Страница 190 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Под каким углом на боковую поверхность призмы должен падать луч, чтобы в призме с углом при вершине $\gamma = 60^\circ$ его отклонение было минимальным? Определите этот угол для стеклянной призмы с показателем преломления $n = 1,41$.

Дано:

Преломляющий угол призмы, $\gamma = 60^\circ$
Показатель преломления стекла, $n = 1.41$
Показатель преломления воздуха, $n_0 = 1$

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

Условием минимального отклонения луча призмой является симметричный ход луча внутри нее. При симметричном ходе луча угол падения на первую грань $\alpha_1$ равен углу выхода со второй грани $\alpha_2$, а угол преломления на первой грани $\beta_1$ равен углу падения на вторую грань $\beta_2$.

Обозначим искомый угол падения как $\alpha = \alpha_1 = \alpha_2$, а соответствующий ему угол преломления как $\beta = \beta_1 = \beta_2$.

Из геометрии хода лучей в призме известно соотношение между преломляющим углом призмы $\gamma$ и углами преломления на гранях:

$\gamma = \beta_1 + \beta_2$

При минимальном отклонении это выражение принимает вид:

$\gamma = 2\beta$

Отсюда находим угол преломления внутри призмы:

$\beta = \frac{\gamma}{2}$

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой грани призмы (на границе воздух-стекло):

$n_0 \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

Так как $n_0 = 1$, получаем:

$\sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

Подставим в это уравнение выражение для $\beta = \frac{\gamma}{2}$:

$\sin(\alpha) = n \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)$

Это итоговая формула для нахождения угла падения, обеспечивающего минимальное отклонение.

Произведем вычисления, подставив известные значения:

$\sin(\alpha) = 1.41 \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 1.41 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:

$\sin(\alpha) = 1.41 \cdot 0.5 = 0.705$

Теперь найдем сам угол падения $\alpha$, взяв арксинус от полученного значения:

$\alpha = \arcsin(0.705) \approx 44.8^\circ$

Ответ: Чтобы отклонение луча в призме было минимальным, он должен падать на боковую поверхность под углом $\alpha \approx 44.8^\circ$.

5. В стеклянной пластинке с показателем преломления 1,4 образовался воздушный клин с углом у основания $30^\circ$. Определите отклонение луча, падающего нормально на боковую грань (рис. 7.29).

Показатель преломления стекла, $n_{с} = 1.4$
Показатель преломления воздуха, $n_{в} = 1$
Преломляющий угол воздушного клина, $\alpha = 30°$
Луч падает на первую грань клина нормально (перпендикулярно).

Угол отклонения луча, $\delta$.

Будем рассматривать ход луча света, который изначально распространяется в стекле, а затем проходит через воздушный клин, образованный в этом стекле. По условию, луч падает нормально на боковую грань, которую мы примем за первую грань клина.

1. На первой границе раздела "стекло-воздух" луч падает нормально к поверхности. Это означает, что угол падения $\theta_1 = 0°$. Согласно закону преломления света ($n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$), угол преломления $\theta_1'$ также будет равен нулю. Таким образом, луч входит в воздушный клин, не изменяя своего первоначального направления.

2. Внутри воздушного клина луч распространяется прямолинейно до второй границы "воздух-стекло". Поскольку луч падал на первую грань перпендикулярно, а угол между гранями клина составляет $\alpha$, угол падения луча на вторую грань $\theta_2$ будет равен преломляющему углу клина. $\theta_2 = \alpha = 30°$.

3. На второй границе "воздух-стекло" происходит преломление. Запишем для этой границы закон Снеллиуса: $n_{в} \sin \theta_2 = n_{с} \sin \theta_2'$, где $\theta_2'$ — угол преломления, под которым луч выходит из клина обратно в стекло.

Выразим синус угла преломления и подставим числовые значения: $\sin \theta_2' = \frac{n_{в}}{n_{с}} \sin \theta_2 = \frac{1}{1.4} \sin 30° = \frac{1 \cdot 0.5}{1.4} = \frac{5}{14}$.

Теперь найдем значение угла преломления $\theta_2'$: $\theta_2' = \arcsin\left(\frac{5}{14}\right) \approx \arcsin(0.3571) \approx 20.92°$.

4. Угол отклонения $\delta$ — это угол между первоначальным направлением луча и его конечным направлением. Так как на первой грани отклонения не было, полное отклонение определяется преломлением на второй грани. Из геометрического анализа хода луча следует, что итоговый угол отклонения от первоначального направления равен: $\delta = \alpha - \theta_2'$.

Подставим вычисленные значения: $\delta \approx 30° - 20.92° = 9.08°$.

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: угол отклонения луча составляет $\delta \approx 9.1°$.

6. Какая должна быть минимальная длина стороны квадратного плота, чтобы с него не был виден камень, находящийся под серединой плота? Глубина водоёма 1,5 м, показатель преломления воды 1,3.

60°

Рис. 7.27

a)

б)

Рис. 7.28

30°

Рис. 7.29

Дано:

Глубина водоёма, $h = 1,5$ м
Показатель преломления воды, $n = 1,3$
Показатель преломления воздуха, $n_{air} \approx 1$

Найти:

Минимальная длина стороны квадратного плота, $a$

Решение:

Чтобы камень, находящийся под серединой плота, не был виден с поверхности воды за пределами плота, лучи света, идущие от камня к краям плота, должны испытывать полное внутреннее отражение на границе раздела вода-воздух. Это явление происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды (вода) в оптически менее плотную (воздух).

Полное внутреннее отражение наступает, когда угол падения луча $\alpha$ на границу раздела двух сред становится равным или превышает так называемый критический угол $\alpha_c$. В нашем случае, чтобы камень стал невидимым точно на краю плота, угол падения лучей, идущих от камня к краю плота, должен быть равен критическому углу. При этом угол преломления $\beta$ будет равен $90°$.

Используя закон преломления света (закон Снеллиуса), запишем условие для критического угла: $n \cdot \sin(\alpha_c) = n_{air} \cdot \sin(90°)$

Поскольку показатель преломления воздуха $n_{air}$ очень близок к 1, а $\sin(90°) = 1$, мы получаем выражение для синуса критического угла: $\sin(\alpha_c) = \frac{1}{n}$

Теперь рассмотрим геометрическую связь между глубиной водоёма и размерами плота. Пусть камень находится в точке S, а точка на поверхности воды прямо над ним (центр плота) — это точка O. Глубина водоёма $h$ — это катет SO. Пусть P — точка на краю плота. Расстояние от центра до края плота (половина его стороны, если край - середина стороны) $r$ — это катет OP. Луч света SP падает на поверхность в точке P под углом $\alpha_c$ к нормали (вертикали). Из прямоугольного треугольника SOP видно, что угол OSP равен углу падения $\alpha_c$.

Из этого треугольника можно выразить тангенс угла $\alpha_c$:
$\tan(\alpha_c) = \frac{OP}{SO} = \frac{r}{h}$
Отсюда радиус круга на поверхности, за пределами которого камень не виден, равен:
$r = h \cdot \tan(\alpha_c)$

Найдём тангенс критического угла, зная его синус, через основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha_c) + \cos^2(\alpha_c) = 1$:
$\cos(\alpha_c) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_c)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}$
$\tan(\alpha_c) = \frac{\sin(\alpha_c)}{\cos(\alpha_c)} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Теперь можем найти радиус $r$ этого круга видимости:
$r = h \cdot \tan(\alpha_c) = \frac{h}{\sqrt{n^2-1}}$

Квадратный плот должен полностью накрывать этот круг. Минимальный размер квадратного плота, который может накрыть круг радиусом $r$, — это квадрат, в который этот круг вписан. В этом случае сторона квадрата $a$ равна диаметру круга, то есть $a = 2r$.
$a = 2r = \frac{2h}{\sqrt{n^2-1}}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу:
$a = \frac{2 \cdot 1,5}{\sqrt{1,3^2 - 1}} = \frac{3}{\sqrt{1,69 - 1}} = \frac{3}{\sqrt{0,69}}$
$a \approx \frac{3}{0,83066} \approx 3,6116$ м

Округлим результат до двух значащих цифр, как и в исходных данных.

Ответ: минимальная длина стороны квадратного плота должна быть примерно 3,6 м.

1. Если луч света падает на прямоугольную призму под углом $\alpha = 80^{\circ}$ ($\sin 80^{\circ} = 0,98$), то ход луча оказывается симметричным. Чему равен показатель преломления $n$ материала призмы? Ответ округлите до десятых и запишите число $10n$.

1. Дано:

Угол падения луча света на призму: $\alpha = 80°$

Синус угла падения: $\sin(80°) = 0,98$

Призма прямоугольная, ход луча симметричный.

Показатель преломления воздуха: $n_1 = 1$

Найти:

Значение $10n$, где $n$ - показатель преломления материала призмы, округленный до десятых.

Решение:

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой грани призмы, на которую падает луч:

$n_1 \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

где $n_1$ - показатель преломления воздуха (примем равным 1), $\alpha$ - угол падения, $n$ - искомый показатель преломления материала призмы, $\beta$ - угол преломления.

Подставив $n_1 = 1$, получим:

$\sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

Отсюда можно выразить показатель преломления $n$:

$n = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Для нахождения $n$ нам необходимо определить угол преломления $\beta$.

Из условия задачи известно, что призма прямоугольная и ход луча в ней симметричен. Это означает, что призма является равнобедренной прямоугольной призмой, а преломляющий угол (угол при вершине, образованной гранями, через которые проходит луч) равен $90°$.

Симметричность хода луча означает, что угол преломления на первой грани ($\beta$) равен углу падения на вторую грань ($\beta'$). Для любой призмы с преломляющим углом $\phi$ справедливо соотношение: $\phi = \beta + \beta'$.

Так как ход луча симметричен, то $\beta = \beta'$, и преломляющий угол для данной прямоугольной призмы равен $\phi = 90°$.

Таким образом, мы получаем:

$90° = \beta + \beta = 2\beta$

Отсюда находим угол преломления:

$\beta = \frac{90°}{2} = 45°$

Теперь мы можем рассчитать показатель преломления $n$, подставив известные значения в формулу:

$n = \frac{\sin(80°)}{\sin(45°)}$

Используем данные из условия задачи $\sin(80°) = 0,98$ и известное значение $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$:

$n = \frac{0,98}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{0,98 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{1,96}{\sqrt{2}} \approx \frac{1,96}{1,4142} \approx 1,386$

Согласно условию, ответ нужно округлить до десятых. Округляем полученное значение $n$:

$n \approx 1,4$

Далее необходимо записать число $10n$:

$10n = 10 \times 1,4 = 14$

Ответ: 14

2. Водолазу, находящемуся под водой, кажется, что пролетающий над головой самолёт, находится на высоте, равной $900$ м. Определите реальную высоту, на которой летит самолет, если показатель преломления воды равен $\frac{4}{3}$.

Дано:

Найти:

Решение:

Когда наблюдатель смотрит на объект через границу раздела двух сред с разными показателями преломления, ему кажется, что объект находится на другой глубине или высоте. Это явление связано с преломлением света. Кажущаяся высота ($h$) связана с реальной высотой ($H$) соотношением:

$ \frac{h}{H} = \frac{n_{набл}}{n_{об}} $

где $n_{набл}$ — это показатель преломления среды, в которой находится наблюдатель, а $n_{об}$ — показатель преломления среды, в которой находится наблюдаемый объект.

В данной задаче наблюдатель (водолаз) находится в воде, а объект (самолёт) — в воздухе. Следовательно:

$n_{набл} = n_2 = 4/3$ (показатель преломления воды)

$n_{об} = n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)

Подставив эти значения в формулу, получим:

$ \frac{h}{H} = \frac{n_2}{n_1} $

Из этого соотношения выразим реальную высоту $H$:

$ H = h \cdot \frac{n_1}{n_2} $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$ H = 900 \text{ м} \cdot \frac{1}{4/3} = 900 \cdot \frac{3}{4} \text{ м} = 675 \text{ м} $

Таким образом, реальная высота, на которой летит самолёт, меньше кажущейся высоты для наблюдателя под водой.

Ответ: реальная высота, на которой летит самолёт, составляет 675 м.

3. В дно водоёма глубиной 3 м вертикально вбита свая, скрытая под водой. Высота сваи 2 м. Свая отбрасывает на дне водоёма тень длиной 0,75 м. Определите угол падения солнечных лучей на поверхность воды. Показатель преломления воды $n = 4/3$.

Дано:

Глубина водоёма $H = 3$ м

Высота сваи $h = 2$ м

Длина тени сваи $L = 0,75$ м

Показатель преломления воды $n = 4/3$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} = 1$

Найти:

Угол падения солнечных лучей $\alpha$

Решение:

Солнечные лучи падают на поверхность воды под углом падения $\alpha$ к нормали (вертикали) и, преломляясь, входят в воду под углом преломления $\beta$ к нормали. Тень на дне водоёма образуется за счёт того, что свая преграждает путь солнечным лучам. Край тени определяется лучом, который проходит вскользь у верхушки сваи.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вертикально стоящей сваей (катет $h$), её тенью на горизонтальном дне (катет $L$) и преломлённым солнечным лучом, проходящим через верхушку сваи (гипотенуза). В этом треугольнике угол между преломлённым лучом и вертикальной сваей (которая параллельна нормали к поверхности воды) равен углу преломления $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике мы можем найти тангенс угла преломления $\beta$: $$ \tan(\beta) = \frac{L}{h} $$ Подставим известные значения: $$ \tan(\beta) = \frac{0,75 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0,375 = \frac{3}{8} $$

Для применения закона преломления света (закона Снеллиуса) нам необходимо найти синус угла $\beta$. Связь между синусом и тангенсом угла выражается формулой, которую можно вывести из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $$ \sin(\beta) = \frac{\tan(\beta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\beta)}} $$ Подставим найденное значение тангенса: $$ \sin(\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{1 + (3/8)^2}} = \frac{3/8}{\sqrt{1 + 9/64}} = \frac{3/8}{\sqrt{73/64}} = \frac{3/8}{\frac{\sqrt{73}}{8}} = \frac{3}{\sqrt{73}} $$

Закон преломления света Снеллиуса связывает углы падения и преломления на границе двух сред: $$ n_{воздуха} \sin(\alpha) = n \sin(\beta) $$ Поскольку показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$, формула упрощается: $$ \sin(\alpha) = n \sin(\beta) $$ Подставим известные значения $n$ и найденное значение $\sin(\beta)$: $$ \sin(\alpha) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{73}} = \frac{4}{\sqrt{73}} $$

Теперь найдём сам угол падения $\alpha$: $$ \alpha = \arcsin\left(\frac{4}{\sqrt{73}}\right) $$ Вычислим приближенное значение. Используя калькулятор, $\sqrt{73} \approx 8,544$. $$ \sin(\alpha) \approx \frac{4}{8,544} \approx 0,4682 $$ $$ \alpha \approx \arcsin(0,4682) \approx 27,9^\circ $$ Округлим результат до целых. $$ \alpha \approx 28^\circ $$ Информация о глубине водоёма ($H = 3$ м) является избыточной, так как она лишь подтверждает, что свая высотой $h=2$ м полностью находится под водой.

Ответ: угол падения солнечных лучей на поверхность воды составляет приблизительно $28^\circ$.

4. На поверхности воды плавает надувной плот шириной 4 м и длиной 6 м. Небо затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет. Определите глубину тени под плотом. Глубину погружения плота и рассеивание света водой не учитывайте. Показатель преломления воды относительно воздуха $n = 4/3$.

Дано:

Ширина плота, $w = 4$ м
Длина плота, $l = 6$ м
Показатель преломления воды, $n = 4/3$

Найти:

Глубину тени под плотом, $h$

Решение:

Поскольку небо затянуто сплошным облачным покровом, свет является рассеянным, то есть падает на поверхность воды со всех направлений. Тень под плотом — это область, в которую не попадает ни один световой луч. Глубина тени — это максимальная глубина, на которой еще существует область полной тени (умбры).

Область полной тени исчезнет на той глубине $h$, на которую смогут попасть световые лучи, прошедшие в воду у самых краев плота. Предельными лучами, определяющими границу тени, являются лучи, скользящие по поверхности воды, то есть падающие на границу раздела воздух-вода под углом $\alpha = 90^\circ$ к нормали.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):
$n_{воздуха} \sin\alpha = n \sin\beta$

Принимая показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$ и для предельного угла падения $\alpha = 90^\circ$, угол преломления $\beta$ будет максимальным. Этот предельный угол преломления $\beta_{пред}$ определяется из соотношения:
$1 \cdot \sin(90^\circ) = n \sin\beta_{пред}$
$\sin\beta_{пред} = 1/n$

Точка на центральной оси под плотом на глубине $h$ будет освещена, если до нее дойдут лучи, вошедшие в воду за пределами плота. Тень полностью исчезнет на той глубине, где световые лучи, вошедшие в воду у ближайших к центру краев плота, сойдутся на центральной оси.

Для прямоугольного плота ближайшими к центру точками периметра являются середины его более коротких сторон (ширины). Расстояние от центра плота до середины его короткой стороны равно $w/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вертикальной линией от поверхности воды до глубины $h$, горизонтальным отрезком от этой линии до края плота (длиной $w/2$) и преломленным лучом. Из геометрии этого треугольника следует:
$\tan\beta_{пред} = \frac{w/2}{h}$

Отсюда можно выразить глубину тени $h$:
$h = \frac{w/2}{\tan\beta_{пред}}$

Найдем $\tan\beta_{пред}$, зная $\sin\beta_{пред} = 1/n$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ :
$\cos\beta_{пред} = \sqrt{1 - \sin^2\beta_{пред}} = \sqrt{1 - (1/n)^2} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}$
$\tan\beta_{пред} = \frac{\sin\beta_{пред}}{\cos\beta_{пред}} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Подставим выражение для тангенса в формулу для глубины:
$h = \frac{w/2}{1/\sqrt{n^2-1}} = \frac{w}{2}\sqrt{n^2-1}$

Теперь подставим числовые значения:
$w = 4$ м
$n = 4/3$
$h = \frac{4}{2}\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1} = 2\sqrt{\frac{16}{9} - 1} = 2\sqrt{\frac{16-9}{9}} = 2\sqrt{\frac{7}{9}} = 2 \frac{\sqrt{7}}{3} \approx 1.76$ м

Ответ: глубина тени под плотом составляет $h = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ м, что приблизительно равно $1.76$ м.

5. На дне аквариума глубиной 20 см лежит плоское зеркало. Чему равно расстояние от лица человека до его мнимого изображения в зеркале, если он рассматривает его с расстояния 20 см над поверхностью воды? Используйте тот факт, что для малых углов $tg \alpha \approx sin \alpha$. Показатель преломления воды $n = 4/3$.

Дано:

Найти:

Решение:

Искомое расстояние $L$ — это расстояние от объекта (лица) до его мнимого изображения, которое видит наблюдатель. Это изображение формируется в результате двух оптических явлений: преломления света на границе вода-воздух и отражения от зеркала на дне. Для решения задачи воспользуемся понятием кажущейся глубины. Формула для кажущейся глубины справедлива для лучей, падающих на границу раздела сред почти перпендикулярно (под малыми углами), что соответствует условию задачи ($tg \alpha \approx \sin \alpha$).

Сначала определим кажущуюся глубину, на которой наблюдатель из воздуха видит зеркало. Зеркало находится на физической глубине $H$ в воде. Из-за преломления света на выходе из воды в воздух наблюдателю кажется, что зеркало находится на меньшей глубине $H_{каж}$, которая рассчитывается по формуле:

$H_{каж} = \frac{H}{n}$

Теперь найдем кажущееся расстояние от лица наблюдателя до этого кажущегося положения зеркала. Лицо находится на расстоянии $h$ над поверхностью воды, а кажущееся положение зеркала — на глубине $H_{каж}$ под поверхностью. Таким образом, общее кажущееся расстояние от лица до зеркала ($D_{каж}$) равно сумме этих расстояний:

$D_{каж} = h + H_{каж} = h + \frac{H}{n}$

Плоское зеркало формирует мнимое изображение на таком же расстоянии за зеркалом, на каком объект находится перед ним. В нашей оптической системе "объектом" для "кажущегося" зеркала является лицо, находящееся на кажущемся расстоянии $D_{каж}$. Следовательно, мнимое изображение будет сформировано на таком же кажущемся расстоянии $D_{каж}$ за кажущимся положением зеркала.

Итоговое расстояние $L$ от лица до его мнимого изображения равно сумме кажущегося расстояния от лица до зеркала и кажущегося расстояния от зеркала до изображения:

$L = D_{каж} + D_{каж} = 2 \cdot D_{каж} = 2 \cdot (h + \frac{H}{n})$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$L = 2 \cdot (20 \text{ см} + \frac{20 \text{ см}}{4/3}) = 2 \cdot (20 \text{ см} + 20 \text{ см} \cdot \frac{3}{4}) = 2 \cdot (20 \text{ см} + 15 \text{ см})$

$L = 2 \cdot 35 \text{ см} = 70 \text{ см}$

Ответ: расстояние от лица человека до его мнимого изображения в зеркале равно 70 см.