Лабораторная работа №2, страница 223 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Лабораторная работа № 2. Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки

Цель работы: Определить длину световой волны с помощью дифракционной решетки.

Оборудование: Дифракционная решетка с периодом $\frac{1}{100}$ мм или $\frac{1}{50}$ мм, штатив, подъемный столик с держателем дифракционной решетки и измерительной линейкой, источник света, черный экран с узкой вертикальной щелью, имеющий миллиметровую шкалу.

Краткая теория:

На рисунке 2 изображена схема установки: ДР – дифракционная решетка, Э – экран, $\text{a}$ – расстояние от дифракционной решетки до экрана, $\text{b}$ - расстояние от центрального пятна до первого максимума. Длину волны $\lambda$ определим из условия максимума дифракционной решетки:

$\lambda = \frac{d \sin \varphi}{k}$

Рис. 2

где $\text{d}$ – период решетки, $\text{k}$ – порядок спектра, $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум света соответствующего цвета. Поскольку углы, под которыми наблюдаются максимумы первого и второго порядка не превышают $5^{\circ}$, то синусы углов можно заменить на их тангенсы. Из рисунка 2 видно, что $\operatorname{tg} \varphi = \frac{b}{a}$. Расстояние $\text{a}$ отсчитывают по линейке от решетки до экрана, расстояние $\text{b}$ – по шкале экрана от щели до выбранной линии спектра. Окончательная формула для определения длины волны примет вид:

$\lambda = \frac{d b}{k a}$

Порядок выполнения работы:

1. Соберите установку, изображенную на рисунке 3. Закрепите в лапке (7) штатива (8) подъемный столик (6), вставьте в держатель (5) дифракционную решетку (4), установите экран (3) на расстоянии 50 см от решетки.

Рис. 3. Установка для определения длины волны

2. На некотором расстоянии от установки разместите источник света (1) с нитью накала (можно использовать пламя свечи). Лучи света должны через щель экрана (2) падать на дифракционную решетку.

3. Установите решетку в держателе так, чтобы дифракционные спектры располагались вертикально (рис. 4).

4. Измерьте расстояние от щели до границы максимума освещенности первого и второго порядка. Результаты занесите в таблицу 3.

Рис. 4. Дифракционные спектры

Таблица 3

Порядок спектра

Период решетки $\text{d}$, м

Расстояние от решетки до экрана $\text{a}$, м

Расстояние от щели до границы максимума освещенности $\text{b}$, м

красного цвета

фиолетового цвета

Длина волны $\lambda$, м

красного цвета, $\lambda_{max}$

фиолетового цвета, $\lambda_{min}$

1 слева

1 справа

2 слева

2 справа

5. Рассчитайте максимальную длину волны красного света. Результаты занесите в таблицу.

6. Вычислите минимальную длину волны фиолетового цвета.

7. Определите средние значения длин волн для красного и фиолетового цвета.

8. Сравните полученные результаты с теоретическими данными: длина волны красного цвета 750 нм, фиолетового 400 нм.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

Для выполнения расчетов примем, что используется дифракционная решетка с периодом $d = \frac{1}{100} \text{ мм}$. Расстояние от решетки до экрана, согласно условию, составляет $a = 50 \text{ см}$.

Данные о положении дифракционных максимумов снимем с Рисунка 4. Шкала на рисунке дана в сантиметрах.

• Для спектра первого порядка ($k=1$):
  • Граница фиолетового цвета находится на отметке $b_{\text{фиол,1}} = 2.0 \text{ см}$.
  • Граница красного цвета находится на отметке $b_{\text{крас,1}} = 3.8 \text{ см}$.
• Для спектра второго порядка ($k=2$):
  • Граница фиолетового цвета находится на отметке $b_{\text{фиол,2}} = 4.0 \text{ см}$.
  • Граница красного цвета находится на отметке $b_{\text{крас,2}} = 7.5 \text{ см}$.

Так как дифракционная картина симметрична, расстояния для спектров слева и справа от центрального максимума считаем одинаковыми.

Дано:

Период решетки $d = \frac{1}{100} \text{ мм}$
Расстояние от решетки до экрана $a = 50 \text{ см}$
Порядки спектров $k_1 = 1$, $k_2 = 2$
Расстояние до границы красного цвета 1-го порядка $b_{\text{крас,1}} = 3.8 \text{ см}$
Расстояние до границы фиолетового цвета 1-го порядка $b_{\text{фиол,1}} = 2.0 \text{ см}$
Расстояние до границы красного цвета 2-го порядка $b_{\text{крас,2}} = 7.5 \text{ см}$
Расстояние до границы фиолетового цвета 2-го порядка $b_{\text{фиол,2}} = 4.0 \text{ см}$
Теоретическая длина волны красного света $\lambda_{\text{теор.крас}} = 750 \text{ нм}$
Теоретическая длина волны фиолетового света $\lambda_{\text{теор.фиол}} = 400 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:

$d = 0.01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
$a = 0.5 \text{ м}$
$b_{\text{крас,1}} = 0.038 \text{ м}$
$b_{\text{фиол,1}} = 0.020 \text{ м}$
$b_{\text{крас,2}} = 0.075 \text{ м}$
$b_{\text{фиол,2}} = 0.040 \text{ м}$
$\lambda_{\text{теор.крас}} = 750 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7.5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$\lambda_{\text{теор.фиол}} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4.0 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

$\lambda_{\text{крас}}$ - длину волны красного света.
$\lambda_{\text{фиол}}$ - длину волны фиолетового света.
$\lambda_{\text{ср.крас}}$, $\lambda_{\text{ср.фиол}}$ - средние значения длин волн.
Сравнить полученные результаты с теоретическими и сделать вывод.

Решение:

Для определения длины волны используем формулу для малых углов дифракции: $\lambda = \frac{d \cdot b}{k \cdot a}$, где $\text{d}$ - период решетки, $\text{b}$ - расстояние от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка, $\text{k}$ - порядок спектра, $\text{a}$ - расстояние от решетки до экрана.

5. Рассчитайте максимальную длину волны красного света. Результаты занесите в таблицу.

Вычислим длину волны красного света для первого и второго порядков спектра.

Для $k=1$ (1 слева и 1 справа):
$\lambda_{\text{крас,1}} = \frac{d \cdot b_{\text{крас,1}}}{k_1 \cdot a} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.038 \text{ м}}{1 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.76 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 760 \text{ нм}$.

Для $k=2$ (2 слева и 2 справа):
$\lambda_{\text{крас,2}} = \frac{d \cdot b_{\text{крас,2}}}{k_2 \cdot a} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.075 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{0.75 \cdot 10^{-5}}{1} \text{ м} = 0.75 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 750 \text{ нм}$.

Ответ: Длины волн красного света, рассчитанные для 1-го и 2-го порядков, составили $760 \text{ нм}$ и $750 \text{ нм}$ соответственно.

6. Вычислите минимальную длину волны фиолетового цвета.

Вычислим длину волны фиолетового света для первого и второго порядков спектра.

Для $k=1$ (1 слева и 1 справа):
$\lambda_{\text{фиол,1}} = \frac{d \cdot b_{\text{фиол,1}}}{k_1 \cdot a} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.020 \text{ м}}{1 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 400 \text{ нм}$.

Для $k=2$ (2 слева и 2 справа):
$\lambda_{\text{фиол,2}} = \frac{d \cdot b_{\text{фиол,2}}}{k_2 \cdot a} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.040 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{0.4 \cdot 10^{-5}}{1} \text{ м} = 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 400 \text{ нм}$.

Ответ: Длина волны фиолетового света, рассчитанная для 1-го и 2-го порядков, в обоих случаях составила $400 \text{ нм}$.

7. Определите средние значения длин волн для красного и фиолетового цвета.

Среднее значение для красного света:
$\lambda_{\text{ср.крас}} = \frac{\lambda_{\text{крас,1}} + \lambda_{\text{крас,2}}}{2} = \frac{760 \text{ нм} + 750 \text{ нм}}{2} = 755 \text{ нм}$.

Среднее значение для фиолетового света:
$\lambda_{\text{ср.фиол}} = \frac{\lambda_{\text{фиол,1}} + \lambda_{\text{фиол,2}}}{2} = \frac{400 \text{ нм} + 400 \text{ нм}}{2} = 400 \text{ нм}$.

Ответ: Среднее значение длины волны для красного света составляет $755 \text{ нм}$, для фиолетового света - $400 \text{ нм}$.

Заполненная Таблица 3:

8. Сравните полученные результаты с теоретическими данными: длина волны красного цвета 750 нм, фиолетового 400 нм.

Сравним средние экспериментальные значения с теоретическими и рассчитаем относительную погрешность по формуле $\epsilon = \left| \frac{\lambda_{\text{эксп}} - \lambda_{\text{теор}}}{\lambda_{\text{теор}}} \right| \cdot 100\%$.

Для красного цвета:
$\lambda_{\text{ср.крас}} = 755 \text{ нм}$, $\lambda_{\text{теор.крас}} = 750 \text{ нм}$.
$\epsilon_{\text{крас}} = \left| \frac{755 - 750}{750} \right| \cdot 100\% = \frac{5}{750} \cdot 100\% \approx 0.67\%$.

Для фиолетового цвета:
$\lambda_{\text{ср.фиол}} = 400 \text{ нм}$, $\lambda_{\text{теор.фиол}} = 400 \text{ нм}$.
$\epsilon_{\text{фиол}} = \left| \frac{400 - 400}{400} \right| \cdot 100\% = 0\%$.

Ответ: Полученное среднее значение длины волны красного света ($755 \text{ нм}$) очень близко к теоретическому ($750 \text{ нм}$), относительная погрешность составляет всего $0.67\%$. Полученное значение для фиолетового света ($400 \text{ нм}$) совпало с теоретическим. Это свидетельствует о высокой точности проведенных измерений и расчетов.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

Ответ: В ходе выполнения лабораторной работы была экспериментально определена длина световой волны для красного и фиолетового участков видимого спектра с помощью дифракционной решетки. Было установлено, что свет является волной, и явление дифракции позволяет разложить белый свет в спектр и измерить длины волн его составляющих.

Полученные экспериментальные средние значения длин волн составили: $\lambda_{\text{ср.крас}} = 755 \text{ нм}$ для красного света и $\lambda_{\text{ср.фиол}} = 400 \text{ нм}$ для фиолетового света. Эти результаты хорошо согласуются с общепринятыми теоретическими значениями ($750 \text{ нм}$ и $400 \text{ нм}$), а относительная погрешность не превысила $1\%$. Это подтверждает справедливость формулы дифракционной решетки и правильность выполнения работы. Эксперимент также наглядно демонстрирует, что длина волны красного света больше длины волны фиолетового, поскольку красные линии в спектрах отклоняются на больший угол от центрального максимума.