Номер 1, страница 128 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. Определите минимальные значения длины волны рентгеновского излучения для напряжений между электродами рентгеновской трубки 2 кВ и 20 кВ.

Дано:

Напряжение между электродами $U_1 = 2$ кВ.

Напряжение между электродами $U_2 = 20$ кВ.

Перевод в СИ:

$U_1 = 2 \cdot 10^3$ В

$U_2 = 20 \cdot 10^3$ В $= 2 \cdot 10^4$ В

Найти:

$\lambda_{min1}, \lambda_{min2}$ — минимальные значения длины волны рентгеновского излучения.

Решение:

Минимальная длина волны рентгеновского излучения (коротковолновая граница тормозного спектра) соответствует случаю, когда вся кинетическая энергия электрона, ускоренного в электрическом поле, преобразуется в энергию одного кванта (фотона) рентгеновского излучения.

Кинетическая энергия $E_k$, которую приобретает электрон, равна работе электрического поля: $E_k = eU$, где $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл — элементарный заряд, а $\text{U}$ — ускоряющее напряжение.

Энергия фотона $E_{ph}$ связана с его длиной волны $\lambda$ соотношением: $E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$, где $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж$\cdot$с — постоянная Планка, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с — скорость света в вакууме.

Приравнивая эти энергии для случая максимальной энергии фотона, $E_k = E_{ph}$, получаем условие для минимальной длины волны $\lambda_{min}$:

$eU = \frac{hc}{\lambda_{min}}$

Отсюда, формула для расчета минимальной длины волны:

$\lambda_{min} = \frac{hc}{eU}$

Произведем расчеты для каждого из заданных напряжений.

Для напряжения 2 кВ

Подставим значение напряжения $U_1 = 2 \cdot 10^3$ В и значения констант в формулу:

$\lambda_{min1} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^3 \text{ В}} = \frac{19.878 \cdot 10^{-26}}{3.204 \cdot 10^{-16}} \text{ м} \approx 6.204 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$) и округлим:

$\lambda_{min1} \approx 0.62 \text{ нм}$

Ответ: минимальное значение длины волны для напряжения 2 кВ составляет примерно $0.62$ нм.

Для напряжения 20 кВ

Подставим значение напряжения $U_2 = 2 \cdot 10^4$ В и значения констант в формулу:

$\lambda_{min2} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^4 \text{ В}} = \frac{19.878 \cdot 10^{-26}}{3.204 \cdot 10^{-15}} \text{ м} \approx 6.204 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры и округлим:

$\lambda_{min2} \approx 0.062 \text{ нм}$

Ответ: минимальное значение длины волны для напряжения 20 кВ составляет примерно $0.062$ нм.