Номер 4, страница 136 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. Предмет расположен перед вогнутым сферическим зеркалом перпендикулярно его главной оптической оси так, что отношение линейных размеров действительного изображения предмета к размерам предмета оказалось равным $ \Gamma_1 = 1,5 $. После того как предмет отодвинули на $ l = 16 \text{ см} $ от зеркала, отношение размеров изображения и предмета стало $ \Gamma_2 = 0,5 $. Определите радиус кривизны зеркала.

Дано:

Линейное увеличение в первом случае $\Gamma_1 = 1,5$

Смещение предмета $l = 16$ см

Линейное увеличение во втором случае $\Gamma_2 = 0,5$

$l = 16 \text{ см} = 0,16 \text{ м}$

Найти:

Радиус кривизны зеркала $\text{R}$.

Решение:

Используем формулу тонкой линзы для сферического зеркала. Для вогнутого зеркала фокусное расстояние $\text{F}$ положительно. В условии сказано, что изображение действительное, значит, оно находится по ту же сторону от зеркала, что и предмет, и расстояние до изображения $\text{f}$ также положительно.

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{d}$ - расстояние от предмета до зеркала, $\text{f}$ - расстояние от изображения до зеркала, $\text{F}$ - фокусное расстояние зеркала.

Линейное увеличение $\Gamma$ (отношение размера изображения к размеру предмета) связано с расстояниями $\text{d}$ и $\text{f}$ следующим образом:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Рассмотрим два случая.

1. Начальное положение предмета.

Пусть начальное расстояние от предмета до зеркала равно $d_1$, а расстояние до изображения - $f_1$.

По условию, $\Gamma_1 = 1,5$. Следовательно:

$\frac{f_1}{d_1} = 1,5 \implies f_1 = 1,5 d_1$

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{1,5 d_1} = \frac{1}{F}$

$\frac{1,5 + 1}{1,5 d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{2,5}{1,5 d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{5}{3 d_1} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим фокусное расстояние:

$F = \frac{3d_1}{5} = 0,6d_1$

2. Конечное положение предмета.

Предмет отодвинули на расстояние $\text{l}$, поэтому новое расстояние от предмета до зеркала $d_2 = d_1 + l$. Новое расстояние до изображения обозначим $f_2$.

Новое увеличение $\Gamma_2 = 0,5$.

$\frac{f_2}{d_2} = 0,5 \implies f_2 = 0,5 d_2 = 0,5 (d_1 + l)$

Снова подставляем в формулу зеркала:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d_1 + l} + \frac{1}{0,5(d_1 + l)} = \frac{1}{F}$

$\frac{1+2}{d_1 + l} = \frac{1}{F} \implies \frac{3}{d_1 + l} = \frac{1}{F}$

Выразим фокусное расстояние для второго случая:

$F = \frac{d_1 + l}{3}$

3. Нахождение радиуса кривизны.

Так как фокусное расстояние зеркала не изменилось, мы можем приравнять два полученных выражения для $\text{F}$:

$0,6d_1 = \frac{d_1 + l}{3}$

Решим это уравнение относительно $d_1$:

$1,8d_1 = d_1 + l$

$0,8d_1 = l$

$d_1 = \frac{l}{0,8} = \frac{16 \text{ см}}{0,8} = 20 \text{ см}$

Теперь, зная $d_1$, можем найти фокусное расстояние $\text{F}$:

$F = 0,6d_1 = 0,6 \cdot 20 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Радиус кривизны сферического зеркала $\text{R}$ связан с его фокусным расстоянием по формуле $R = 2F$.

$R = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Ответ: Радиус кривизны зеркала равен 24 см.