то есть падает на поверхность воды со всех направлений. Тень под плотом — это область, в которую не попадает ни один световой луч. Глубина тени — это максимальная глубина, на которой еще существует область полной тени (умбры).

Область полной тени исчезнет на той глубине $h$, на которую смогут попасть световые лучи, прошедшие в воду у самых краев плота. Предельными лучами, определяющими границу тени, являются лучи, скользящие по поверхности воды, то есть падающие на границу раздела воздух-вода под углом $\alpha = 90^\circ$ к нормали.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):
$n_{воздуха} \sin\alpha = n \sin\beta$

Принимая показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$ и для предельного угла падения $\alpha = 90^\circ$, угол преломления $\beta$ будет максимальным. Этот предельный угол преломления $\beta_{пред}$ определяется из соотношения:
$1 \cdot \sin(90^\circ) = n \sin\beta_{пред}$
$\sin\beta_{пред} = 1/n$

Точка на центральной оси под плотом на глубине $h$ будет освещена, если до нее дойдут лучи, вошедшие в воду за пределами плота. Тень полностью исчезнет на той глубине, где световые лучи, вошедшие в воду у ближайших к центру краев плота, сойдутся на центральной оси.

Для прямоугольного плота ближайшими к центру точками периметра являются середины его более коротких сторон (ширины). Расстояние от центра плота до середины его короткой стороны равно $w/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вертикальной линией от поверхности воды до глубины $h$, горизонтальным отрезком от этой линии до края плота (длиной $w/2$) и преломленным лучом. Из геометрии этого треугольника следует:
$\tan\beta_{пред} = \frac{w/2}{h}$

Отсюда можно выразить глубину тени $h$:
$h = \frac{w/2}{\tan\beta_{пред}}$

Найдем $\tan\beta_{пред}$, зная $\sin\beta_{пред} = 1/n$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ :
$\cos\beta_{пред} = \sqrt{1 - \sin^2\beta_{пред}} = \sqrt{1 - (1/n)^2} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}$
$\tan\beta_{пред} = \frac{\sin\beta_{пред}}{\cos\beta_{пред}} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Подставим выражение для тангенса в формулу для глубины:
$h = \frac{w/2}{1/\sqrt{n^2-1}} = \frac{w}{2}\sqrt{n^2-1}$

Теперь подставим числовые значения:
$w = 4$ м
$n = 4/3$
$h = \frac{4}{2}\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1} = 2\sqrt{\frac{16}{9} - 1} = 2\sqrt{\frac{16-9}{9}} = 2\sqrt{\frac{7}{9}} = 2 \frac{\sqrt{7}}{3} \approx 1.76$ м

Ответ: глубина тени под плотом составляет $h = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ м, что приблизительно равно $1.76$ м.