Номер 2, страница 128 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Определите минимальное напряжение, при котором в спектре тормозного излучения появятся лучи с длиной волны 0,015 нм.

Дано:

Длина волны рентгеновских лучей, $ \lambda = 0,015 $ нм

Перевод в систему СИ:
$ \lambda = 0,015 \cdot 10^{-9} $ м $ = 1,5 \cdot 10^{-11} $ м
Постоянная Планка, $ h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} $ Дж·с
Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с
Элементарный заряд, $ e \approx 1,602 \cdot 10^{-19} $ Кл

Найти:

Минимальное напряжение, $ U_{min} $

Решение:

Тормозное излучение возникает при замедлении заряженных частиц (электронов) в электрическом поле атомных ядер. В спектре тормозного излучения присутствует коротковолновая граница, то есть минимальная возможная длина волны $ \lambda_{min} $. Она соответствует максимальной энергии фотонов $ E_{max} $, которая может быть излучена. Такая ситуация возникает, когда электрон при одном столкновении теряет всю свою кинетическую энергию $\text{K}$, и эта энергия полностью преобразуется в энергию одного кванта (фотона) электромагнитного излучения.

Кинетическая энергия, которую приобретает электрон, ускоряясь в электрическом поле с разностью потенциалов (напряжением) $\text{U}$, равна:
$ K = eU $
где $\text{e}$ — элементарный заряд, а $\text{U}$ — ускоряющее напряжение.

Энергия фотона с длиной волны $ \lambda $ определяется формулой Планка:
$ E = \frac{hc}{\lambda} $
где $\text{h}$ — постоянная Планка, $\text{c}$ — скорость света.

Для того чтобы в спектре появились лучи с длиной волны $ \lambda = 0,015 $ нм, эта длина волны должна быть больше или равна минимально возможной длине волны $ \lambda_{min} $ для данного напряжения. Минимальное напряжение $ U_{min} $ будет соответствовать случаю, когда заданная длина волны и есть та самая минимальная граница спектра, то есть $ \lambda = \lambda_{min} $.

Приравнивая максимальную кинетическую энергию электрона к энергии фотона с минимальной длиной волны, получаем условие для коротковолновой границы:
$ eU_{min} = \frac{hc}{\lambda_{min}} $

Из этого соотношения выразим искомое минимальное напряжение $ U_{min} $:
$ U_{min} = \frac{hc}{e\lambda_{min}} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$ U_{min} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1,5 \cdot 10^{-11} \text{ м}} $

$ U_{min} = \frac{19,878 \cdot 10^{-26}}{2,403 \cdot 10^{-30}} \text{ В} \approx 8,272 \cdot 10^4 \text{ В} $

Полученное значение удобно выразить в киловольтах (1 кВ = 1000 В):
$ U_{min} \approx 82,72 \text{ кВ} $

Ответ: минимальное напряжение, при котором в спектре тормозного излучения появятся лучи с длиной волны 0,015 нм, составляет примерно 82,7 кВ.