Номер 4, страница 190 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Под каким углом на боковую поверхность призмы должен падать луч, чтобы в призме с углом при вершине $\gamma = 60^\circ$ его отклонение было минимальным? Определите этот угол для стеклянной призмы с показателем преломления $n = 1,41$.

Дано:

Преломляющий угол призмы, $\gamma = 60^\circ$
Показатель преломления стекла, $n = 1.41$
Показатель преломления воздуха, $n_0 = 1$

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

Условием минимального отклонения луча призмой является симметричный ход луча внутри нее. При симметричном ходе луча угол падения на первую грань $\alpha_1$ равен углу выхода со второй грани $\alpha_2$, а угол преломления на первой грани $\beta_1$ равен углу падения на вторую грань $\beta_2$.

Обозначим искомый угол падения как $\alpha = \alpha_1 = \alpha_2$, а соответствующий ему угол преломления как $\beta = \beta_1 = \beta_2$.

Из геометрии хода лучей в призме известно соотношение между преломляющим углом призмы $\gamma$ и углами преломления на гранях:

$\gamma = \beta_1 + \beta_2$

При минимальном отклонении это выражение принимает вид:

$\gamma = 2\beta$

Отсюда находим угол преломления внутри призмы:

$\beta = \frac{\gamma}{2}$

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой грани призмы (на границе воздух-стекло):

$n_0 \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

Так как $n_0 = 1$, получаем:

$\sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

Подставим в это уравнение выражение для $\beta = \frac{\gamma}{2}$:

$\sin(\alpha) = n \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)$

Это итоговая формула для нахождения угла падения, обеспечивающего минимальное отклонение.

Произведем вычисления, подставив известные значения:

$\sin(\alpha) = 1.41 \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 1.41 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:

$\sin(\alpha) = 1.41 \cdot 0.5 = 0.705$

Теперь найдем сам угол падения $\alpha$, взяв арксинус от полученного значения:

$\alpha = \arcsin(0.705) \approx 44.8^\circ$

Ответ: Чтобы отклонение луча в призме было минимальным, он должен падать на боковую поверхность под углом $\alpha \approx 44.8^\circ$.