Номер 6, страница 190 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 49. Примеры решения задач по теме «Закон преломления света, полное отражение света». Глава 7. Световые волны - номер 6, страница 190.

Условие.

6. Какая должна быть минимальная длина стороны квадратного плота, чтобы с него не был виден камень, находящийся под серединой плота? Глубина водоёма 1,5 м, показатель преломления воды 1,3.

60°

Рис. 7.27

a)

б)

Рис. 7.28

30°

Рис. 7.29

Решение.

Решение 2.

Дано:

Глубина водоёма, $h = 1,5$ м
Показатель преломления воды, $n = 1,3$
Показатель преломления воздуха, $n_{air} \approx 1$

Найти:

Минимальная длина стороны квадратного плота, $a$

Решение:

Чтобы камень, находящийся под серединой плота, не был виден с поверхности воды за пределами плота, лучи света, идущие от камня к краям плота, должны испытывать полное внутреннее отражение на границе раздела вода-воздух. Это явление происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды (вода) в оптически менее плотную (воздух).

Полное внутреннее отражение наступает, когда угол падения луча $\alpha$ на границу раздела двух сред становится равным или превышает так называемый критический угол $\alpha_c$. В нашем случае, чтобы камень стал невидимым точно на краю плота, угол падения лучей, идущих от камня к краю плота, должен быть равен критическому углу. При этом угол преломления $\beta$ будет равен $90°$.

Используя закон преломления света (закон Снеллиуса), запишем условие для критического угла: $n \cdot \sin(\alpha_c) = n_{air} \cdot \sin(90°)$

Поскольку показатель преломления воздуха $n_{air}$ очень близок к 1, а $\sin(90°) = 1$, мы получаем выражение для синуса критического угла: $\sin(\alpha_c) = \frac{1}{n}$

Теперь рассмотрим геометрическую связь между глубиной водоёма и размерами плота. Пусть камень находится в точке S, а точка на поверхности воды прямо над ним (центр плота) — это точка O. Глубина водоёма $h$ — это катет SO. Пусть P — точка на краю плота. Расстояние от центра до края плота (половина его стороны, если край - середина стороны) $r$ — это катет OP. Луч света SP падает на поверхность в точке P под углом $\alpha_c$ к нормали (вертикали). Из прямоугольного треугольника SOP видно, что угол OSP равен углу падения $\alpha_c$.

Из этого треугольника можно выразить тангенс угла $\alpha_c$:
$\tan(\alpha_c) = \frac{OP}{SO} = \frac{r}{h}$
Отсюда радиус круга на поверхности, за пределами которого камень не виден, равен:
$r = h \cdot \tan(\alpha_c)$

Найдём тангенс критического угла, зная его синус, через основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha_c) + \cos^2(\alpha_c) = 1$:
$\cos(\alpha_c) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_c)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}$
$\tan(\alpha_c) = \frac{\sin(\alpha_c)}{\cos(\alpha_c)} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Теперь можем найти радиус $r$ этого круга видимости:
$r = h \cdot \tan(\alpha_c) = \frac{h}{\sqrt{n^2-1}}$

Квадратный плот должен полностью накрывать этот круг. Минимальный размер квадратного плота, который может накрыть круг радиусом $r$, — это квадрат, в который этот круг вписан. В этом случае сторона квадрата $a$ равна диаметру круга, то есть $a = 2r$.
$a = 2r = \frac{2h}{\sqrt{n^2-1}}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу:
$a = \frac{2 \cdot 1,5}{\sqrt{1,3^2 - 1}} = \frac{3}{\sqrt{1,69 - 1}} = \frac{3}{\sqrt{0,69}}$
$a \approx \frac{3}{0,83066} \approx 3,6116$ м

Округлим результат до двух значащих цифр, как и в исходных данных.

Ответ: минимальная длина стороны квадратного плота должна быть примерно 3,6 м.