Номер 5, страница 215 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5*. Расходимость лазерного излучения $\varphi = 1 \text{ мрад}$. За один импульс продолжительностью $t = 0,8 \text{ мкс}$ лазер излучает $800 \text{ мДж}$ световой энергии. Определите плотность потока излучения на расстоянии $8 \text{ м}$ от лазера.

Дано:

Расходимость лазерного излучения $\phi = 1 \text{ мрад}$

Продолжительность импульса $t = 0,8 \text{ мкс}$

Энергия импульса $E = 800 \text{ мДж}$

Расстояние $L = 8 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$\phi = 1 \text{ мрад} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$

$t = 0,8 \text{ мкс} = 0,8 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$E = 800 \text{ мДж} = 800 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,8 \text{ Дж}$

$L = 8 \text{ м}$

Найти:

Плотность потока излучения $I - ?$

Решение:

Плотность потока излучения (интенсивность) $\text{I}$ определяется как мощность излучения $\text{P}$, приходящаяся на единицу площади $\text{S}$.

$I = \frac{P}{S}$

Мощность лазерного импульса $\text{P}$ — это энергия $\text{E}$, излучаемая за время $\text{t}$.

$P = \frac{E}{t}$

Лазерный пучок расходится, образуя световой конус с полным углом расходимости $\phi$. На расстоянии $\text{L}$ от лазера излучение освещает круглое пятно. Радиус этого пятна $\text{r}$ можно найти через половинный угол расходимости $\frac{\phi}{2}$.

$r = L \cdot \tan\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Поскольку угол расходимости очень мал, можно использовать приближение $\tan(x) \approx x$ для малых углов $\text{x}$, выраженных в радианах.

$r \approx L \cdot \frac{\phi}{2}$

Тогда площадь светового пятна $\text{S}$ равна:

$S = \pi r^2 \approx \pi \left(L \frac{\phi}{2}\right)^2 = \frac{\pi L^2 \phi^2}{4}$

Теперь можно записать итоговую формулу для плотности потока излучения:

$I = \frac{P}{S} = \frac{E/t}{\pi L^2 \phi^2 / 4} = \frac{4E}{t \cdot \pi L^2 \phi^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$I = \frac{4 \cdot 0,8 \text{ Дж}}{0,8 \cdot 10^{-6} \text{ с} \cdot \pi \cdot (8 \text{ м})^2 \cdot (10^{-3} \text{ рад})^2} = \frac{4}{\pi \cdot 64 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-6}} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}$

$I = \frac{4}{64\pi \cdot 10^{-12}} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} = \frac{1}{16\pi} \cdot 10^{12} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}$

Вычислим числовое значение, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$I \approx \frac{1}{16 \cdot 3,1416} \cdot 10^{12} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} \approx \frac{1}{50,2656} \cdot 10^{12} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} \approx 0,01989 \cdot 10^{12} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}$

$I \approx 1,99 \cdot 10^{10} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}$

Ответ: плотность потока излучения на расстоянии 8 м от лазера составляет примерно $1,99 \cdot 10^{10} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}$.