Номер 4, страница 158 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Что называют периодом полураспада? Как период полураспада связан с постоянной распада?

Что называют периодом полураспада?
Период полураспада (обозначается $T_{1/2}$) — это промежуток времени, в течение которого количество радиоактивных ядер в образце уменьшается в среднем в два раза в результате радиоактивного распада. Эта величина является фундаментальной характеристикой каждого радиоактивного изотопа. Чем меньше период полураспада, тем быстрее происходит распад и тем менее стабилен изотоп. Если в начальный момент времени $t=0$ было $N_0$ радиоактивных ядер, то через время, равное одному периоду полураспада $t = T_{1/2}$, их останется $N(T_{1/2}) = N_0/2$. Через два периода полураспада ($t = 2T_{1/2}$) останется $N_0/4$ ядер, и так далее. Зависимость числа нераспавшихся ядер от времени можно выразить формулой: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$.

Ответ: Период полураспада — это время, за которое распадается половина от начального числа радиоактивных ядер.

Как период полураспада связан с постоянной распада?
Связь между периодом полураспада $T_{1/2}$ и постоянной распада $\lambda$ устанавливается на основе закона радиоактивного распада, который в экспоненциальной форме имеет вид: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ Здесь $N(t)$ — число нераспавшихся ядер к моменту времени $\text{t}$, $N_0$ — начальное число ядер, $\text{e}$ — основание натурального логарифма, а $\lambda$ — постоянная распада, которая характеризует вероятность распада одного ядра в единицу времени.
Согласно определению периода полураспада, при $t = T_{1/2}$ число оставшихся ядер $N(T_{1/2})$ равно половине от начального числа: $N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$
Подставим это условие в уравнение закона радиоактивного распада: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$
Разделим обе части уравнения на $N_0$ (так как $N_0 \neq 0$): $\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$
Чтобы избавиться от экспоненты, прологарифмируем обе части по основанию $\text{e}$ (возьмём натуральный логарифм): $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(e^{-\lambda T_{1/2}}\right)$
Используя свойства логарифмов $\ln(1/x) = -\ln(x)$ и $\ln(e^y) = y$, получим: $-\ln(2) = -\lambda T_{1/2}$
Из этого выражения легко выразить период полураспада: $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$
Поскольку $\ln(2) \approx 0.693$, можно также использовать приближенную формулу: $T_{1/2} \approx \frac{0.693}{\lambda}$
Таким образом, период полураспада обратно пропорционален постоянной распада. Это означает, что чем выше вероятность распада (больше $\lambda$), тем короче период полураспада (меньше $T_{1/2}$).

Ответ: Период полураспада $T_{1/2}$ и постоянная распада $\lambda$ связаны соотношением $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$, где $\ln(2)$ — натуральный логарифм двух.