Номер 5, страница 190 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. Калиевый фотоэлемент сначала освещают светом с длиной волны $\lambda_1 = 124$ нм, а затем – светом с длиной волны $\lambda_2 = 414$ нм. Определите отношение задерживающих разностей потенциалов.

Дано:

Длина волны света в первом случае, $\lambda_1 = 124 \text{ нм}$
Длина волны света во втором случае, $\lambda_2 = 414 \text{ нм}$
Материал фотоэлемента - калий.

Перевод в СИ:
$\lambda_1 = 124 \times 10^{-9} \text{ м}$
$\lambda_2 = 414 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Отношение задерживающих разностей потенциалов, $\frac{U_{з1}}{U_{з2}}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэлектрического эффекта:
$E_{ф} = A_{вых} + E_{k,max}$
где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла, а $E_{k,max}$ — максимальная кинетическая энергия вылетевшего фотоэлектрона.
Энергия фотона определяется его длиной волны $\lambda$:
$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$
где $\text{h}$ — постоянная Планка ($h \approx 6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$), $\text{c}$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$).
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с задерживающей разностью потенциалов (задерживающим напряжением) $U_з$ следующим образом:
$E_{k,max} = eU_з$
где $\text{e}$ — элементарный заряд ($e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$).

Подставив выражения для энергии фотона и кинетической энергии в уравнение Эйнштейна, получим:
$\frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + eU_з$
Отсюда можно выразить задерживающее напряжение для каждого случая:
Для первой длины волны $\lambda_1$: $eU_{з1} = \frac{hc}{\lambda_1} - A_{вых}$
Для второй длины волны $\lambda_2$: $eU_{з2} = \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых}$

Требуется найти отношение $\frac{U_{з1}}{U_{з2}}$. Разделив одно уравнение на другое, получим:
$\frac{U_{з1}}{U_{з2}} = \frac{\frac{hc}{\lambda_1} - A_{вых}}{\frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых}}$

Для вычислений удобно использовать внесистемные единицы — электрон-вольты (эВ), а также полезное соотношение $hc \approx 1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}$. Работа выхода для калия $A_{вых}$ по справочным данным составляет примерно $2.25 \text{ эВ}$.

Рассчитаем энергии фотонов для каждого случая:
$E_{ф1} = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{124 \text{ нм}} = 10 \text{ эВ}$
$E_{ф2} = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{414 \text{ нм}} \approx 3.0 \text{ эВ}$

Теперь найдем максимальные кинетические энергии (в эВ), численные значения которых равны задерживающим потенциалам (в Вольтах):
$E_{k,max1} = E_{ф1} - A_{вых} = 10 \text{ эВ} - 2.25 \text{ эВ} = 7.75 \text{ эВ}$ (соответствует $U_{з1} = 7.75 \text{ В}$)
$E_{k,max2} = E_{ф2} - A_{вых} = 3.0 \text{ эВ} - 2.25 \text{ эВ} = 0.75 \text{ эВ}$ (соответствует $U_{з2} = 0.75 \text{ В}$)

Наконец, найдем искомое отношение:
$\frac{U_{з1}}{U_{з2}} = \frac{7.75}{0.75} = \frac{31/4}{3/4} = \frac{31}{3} \approx 10.33$

Ответ: отношение задерживающих разностей потенциалов равно $\frac{31}{3}$, или приблизительно 10.33.