Лабораторная работа №3, страница 309 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Лабораторная работа № 3

Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки

Цель работы: Определить длину световой волны с помощью дифракционной решетки.

Оборудование: Дифракционная решетка с периодом $\frac{1}{100}$ мм или $\frac{1}{50}$ мм, штатив, подъемный столик с держателем дифракционной решетки и измерительной линейкой, источник света, черный экран с узкой вертикальной щелью, имеющий миллиметровую шкалу.

Краткая теория:

На рисунке 3 изображена схема установки: ДР – дифракционная решетка, Э – экран, $ ext{a}$ – расстояние от дифракционной решетки до экрана, $ ext{b}$ – расстояние от центрального пятна до первого максимума. Длину волны $\lambda$ определим из условия максимума дифракционной решетки:

$\lambda=\frac{d \sin \varphi}{k}$

где $ ext{d}$ – период решетки, $ ext{k}$ – порядок спектра, $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум света соответствующего цвета. Поскольку углы, под которыми наблюдаются максимумы первого и второго порядка не превышают $5^\circ$, то синусы углов можно заменить на их тангенсы. Из рисунка 3 видно, что $\operatorname{tg} \varphi=\frac{b}{a}$. Расстояние $ ext{a}$ отсчитывают по линейке от решетки до экрана, расстояние $ ext{b}$ – по шкале экрана от щели до выбранной линии спектра. Окончательная формула для определения длины волны примет вид:

$\lambda=\frac{db}{ka}$

Задание. Вычислите максимальную длину волны красного и минимальную длину фиолетового света по спектрам первого и второго порядка.

Порядок выполнения работы:

1. Соберите установку, изображенную на рисунке 4. Закрепите в лапке (7) штатива (8) подъемный столик (6), вставьте в держатель (5) дифракционную решетку (4), установите экран (3) на расстоянии 50 см от решетки.

Рис. 4. Установка для определения длины волны

2. На некотором расстоянии от установки разместите источник света (1) с нитью накала (можно использовать пламя свечи). Лучи света должны через щель экрана (2) падать на дифракционную решетку.

3. Установите решетку в держателе так, чтобы дифракционные спектры располагались вертикально (рис. 5).

Рис. 5. Дифракционные спектры

4. Измерьте расстояние от щели до границы максимума освещенности первого и второго порядка. Результаты занесите в таблицу 4.

5. Рассчитайте максимальную длину волны красного света. Результаты занесите в таблицу.

6. Вычислите минимальную длину волны фиолетового цвета.

Таблица 4

Порядок спектра; Период решетки $d, м$; Расстояние от решетки до экрана $a, м$; Расстояние от щели до границы максимума освещенности $b, м$ (красного цвета, фиолетового цвета); Длина волны $\lambda, м$ (красного цвета, $\lambda_{max}$, фиолетового цвета, $\lambda_{min}$)

1 слева

1 справа

2 слева

2 справа

7. Определите относительную погрешность измерений длины волны красного и фиолетового цвета для спектров 1 и 2 порядка:

$\varepsilon_\lambda = \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta a}{a}$,

где $\Delta b = \Delta_o + \Delta_и$, $\Delta a = \Delta_o + \Delta_и$ – абсолютные погрешности измерений отрезков $ ext{a}$ и $ ext{b}$.

8. Абсолютную погрешность рассчитайте по формулам $\Delta \lambda = \lambda_{кр} \varepsilon_\lambda$, $\Delta \lambda = \lambda_{\phi} \varepsilon_\lambda$.

9. Сравните полученные результаты. При каком измерении погрешность меньше?

10. Запишите значения длин волн с учетом погрешности.

11. Сделайте выводы по выполненной работе.

Контрольные вопросы

1. Почему лучи красного цвета располагаются от центрального максимума освещенности дальше, чем лучи фиолетового цвета?

2. Почему при увеличении порядка спектра границы спектров перекрываются?

1. Почему лучи красного цвета располагаются от центрального максимума освещенности дальше, чем лучи фиолетового цвета?

Положение дифракционных максимумов определяется условием $d \sin \phi = k \lambda$, где $\text{d}$ — период дифракционной решетки, $\phi$ — угол дифракции, $\text{k}$ — порядок спектра, а $\lambda$ — длина световой волны. Для малых углов дифракции, как указано в лабораторной работе, можно использовать приближение $\sin \phi \approx \tan \phi = b/a$, где $\text{b}$ — расстояние от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка на экране, а $\text{a}$ — расстояние от решетки до экрана.

Подставив это приближение в основную формулу, получим $d \frac{b}{a} = k \lambda$. Выразим отсюда расстояние $\text{b}$ на экране:

$b = \frac{k \cdot a \cdot \lambda}{d}$

Из этой формулы видно, что при неизменных параметрах установки (постоянных $\text{a}$ и $\text{d}$) и для одного и того же порядка спектра ($\text{k}$), расстояние $\text{b}$ от центрального максимума прямо пропорционально длине волны $\lambda$.

В видимом спектре красный свет имеет наибольшую длину волны (около $760$ нм), а фиолетовый — наименьшую (около $400$ нм). То есть, $\lambda_{красного} > \lambda_{фиолетового}$.

Следовательно, и расстояние до соответствующего максимума для красного света будет больше, чем для фиолетового: $b_{красного} > b_{фиолетового}$.

Ответ: Лучи красного света располагаются дальше от центрального максимума, так как длина волны красного света больше длины волны фиолетового, а угол дифракции (и, соответственно, смещение на экране) прямо пропорционален длине волны.

2. Почему при увеличении порядка спектра границы спектров перекрываются?

Перекрытие спектров происходит, когда максимум для длинноволнового (красного) света в спектре порядка $\text{k}$ наблюдается под большим или равным углом, чем максимум для коротковолнового (фиолетового) света в спектре следующего порядка $k+1$.

Угловое положение красной границы спектра порядка $\text{k}$ определяется условием:

$d \sin \phi_{k, кр} = k \lambda_{кр}$

Угловое положение фиолетовой границы спектра порядка $k+1$ определяется условием:

$d \sin \phi_{k+1, ф} = (k+1) \lambda_{ф}$

Перекрытие начнется, когда угол для фиолетовой границы спектра $k+1$ станет меньше угла для красной границы спектра $\text{k}$, то есть $\phi_{k+1, ф} \le \phi_{k, кр}$. Так как для углов от 0° до 90° функция синуса возрастающая, это условие эквивалентно $\sin \phi_{k+1, ф} \le \sin \phi_{k, кр}$.

Подставляя выражения из условий максимумов, получаем неравенство для перекрытия:

$\frac{(k+1) \lambda_{ф}}{d} \le \frac{k \lambda_{кр}}{d}$

или

$(k+1) \lambda_{ф} \le k \lambda_{кр}$

Из этого неравенства видно, что с ростом порядка $\text{k}$ обе части неравенства растут, но левая часть растет как $(k+1)$, а правая — как $\text{k}$. Однако из-за того, что $\lambda_{кр}$ почти в два раза больше $\lambda_{ф}$, при определенном значении $\text{k}$ неравенство начнет выполняться.

Найдем, при каком $\text{k}$ это произойдет. Перепишем неравенство: $k \lambda_{ф} + \lambda_{ф} \le k \lambda_{кр} \implies \lambda_{ф} \le k (\lambda_{кр} - \lambda_{ф}) \implies k \ge \frac{\lambda_{ф}}{\lambda_{кр} - \lambda_{ф}}$.

Подставим примерные значения $\lambda_{кр} \approx 760$ нм и $\lambda_{ф} \approx 400$ нм:

$k \ge \frac{400}{760 - 400} = \frac{400}{360} \approx 1.11$

Так как $\text{k}$ — целое число, это означает, что уже при $k=2$ начнется перекрытие спектра 2-го порядка со спектром 3-го порядка. Проверим: $2 \lambda_{кр} = 2 \cdot 760 = 1520$ нм, а $(2+1)\lambda_{ф} = 3 \cdot 400 = 1200$ нм. Так как $1520 > 1200$, красная граница 2-го порядка находится дальше фиолетовой границы 3-го порядка, то есть спектры перекрываются.

Ответ: С увеличением порядка спектра $\text{k}$ его ширина, пропорциональная $k(\lambda_{кр} - \lambda_{ф})$, растет быстрее, чем расстояние между соседними спектрами. Это приводит к тому, что при определенном значении $\text{k}$ фиолетовая граница спектра порядка $k+1$ оказывается под меньшим углом, чем красная граница спектра порядка $\text{k}$, вызывая их наложение.