Номер 2, страница 189 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Сечение призмы представляет собой равносторонний треугольник. Луч проходит сквозь призму, преломляясь в точках, равноотстоящих от вершины (рис. 7.27). Чему равно наибольшее допустимое значение показателя преломления вещества призмы?

Дано:

Найти:

Решение:

Рассмотрим прохождение луча света через призму. Пусть $\alpha_1$ - угол падения на первую грань, $\beta_1$ - угол преломления в призме. Пусть $\beta_2$ - угол падения на вторую грань изнутри призмы, и $\alpha_2$ - угол выхода из призмы. Показатель преломления призмы обозначим как $n$.

Закон преломления света (закон Снеллиуса) на первой и второй гранях призмы имеет вид:

$n_0 \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

$n \sin \beta_2 = n_0 \sin \alpha_2$

Поскольку окружающая среда - воздух, принимаем $n_0 = 1$:

$\sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

$n \sin \beta_2 = \sin \alpha_2$

Углы $\beta_1$ и $\beta_2$ связаны с преломляющим углом призмы $\phi$ соотношением:

$\beta_1 + \beta_2 = \phi$

В условии задачи сказано, что точки преломления на гранях призмы равноудалены от вершины. Это означает, что путь луча внутри призмы симметричен относительно биссектрисы преломляющего угла. При симметричном ходе луча выполняются условия:

$\alpha_1 = \alpha_2$ и $\beta_1 = \beta_2 = \beta$

Тогда из соотношения для углов получаем:

$2\beta = \phi$

Так как сечение призмы - равносторонний треугольник, все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, преломляющий угол призмы $\phi = 60^\circ$.

$\beta = \frac{\phi}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь подставим это значение в закон Снеллиуса для первой грани:

$\sin \alpha_1 = n \sin 30^\circ = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

Для того чтобы луч мог войти в призму, должен существовать действительный угол падения $\alpha_1$. Максимальное возможное значение синуса угла равно 1 (что соответствует углу падения $\alpha_1 = 90^\circ$, т.е. скользящему падению).

Следовательно, должно выполняться условие:

$\sin \alpha_1 \le 1$

$\frac{n}{2} \le 1$

Отсюда находим максимально допустимое значение показателя преломления $n$:

$n \le 2$

Таким образом, наибольшее допустимое значение показателя преломления вещества призмы, при котором возможен описанный в задаче ход луча, равно 2.

Ответ: $n_{max} = 2$.