Номер 4, страница 209 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Атом водорода переходит с четвертого энергетического уровня на первый. Сколько линий можно обнаружить в спектре испускания этого атома? Определите длины волн, соответствующих линиям спектра.

Сколько линий можно обнаружить в спектре испускания этого атома?

Когда атом водорода находится на четвертом энергетическом уровне ($n=4$), он может переходить на более низкие уровни (3, 2, 1) не только напрямую, но и каскадно, совершая несколько последовательных переходов. Каждому такому переходу соответствует одна линия в спектре испускания. Найдем все возможные переходы:

1. Переходы с 4-го уровня: 4 → 3, 4 → 2, 4 → 1 (3 линии)

2. Переходы с 3-го уровня (если атом попал на него с 4-го): 3 → 2, 3 → 1 (2 линии)

3. Переход со 2-го уровня (если атом попал на него с 4-го или 3-го): 2 → 1 (1 линия)

Общее число возможных переходов равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.

Также число спектральных линий при переходе с уровня $\text{n}$ на основной можно рассчитать по формуле: $N = \frac{n(n-1)}{2}$. Для $n=4$ получаем: $N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: можно обнаружить 6 линий.

Определите длины волн, соответствующих линиям спектра.

Дано:

Начальный максимальный энергетический уровень $n_{max} = 4$

Конечный минимальный энергетический уровень $n_{min} = 1$

Постоянная Ридберга $R \approx 1.097 \cdot 10^7$ м⁻¹

Найти:

Длины волн $\lambda$ для всех возможных переходов.

Решение:

Для определения длин волн используем обобщенную формулу Бальмера (формулу Ридберга):

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

где $\lambda$ - длина волны испускаемого фотона, $\text{R}$ - постоянная Ридберга, $n_i$ - номер начального (более высокого) энергетического уровня, $n_f$ - номер конечного (более низкого) энергетического уровня.

Рассчитаем длины волн для каждого из 6 возможных переходов:

1. Переход 4 → 1 ($n_i=4, n_f=1$):

$\frac{1}{\lambda_{4\to1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15}{16}R$

$\lambda_{4\to1} = \frac{16}{15R} = \frac{16}{15 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 9.72 \cdot 10^{-8} \text{ м} = 97.2 \text{ нм}$ (серия Лаймана, ультрафиолет)

2. Переход 3 → 1 ($n_i=3, n_f=1$):

$\frac{1}{\lambda_{3\to1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9}R$

$\lambda_{3\to1} = \frac{9}{8R} = \frac{9}{8 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1.026 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 102.6 \text{ нм}$ (серия Лаймана, ультрафиолет)

3. Переход 2 → 1 ($n_i=2, n_f=1$):

$\frac{1}{\lambda_{2\to1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}R$

$\lambda_{2\to1} = \frac{4}{3R} = \frac{4}{3 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1.215 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 121.5 \text{ нм}$ (серия Лаймана, ультрафиолет)

4. Переход 4 → 2 ($n_i=4, n_f=2$):

$\frac{1}{\lambda_{4\to2}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3}{16}R$

$\lambda_{4\to2} = \frac{16}{3R} = \frac{16}{3 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 4.86 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 486 \text{ нм}$ (серия Бальмера, видимый свет)

5. Переход 3 → 2 ($n_i=3, n_f=2$):

$\frac{1}{\lambda_{3\to2}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36}R$

$\lambda_{3\to2} = \frac{36}{5R} = \frac{36}{5 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 6.56 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 656 \text{ нм}$ (серия Бальмера, видимый свет)

6. Переход 4 → 3 ($n_i=4, n_f=3$):

$\frac{1}{\lambda_{4\to3}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7}{144}R$

$\lambda_{4\to3} = \frac{144}{7R} = \frac{144}{7 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1.875 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 1875 \text{ нм}$ (серия Пашена, инфракрасное излучение)

Ответ: длины волн, соответствующие линиям спектра: $\lambda_{4\to1} \approx 97.2 \text{ нм}$, $\lambda_{3\to1} \approx 102.6 \text{ нм}$, $\lambda_{2\to1} \approx 121.5 \text{ нм}$, $\lambda_{4\to2} \approx 486 \text{ нм}$, $\lambda_{3\to2} \approx 656 \text{ нм}$, $\lambda_{4\to3} \approx 1875 \text{ нм}$.