Номер 2, страница 370 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Как связаны периоды обращения планет с их средними расстояниями до Солнца?

Связь между периодами обращения планет вокруг Солнца и их средними расстояниями до него описывается третьим законом Кеплера. Этот закон был эмпирически установлен немецким астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году и позже теоретически обоснован Исааком Ньютоном на основе закона всемирного тяготения.

Формулировка закона гласит: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Для орбит, близких к круговым (что справедливо для большинства планет), большую полуось можно считать средним расстоянием от планеты до Солнца.

Математически для двух любых планет, вращающихся вокруг одного и того же центрального тела (в данном случае Солнца), это соотношение можно записать в виде:$ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} $где $T_1$ и $T_2$ — сидерические периоды обращения двух планет (время полного оборота вокруг Солнца), а $a_1$ и $a_2$ — большие полуоси их орбит (средние расстояния до Солнца).

Это соотношение можно также представить в виде, показывающем, что отношение квадрата периода к кубу среднего расстояния является постоянной величиной для всех планет Солнечной системы:$ \frac{T^2}{a^3} = C $где $C$ — константа, одинаковая для всех тел, вращающихся вокруг Солнца.

Из этого закона следует, что чем дальше планета находится от Солнца, тем больше времени ей требуется для совершения одного полного оборота. Причем эта зависимость нелинейная: с увеличением расстояния период обращения растет значительно быстрее. Например, если одна планета находится в 4 раза дальше от Солнца, чем другая, то ее период обращения будет в $ \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8 $ раз длиннее.

Уточненный третий закон Кеплера, выведенный Ньютоном, учитывает массы тел и выглядит так:$ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3 $В этой формуле $T$ — период обращения планеты, $a$ — большая полуось ее орбиты, $M$ — масса Солнца, $m$ — масса планеты, а $G$ — гравитационная постоянная. Поскольку масса Солнца ($M$) намного больше массы любой из планет ($m$), то в сумме $M+m$ массой планеты можно пренебречь, и константа $C$ из предыдущей формулы оказывается приблизительно равной $ \frac{4\pi^2}{GM} $.

Ответ:

Периоды обращения планет ($T$) и их средние расстояния до Солнца ($a$) связаны третьим законом Кеплера. Согласно этому закону, квадрат периода обращения планеты прямо пропорционален кубу ее среднего расстояния до Солнца. Математически это выражается формулой $ \frac{T^2}{a^3} = \text{const} $. Это означает, что с увеличением расстояния от Солнца период обращения планеты возрастает, причём значительно быстрее, чем само расстояние.