Задание 2, страница 274 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. На основе закона Вина определите температуру поверхности Солнца.

2. Определите светимость Солнца, приняв $T = 6000 \text{ K}, r = 7 \cdot 10^8 \text{ м}$.

2. Определите долю энергии излучения Солнца, поглощенную $1 \text{ м}^2$ поверхности Земли.

Для решения задачи потребуются справочные данные, которые не указаны в условии. Будем использовать общепринятые значения.

Дано:

Для пункта 1:
Длина волны максимума излучения Солнца: $$\lambda_{max} = 500 \text{ нм}$$
Постоянная Вина: $$b = 2.898 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}$$

Для пункта 2 (определение светимости):
Температура поверхности Солнца: $$T = 6000 \text{ К}$$
Радиус Солнца: $$r = 7 \cdot 10^8 \text{ м}$$
Постоянная Стефана–Больцмана: $$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$$

Для пункта 2 (определение доли энергии):
Площадь поверхности на Земле: $$S_{З} = 1 \text{ м}^2$$
Среднее расстояние от Земли до Солнца: $$R = 1.496 \cdot 10^{11} \text{ м}$$

Перевод в систему СИ:
$$\lambda_{max} = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$$
Остальные данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

1. Температуру поверхности Солнца, $$T_{Солнца}$$

2. Светимость Солнца, $$\text{L}$$

3. Долю энергии излучения Солнца, поглощенную 1 м² поверхности Земли, $$\text{f}$$

Решение:

1. Температуру поверхности Солнца можно определить с помощью закона смещения Вина, который связывает температуру абсолютно черного тела с длиной волны, на которую приходится максимум его излучения.

Формула закона Вина: $$ \lambda_{max} = \frac{b}{T} $$

Отсюда выразим температуру $$\text{T}$$:

$$ T = \frac{b}{\lambda_{max}} $$

Спектр излучения Солнца имеет максимум в видимой области, примерно на длине волны 500 нм. Подставим значения:

$$ T = \frac{2.898 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = 0.5796 \cdot 10^4 \text{ К} \approx 5800 \text{ К} $$

Полученное значение близко к 6000 К, которое используется в следующей части задачи.

Ответ: Температура поверхности Солнца составляет примерно $$5800 \text{ К}$$.

2. Светимость Солнца $$\text{L}$$ – это полная энергия, излучаемая звездой в единицу времени. Её можно найти, используя закон Стефана-Больцмана. Согласно этому закону, мощность излучения с единицы площади поверхности абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Полная мощность (светимость) равна произведению этой величины на площадь поверхности звезды $$S = 4\pi r^2$$.

$$ L = S \cdot \sigma T^4 = 4\pi r^2 \sigma T^4 $$

Подставим данные из условия:

$$ L = 4\pi (7 \cdot 10^8 \text{ м})^2 \cdot (5.67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}) \cdot (6000 \text{ К})^4 $$

$$ L = 4\pi \cdot 49 \cdot 10^{16} \cdot 5.67 \cdot 10^{-8} \cdot 1296 \cdot 10^{12} \text{ Вт} $$

$$ L = (4\pi \cdot 49 \cdot 5.67 \cdot 1296) \cdot 10^{16-8+12} \text{ Вт} \approx 4.52 \cdot 10^{26} \text{ Вт} $$

Ответ: Светимость Солнца равна примерно $$4.52 \cdot 10^{26} \text{ Вт}$$.

2. В этом пункте требуется найти долю от всей энергии излучения Солнца, которая попадает на площадку в 1 м², расположенную на орбите Земли. Вся энергия $$\text{L}$$, излучаемая Солнцем, равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой равен расстоянию от Солнца до Земли $$\text{R}$$. Площадь этой сферы равна $$S_{сферы} = 4\pi R^2$$.

Доля $$\text{f}$$, приходящаяся на площадку $$S_{З} = 1 \text{ м}^2$$, будет равна отношению этой площади к общей площади сферы:

$$ f = \frac{S_{З}}{S_{сферы}} = \frac{1 \text{ м}^2}{4\pi R^2} $$

Подставим значение среднего радиуса орбиты Земли $$R = 1.496 \cdot 10^{11} \text{ м}$$:

$$ f = \frac{1}{4\pi (1.496 \cdot 10^{11})^2} = \frac{1}{4\pi \cdot 2.238 \cdot 10^{22}} \approx \frac{1}{2.812 \cdot 10^{23}} $$

$$ f \approx 3.56 \cdot 10^{-24} $$

Это безразмерная величина, показывающая, какая малая часть от всей энергии Солнца достигает одного квадратного метра на расстоянии Земли.

Ответ: Доля энергии излучения Солнца, поглощенная 1 м² поверхности на орбите Земли, составляет примерно $$3.56 \cdot 10^{-24}$$.