Страница 144 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Начертите мгновенный снимок электромагнитной волны через половину периода $(T/2)$.

Электромагнитная волна представляет собой распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Она состоит из двух компонент: электрического поля, характеризуемого вектором напряженности $\vec{E}$, и магнитного поля, характеризуемого вектором магнитной индукции $\vec{B}$. В поперечной электромагнитной волне векторы $\vec{E}$, $\vec{B}$ и вектор скорости распространения волны $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны. Колебания векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$ происходят в одинаковой фазе.

Мгновенный снимок волны — это ее «фотография» в определенный момент времени, показывающая зависимость напряженности полей от координаты. Задача состоит в том, чтобы начертить мгновенный снимок волны через половину периода, то есть в момент времени $t = T/2$ после некоторого начального момента $t=0$.

Решение

За время, равное одному полному периоду колебаний $T$, волна распространяется на расстояние, равное одной длине волны $\lambda$. Следовательно, за время, равное половине периода, $T/2$, волна сместится в направлении своего распространения на расстояние, равное половине длины волны, то есть на $\lambda/2$.

Одновременно с этим, через половину периода фаза колебаний в любой фиксированной точке пространства изменяется на $\pi$ радиан (или 180°). Это означает, что векторы напряженности электрического поля $\vec{E}$ и магнитной индукции $\vec{B}$ в каждой точке пространства изменят свое направление на противоположное.

Математически, если в момент времени $t=0$ распределение полей описывалось функциями $E(x, 0) = E_{max} \sin(kx)$, то в момент времени $t = T/2$ смещение волны приведет к следующему выражению для электрического поля: $E(x, T/2) = E_{max} \sin(k(x - v \cdot T/2))$.

Зная, что скорость волны $v$, период $T$ и длина волны $\lambda$ связаны как $vT = \lambda$, а волновое число $k = 2\pi/\lambda$, мы можем упростить выражение. Смещение за половину периода равно $v \cdot T/2 = \lambda/2$. Тогда фазовый сдвиг составляет $k \cdot \lambda/2 = (2\pi/\lambda) \cdot (\lambda/2) = \pi$.

В итоге получаем: $E(x, T/2) = E_{max} \sin(kx - \pi) = -E_{max} \sin(kx)$. Аналогично для магнитного поля: $B(x, T/2) = -B_{max} \sin(kx)$.

Это означает, что «снимок» волны через половину периода будет представлять собой исходную синусоиду, но «перевернутую» относительно оси распространения. Гребни волны станут впадинами, а впадины — гребнями.

Ниже представлен чертеж мгновенного снимка электромагнитной волны в момент времени $t = T/2$. Для наглядности пунктирной линией показано исходное положение волны в момент $t=0$.

Ответ:

Мгновенный снимок электромагнитной волны через половину периода ($T/2$) будет представлять собой исходную волну, но инвертированную («перевернутую») относительно оси распространения. Это происходит потому, что за время $T/2$ волна смещается на половину длины волны ($\lambda/2$), и фаза колебаний векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$ в каждой точке пространства изменяется на противоположную (на $\pi$ радиан). Таким образом, гребни волны становятся впадинами, а впадины — гребнями, при этом направления векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$ в каждой точке инвертируются. Графическое представление этого состояния показано на рисунке выше.

Запишите уравнение электромагнитной волны, т. е. уравнения $E(z, t)$ и $B(z, t)$.

Решение

Электромагнитная волна представляет собой процесс распространения в пространстве и времени колебаний электромагнитного поля. Рассмотрим наиболее простой случай — плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в вакууме. В такой волне векторы напряженности электрического поля $\vec{E}$ и индукции магнитного поля $\vec{B}$ в любой точке пространства перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны.

Из обозначений $E(z, t)$ и $B(z, t)$ следует, что волна распространяется вдоль оси $z$. Это означает, что векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ лежат в плоскости $xy$. Для линейно поляризованной волны можно выбрать систему координат так, чтобы вектор $\vec{E}$ колебался вдоль оси $x$, а вектор $\vec{B}$ — вдоль оси $y$. Колебания полей происходят синфазно, то есть одновременно достигают своих максимальных и минимальных значений.

В этом случае уравнения, описывающие зависимость компонент полей от координаты $z$ и времени $t$, имеют вид гармонических колебаний:

Уравнение для напряженности электрического поля:

$E(z, t) = E_m \cos(\omega t - kz + \phi_0)$

Уравнение для индукции магнитного поля:

$B(z, t) = B_m \cos(\omega t - kz + \phi_0)$

Здесь:

$E_m$ и $B_m$ — это амплитуды, то есть максимальные значения модулей векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля соответственно.

$\omega$ — это циклическая (или угловая) частота колебаний. Она связана с частотой $\nu$ и периодом $T$ соотношениями $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$.

$k$ — это волновое число. Оно связано с длиной волны $\lambda$ соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.

$\phi_0$ — это начальная фаза колебаний. Её значение зависит от выбора начала отсчета времени и координаты. Часто для упрощения начальную фазу полагают равной нулю ($\phi_0 = 0$).

Выражение $(\omega t - kz + \phi_0)$ является фазой волны. Знак "минус" перед членом $kz$ указывает, что волна распространяется в положительном направлении оси $z$.

Амплитуды электрической и магнитной составляющих волны в вакууме связаны между собой через скорость света $c$ ($c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с):

$E_m = c \cdot B_m$

Также через скорость света связаны циклическая частота и волновое число:

$\omega = c \cdot k$

Ответ:

Уравнения для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме вдоль оси $z$ (с вектором $\vec{E}$, колеблющимся вдоль оси $x$, и вектором $\vec{B}$, колеблющимся вдоль оси $y$), при $\phi_0=0$ имеют вид:

$E(z, t) = E_m \cos(\omega t - kz)$

$B(z, t) = B_m \cos(\omega t - kz)$

Учитывая связь между амплитудами, уравнение для магнитного поля можно выразить через амплитуду электрического поля:

$B(z, t) = \frac{E_m}{c} \cos(\omega t - kz)$