Номер 5, страница 59 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5*. На какое расстояние можно передать энергию мощностью $P = 200 \text{ МВт}$ с потерями не более 10% по медным проводам с площадью поперечного сечения $S = 15 \text{ мм}^2$? Линия находится под напряжением $U = 350 \text{ кВ}$, $\cos\varphi = 0,87$.

Дано:

Мощность, передаваемая потребителю, $P = 200$ МВт
Допустимые потери мощности, $\eta_{потерь} \le 10\%$
Площадь поперечного сечения медного провода, $S = 15$ мм$^2$
Напряжение в линии, $U = 350$ кВ
Коэффициент мощности, $\cos\phi = 0,87$
Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м (справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$P = 200 \cdot 10^6 \text{ Вт} = 2 \cdot 10^8 \text{ Вт}$
$\eta_{потерь} = 0,1$
$S = 15 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$U = 350 \cdot 10^3 \text{ В} = 3,5 \cdot 10^5 \text{ В}$

Найти:

Расстояние передачи энергии, $\text{l}$

Решение:

Активная мощность, передаваемая по линии электропередачи, связана с напряжением $\text{U}$, силой тока $\text{I}$ и коэффициентом мощности $\cos\phi$ соотношением: $P = U I \cos\phi$

Отсюда можно выразить силу тока в линии: $I = \frac{P}{U \cos\phi}$

Мощность потерь $P_{потерь}$ в проводах линии электропередачи определяется по закону Джоуля-Ленца: $P_{потерь} = I^2 R$ где $\text{R}$ — полное сопротивление проводов линии.

По условию задачи, потери мощности не должны превышать 10% от передаваемой мощности. Для нахождения максимального расстояния примем потери равными 10%: $P_{потерь} = \eta_{потерь} \cdot P = 0,1 P$

Приравняем два выражения для мощности потерь и подставим формулу для силы тока: $I^2 R = 0,1 P$ $(\frac{P}{U \cos\phi})^2 R = 0,1 P$

Сопротивление линии электропередачи, состоящей из двух проводов (прямого и обратного), длиной $\text{l}$ каждый, равно: $R = \rho \frac{2l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала проводов (меди), $\text{S}$ — площадь поперечного сечения провода.

Подставим выражение для сопротивления в уравнение потерь: $(\frac{P}{U \cos\phi})^2 \cdot (\rho \frac{2l}{S}) = 0,1 P$

Сократим на $\text{P}$ и выразим искомое расстояние $\text{l}$: $\frac{P}{U^2 \cos^2\phi} \cdot \frac{2 \rho l}{S} = 0,1$ $l = \frac{0,1 \cdot U^2 S \cos^2\phi}{2 \rho P}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $l = \frac{0,1 \cdot (3,5 \cdot 10^5)^2 \cdot (15 \cdot 10^{-6}) \cdot (0,87)^2}{2 \cdot (1,7 \cdot 10^{-8}) \cdot (2 \cdot 10^8)}$ $l = \frac{0,1 \cdot 12,25 \cdot 10^{10} \cdot 15 \cdot 10^{-6} \cdot 0,7569}{6,8}$ $l = \frac{139073,4375}{6,8} \approx 20452 \text{ м}$

Переведем результат в километры: $l \approx 20,5 \text{ км}$

Ответ: энергию можно передать на расстояние не более 20,5 км.