Задание 2, страница 217 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. Рассмотрите рисунок 237. На нем изображены энергетические уровни атома водорода. Они были рассчитаны Н. Бором по классическим формулам механики и электродина-мики по радиусам орбит, числовые значения которых были определены с использова-нием правила квантования (§ 36). Полная энергия $ ext{W}$ электрона в атоме равна сумме кинетической энергии $W_k$ поступательного движения электрона по орбите и потенци-альной энергии $W_p$ взаимодействия с ядром: $W = W_k + W_p$. Кинетическая энергия равна $W_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$; потенциальная энергия взаимодействия $W_p = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$, тогда полная энергия электрона на орбите радиусом $ ext{r}$ будет определяться по формуле $W = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$.

2. Используя II закон Ньютона, докажите, что кинетическая энергия электрона равна $W_k = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$.

3. Определите энергию электрона на первых трех стационарных орбитах. Сравните полученные результаты со значениями энергий электрона, нанесенными на рисунке.

4. На основе второго постулата Бора определите энергию излучения при переходе электрона с 3, 4, 5 и 6 возбужденных уровней на второй. Выясните, соответствуют ли полученные числовые значения энергий излучения частотам из серии Бальмера.

Рис. 237. Энергетические уровни атома водорода

2. Решение:

Электрон в атоме водорода движется по круговой орбите вокруг ядра (протона). Сила, удерживающая его на орбите, — это кулоновская сила притяжения между электроном и протоном. Эта сила является центростремительной.
Согласно второму закону Ньютона для движения по окружности, центростремительная сила $F_ц$ равна:
$F_ц = ma_ц = \frac{mv^2}{r}$
где $\text{m}$ — масса электрона, $\text{v}$ — его скорость, $\text{r}$ — радиус орбиты.
Кулоновская сила $F_К$ между ядром (заряд $+e$) и электроном (заряд $-e$) определяется законом Кулона:
$F_К = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|(+e)(-e)|}{r^2} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
Приравнивая центростремительную и кулоновскую силы, получаем:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
Из этого уравнения можно выразить $mv^2$:
$mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$
Кинетическая энергия электрона $W_k$ определяется формулой:
$W_k = \frac{1}{2}mv^2$
Подставим в эту формулу выражение для $mv^2$, полученное выше:
$W_k = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right) = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на приравнивании кулоновской силы, действующей на электрон, к центростремительной силе, необходимой для его движения по круговой орбите, что позволяет выразить кинетическую энергию через радиус орбиты и заряд электрона.

3. Дано:

Энергия электрона на основном уровне (из рисунка): $W_1 = -13,55$ эВ.
Формула для энергии на n-ом уровне: $W_n = \frac{W_1}{n^2}$.

Найти:

Энергию электрона на первых трех стационарных орбитах: $W_1, W_2, W_3$.

Решение:

Рассчитаем энергию для каждого из первых трех уровней (орбит), используя данную формулу.
1. Для первой орбиты ($n=1$):
$W_1 = \frac{-13,55 \text{ эВ}}{1^2} = -13,55 \text{ эВ}$
2. Для второй орбиты ($n=2$):
$W_2 = \frac{-13,55 \text{ эВ}}{2^2} = \frac{-13,55}{4} \text{ эВ} = -3,3875 \text{ эВ} \approx -3,39 \text{ эВ}$
3. Для третьей орбиты ($n=3$):
$W_3 = \frac{-13,55 \text{ эВ}}{3^2} = \frac{-13,55}{9} \text{ эВ} \approx -1,5056 \text{ эВ} \approx -1,51 \text{ эВ}$
Сравним полученные результаты со значениями на рисунке:
- Расчетное значение $W_1 = -13,55$ эВ совпадает со значением на рисунке ($W = -13,55$ эВ).
- Расчетное значение $W_2 \approx -3,39$ эВ очень близко к значению на рисунке ($W = -3,38$ эВ).
- Расчетное значение $W_3 \approx -1,51$ эВ очень близко к значению на рисунке ($W = -1,50$ эВ).
Небольшие расхождения для $W_2$ и $W_3$ могут быть вызваны округлением исходного значения энергии основного состояния или физических констант, использованных для его вычисления.

Ответ: Энергии электрона на первых трех стационарных орбитах равны: $W_1 = -13,55$ эВ, $W_2 \approx -3,39$ эВ, $W_3 \approx -1,51$ эВ. Эти значения практически полностью совпадают со значениями, указанными на рисунке 237.

4. Дано:

Значения энергии электрона на возбужденных уровнях (из рисунка):
$W_2 = -3,38$ эВ
$W_3 = -1,50$ эВ
$W_4 = -0,84$ эВ
$W_5 = -0,54$ эВ
$W_6 = -0,38$ эВ

Найти:

Энергию излучения $\Delta W$ при переходе электрона с 3, 4, 5 и 6 уровней на второй.

Решение:

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с более высокого энергетического уровня $W_n$ на более низкий $W_k$, излучается фотон с энергией, равной разности энергий этих уровней:
$\Delta W = W_n - W_k$
В нашем случае $k=2$, а $\text{n}$ принимает значения 3, 4, 5, 6.
1. Переход с 3-го на 2-й уровень ($n=3 \to k=2$):
$\Delta W_{3 \to 2} = W_3 - W_2 = (-1,50 \text{ эВ}) - (-3,38 \text{ эВ}) = 1,88 \text{ эВ}$
2. Переход с 4-го на 2-й уровень ($n=4 \to k=2$):
$\Delta W_{4 \to 2} = W_4 - W_2 = (-0,84 \text{ эВ}) - (-3,38 \text{ эВ}) = 2,54 \text{ эВ}$
3. Переход с 5-го на 2-й уровень ($n=5 \to k=2$):
$\Delta W_{5 \to 2} = W_5 - W_2 = (-0,54 \text{ эВ}) - (-3,38 \text{ эВ}) = 2,84 \text{ эВ}$
4. Переход с 6-го на 2-й уровень ($n=6 \to k=2$):
$\Delta W_{6 \to 2} = W_6 - W_2 = (-0,38 \text{ эВ}) - (-3,38 \text{ эВ}) = 3,00 \text{ эВ}$
На рисунке 237 показано, что совокупность переходов на второй энергетический уровень образует серию Бальмера. Так как энергия фотона $E = h\nu$ прямо пропорциональна частоте излучения $\nu$, полученные числовые значения энергий излучения соответствуют частотам из серии Бальмера.

Ответ: Энергии излучения при переходах на второй уровень равны: 1,88 эВ (для $n=3$), 2,54 эВ (для $n=4$), 2,84 эВ (для $n=5$) и 3,00 эВ (для $n=6$). Эти значения соответствуют энергиям фотонов (и, следовательно, частотам) первых четырех линий серии Бальмера.