Номер 4, страница 59 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. Нагрузка, потребляющая мощность $P = 1 \text{ МВт}$, находится на расстоянии $l = 75 \text{ км}$ от электростанции. Какой должна быть мощность на входе линии электропередачи, если площадь поперечного сечения медных проводов $S = 16 \text{ мм}^2$? Удельное сопротивление меди $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{ м}$. Напряжение на линии $40 \text{ кВ}$, $\cos\varphi = 0,63$.

Дано:

$P = 1 \text{ МВт} = 1 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

$l = 75 \text{ км} = 75 \cdot 10^3 \text{ м}$

$S = 16 \text{ мм}^2 = 16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$U = 40 \text{ кВ} = 4 \cdot 10^4 \text{ В}$

$\cos\varphi = 0,63$

Найти:

$P_{вх}$

Решение:

Мощность на входе линии электропередачи ($P_{вх}$) складывается из мощности, которую потребляет нагрузка ($\text{P}$), и мощности, которая теряется в проводах линии при передаче ($P_{потерь}$).

$P_{вх} = P + P_{потерь}$

Мощность потерь в проводах вычисляется по закону Джоуля-Ленца:

$P_{потерь} = I^2 R$,

где $\text{I}$ — сила тока в линии, а $\text{R}$ — сопротивление проводов.

1. Сначала определим сопротивление линии электропередачи. Линия состоит из двух проводов (прямого и обратного), поэтому её общая длина $\text{L}$ в два раза больше расстояния $\text{l}$ до электростанции: $L = 2l$.

Сопротивление проводов рассчитывается по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{2l}{S}$

Подставим числовые значения:

$R = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{2 \cdot 75 \cdot 10^3 \text{ м}}{16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{1,7 \cdot 150}{16} \cdot 10^{-8+3-(-6)} \text{ Ом} = 15,9375 \cdot 10 \text{ Ом} = 159,375 \text{ Ом}$

2. Далее найдем силу тока в линии. Активная мощность, потребляемая нагрузкой, связана с напряжением на нагрузке, силой тока и коэффициентом мощности ($\cos\varphi$) следующим соотношением:

$P = U I \cos\varphi$

Предположим, что указанное в условии напряжение $U = 40 \text{ кВ}$ является напряжением на нагрузке. Тогда сила тока в линии равна:

$I = \frac{P}{U \cos\varphi}$

$I = \frac{10^6 \text{ Вт}}{40 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot 0,63} = \frac{10^6}{25200} \text{ А} \approx 39,68 \text{ А}$

3. Теперь мы можем рассчитать мощность потерь в проводах:

$P_{потерь} = I^2 R \approx (39,68 \text{ А})^2 \cdot 159,375 \text{ Ом} \approx 1574,5 \cdot 159,375 \text{ Вт} \approx 250930 \text{ Вт}$

Для большей точности выполним расчет без промежуточных округлений:

$P_{потерь} = (\frac{10^6}{25200})^2 \cdot 159,375 \text{ Вт} \approx 250964,5 \text{ Вт} \approx 0,251 \text{ МВт}$

4. Наконец, определим мощность на входе линии электропередачи:

$P_{вх} = P + P_{потерь} = 10^6 \text{ Вт} + 250964,5 \text{ Вт} = 1250964,5 \text{ Вт}$

Результат следует округлить с учетом точности исходных данных. Большинство величин задано с двумя значащими цифрами (например, $S=16$, $l=75$, $\rho=1,7$, $\cos\varphi=0,63$). Поэтому округлим ответ до двух значащих цифр.

$P_{вх} \approx 1,3 \cdot 10^6 \text{ Вт} = 1,3 \text{ МВт}$

Ответ: мощность на входе линии электропередачи должна быть примерно $1,3 \text{ МВт}$.