Задание 1, страница 191 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Докажите, что давление света на белую поверхность равна $p = \frac{2I}{c}$, на черную поверхность $p = \frac{I}{c}$.

При доказательстве примите коэффициент отражения белой поверхности равной $\rho = 1$, черной поверхности $\rho = 0$.

2. Запишите единицы измерения давления и плотности энергии. Докажите, что они равны.

1. Решение

Давление света $\text{p}$ на поверхность определяется как сила $\text{F}$, действующая на единицу площади $\text{S}$: $p = \frac{F}{S}$. Сила, в свою очередь, равна изменению импульса $\Delta P_{пов}$ за промежуток времени $\Delta t$: $F = \frac{\Delta P_{пов}}{\Delta t}$. Таким образом, давление можно выразить как $p = \frac{\Delta P_{пов}}{S \Delta t}$.

Рассмотрим поток электромагнитного излучения (света), падающий перпендикулярно на поверхность площадью $\text{S}$ в течение времени $\Delta t$. Энергия этого излучения равна $E = I S \Delta t$, где $\text{I}$ — интенсивность света (энергия, проходящая через единичную площадку за единицу времени). Согласно корпускулярно-волновой теории, свет состоит из фотонов. Импульс фотона связан с его энергией как $p_{ф} = \frac{E_{ф}}{c}$. Суммарный импульс всех падающих на поверхность фотонов равен $P_{пад} = \frac{E}{c} = \frac{I S \Delta t}{c}$.

При взаимодействии с поверхностью часть фотонов поглощается, а часть отражается. Коэффициент отражения $\rho$ показывает, какая доля энергии (и, соответственно, числа фотонов) отражается от поверхности. Доля поглощенных фотонов равна $(1-\rho)$.

Изменение импульса при поглощении одного фотона равно его начальному импульсу $p_{ф}$. При отражении фотон меняет направление движения на противоположное, и изменение его импульса равно $2p_{ф}$.

Суммарный импульс, переданный поверхности за время $\Delta t$, складывается из импульса, переданного поглощенными и отраженными фотонами: $\Delta P_{пов} = (1-\rho)P_{пад} + \rho(2P_{пад}) = (1-\rho+2\rho)P_{пад} = (1+\rho)P_{пад}$.

Подставим выражение для $P_{пад}$: $\Delta P_{пов} = (1+\rho)\frac{I S \Delta t}{c}$.

Тогда давление на поверхность равно: $p = \frac{\Delta P_{пов}}{S \Delta t} = \frac{(1+\rho)I S \Delta t}{c S \Delta t} = \frac{I(1+\rho)}{c}$.

Теперь рассмотрим два частных случая:

а) Черная поверхность. Для идеально черной поверхности коэффициент отражения $\rho = 0$, так как она полностью поглощает падающее излучение. Подставляя это значение в общую формулу, получаем: $p = \frac{I(1+0)}{c} = \frac{I}{c}$.

б) Белая поверхность. Для идеально белой (зеркальной) поверхности коэффициент отражения $\rho = 1$, так как она полностью отражает падающее излучение. Подставляя это значение, получаем: $p = \frac{I(1+1)}{c} = \frac{2I}{c}$.

Таким образом, требуемые формулы доказаны.

Ответ: Формулы для давления света выводятся из закона сохранения импульса. При взаимодействии с поверхностью фотоны передают ей свой импульс. В случае с черной поверхностью ($\rho=0$) происходит полное поглощение, и давление равно $p = I/c$. В случае с белой поверхностью ($\rho=1$) происходит полное отражение, изменение импульса фотонов удваивается, и давление также удваивается: $p = 2I/c$.

2. Решение

Единицей измерения давления в Международной системе единиц (СИ) является Паскаль (Па). Давление — это сила, приложенная к единице площади, поэтому Паскаль определяется как Ньютон на квадратный метр: $1 \text{ Па} = 1 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2}$.

Плотность энергии — это количество энергии в единице объема. Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль (Дж), а единицей объема — кубический метр ($\text{м}^3$). Следовательно, единица измерения плотности энергии — Джоуль на кубический метр: $1 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$.

Докажем, что эти единицы измерения эквивалентны. Для этого воспользуемся определением Джоуля. Джоуль — это работа, совершаемая силой в 1 Ньютон при перемещении точки приложения силы на 1 метр в направлении действия силы: $1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Теперь подставим это определение в единицу плотности энергии: $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{м}^3}$.

Сократив метры в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{м}^3} = \frac{\text{Н}}{\text{м}^2}$.

Как было показано выше, $\frac{\text{Н}}{\text{м}^2}$ есть определение Паскаля. Следовательно, $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = \text{Па}$. Равенство единиц измерения доказано.

Ответ: Единица измерения давления — Паскаль ($\text{Па} = \text{Н}/\text{м}^2$). Единица измерения плотности энергии — Джоуль на кубический метр ($\text{Дж}/\text{м}^3$). Их равенство доказывается через определение Джоуля ($1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot \text{м}$), из которого следует, что $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{м}^3} = \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} = \text{Па}$.