Лабораторная работа №5, страница 228 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Лабораторная работа № 5

Определение периода полураспада

Цель работы: Уметь рассчитывать период полураспада графическим методом

Приборы и материалы: графики и таблицы зависимости активности радиоактивного препарата от времени.

Примечание: при наличии счетчика Гейгера рекомендуется провести исследование активности препаратов с малым значением периода полураспада, соблюдая технику безопасности. При измерении необходимо учесть естественный фон и космическое излучение. Построив график зависимости активности препарата от времени, по графику определить период полураспада.

Краткая теория

Период полураспада $\text{T}$ – это время, в течение которого количество атомов исходного элемента уменьшается вдвое.

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Активность радиоактивного изотопа – это величина показывающая, сколько ядер распадается в единицу времени, она связана с периодом полураспада формулой:

$A = \frac{N \ln 2}{T}$

Единица измерения активности в СИ – беккерель.

Один беккерель определяется как активность источника, в котором за одну секунду происходит в среднем один радиоактивный распад.

$1 \text{ Бк} = 1 \text{ с}^{-1}$

Для измерения активности используется также внесистемная единицы измерения

1 кюри – это активность одного грамма радия:

$1 \text{ Ки} = 3,7 \cdot 10^{10} \text{ расп/с.}$

Связь между величинами: $1 \text{ Ки} = 3,7 \cdot 10^{10} \text{ Бк}, 1 \text{ Бк} \approx 2,703 \cdot 10^{-11} \text{ Ки.}$

Ход работы

Задание 1. Определение периода полураспада по графику зависимости числа нераспавшихся ядер от времени

На рисунке 7 дан график зависимости числа $\text{N}$ нераспавшихся ядер эрбия $^{68}\text{Er}$ от времени. Определите период полураспада в часах. Выясните, для какого изотопа эрбия построен график.

Рис. 7. График зависимости числа нераспавшихся ядер эрбия от времени

Задание 2. Построение графика зависимости числа ядер, образовавшихся в результате радиоактивного распада от времени наблюдения.

Из ядер платины $^{193}\text{Pt}$ при $\beta$-распаде с периодом полураспада 20 часов образуются стабильные ядра золота. В момент начала наблюдения в образце содержится $8 \cdot 10^{20}$ ядер платины. Через какую из точек, кроме начала координат, пройдет график зависимости числа ядер золота от времени (рис. 8)?

Рис. 8. К заданию 2

Задание 3. Определение периода полураспада по графику зависимости относительного числа нераспавшихся ядер от времени.

На рисунке 9 изображен фрагмент графика зависимости относительного числа $N/N_0$ нераспавшихся ядер от времени $\text{t}$ для некоторого изотопа ($N_0$ – начальное число ядер, $\text{N}$ – число ядер, нераспавшихся к моменту времени $\text{t}$).

Пользуясь графиком, определите период полураспада этого изотопа.

Рис. 9. График зависимости относительного числа нераспавшихся ядер от времени

Задание 4. Построение графика зависимости активности радиоактивного препарата от времени. Определение периода полураспада.

В таблице 6 приведены результаты измерения зависимости активности радиоактивного элемента от времени.

Изобразите график зависимости активности радиоактивного препарата.

По графику определите период полураспада.

Запишите вывод по выполненной работе.

Таблица 6

t, ч: 0, 3, 6, 9, 12, 15

А, $3,7 \cdot 10^7$ Бк: 21,6, 12,6, 7,6, 4,2, 2,4, 1,8

Задание 1. Определение периода полураспада по графику зависимости числа нераспавшихся ядер от времени

Решение

Период полураспада $\text{T}$ – это время, в течение которого количество нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа уменьшается вдвое. Закон радиоактивного распада для числа нераспавшихся ядер $\text{N}$ имеет вид: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$, где $N_0$ – начальное число ядер, $\text{t}$ – время.

Из графика на рисунке 7 определим начальное число ядер эрбия (при $t=0$): $N_0 = 160 \cdot 10^{20}$ ядер.

Через один период полураспада число нераспавшихся ядер станет равно половине начального: $N(T) = N_0 / 2 = (160 \cdot 10^{20}) / 2 = 80 \cdot 10^{20}$ ядер.

Теперь найдем на графике точку, в которой число нераспавшихся ядер равно $80 \cdot 10^{20}$. Этой точке на оси ординат ($\text{N}$) соответствует значение времени на оси абсцисс ($\text{t}$), равное 100 часам. Следовательно, период полураспада $\text{T}$ равен 100 часам.

Проверим результат. Через два периода полураспада ($t=2T=200$ ч) число ядер должно стать $N_0 / 4 = (160 \cdot 10^{20}) / 4 = 40 \cdot 10^{20}$ ядер. На графике значению $t=200$ ч действительно соответствует $N = 40 \cdot 10^{20}$ ядер, что подтверждает наш расчет.

Относительно второго вопроса, "для какого изотопа эрбия построен график": период полураспада 100 часов (примерно 4,17 суток) не соответствует ни одному из широко известных изотопов эрбия ($_{68}Er$). Например, период полураспада $^{169}Er$ составляет 9,4 суток, а $^{172}Er$ – 49,3 часа. Вероятно, в задаче используется гипотетический изотоп или данные приведены для учебных целей.

Ответ: Период полураспада, определенный по графику, составляет 100 часов.

Задание 2. Построение графика зависимости числа ядер, образовавшихся в результате радиоактивного распада от времени наблюдения

Дано
Начальное число ядер платины-197: $N_{Pt,0} = 8 \cdot 10^{20}$
Период полураспада платины-197: $T = 20$ ч
Продукт распада: стабильные ядра золота (Au)

Найти:

Через какую из точек (1, 2, 3, 4) пройдет график зависимости числа ядер золота $N_{Au}$ от времени $\text{t}$.

Решение

При $\beta$-распаде одного ядра платины образуется одно ядро золота. Число образовавшихся ядер золота $N_{Au}(t)$ в момент времени $\text{t}$ равно числу распавшихся ядер платины.

Число нераспавшихся ядер платины в момент времени $\text{t}$ определяется по формуле: $N_{Pt}(t) = N_{Pt,0} \cdot 2^{-t/T}$

Тогда число образовавшихся ядер золота: $N_{Au}(t) = N_{Pt,0} - N_{Pt}(t) = N_{Pt,0} - N_{Pt,0} \cdot 2^{-t/T} = N_{Pt,0} (1 - 2^{-t/T})$

Подставим известные значения: $N_{Au}(t) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-t/20})$

Теперь проверим, какая из точек лежит на этом графике, подставляя их координаты. Ось ординат на рис. 8 проградуирована в $10^{20}$ ядер.

Проверка точки 1: $(t_1 = 20 \text{ ч}, N_1 = 4 \cdot 10^{20})$
$N_{Au}(20) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-20/20}) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-1}) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 0,5) = 4 \cdot 10^{20}$.
Координаты точки 1 соответствуют уравнению. Точка 1 лежит на графике.

Проверка точки 2: $(t_2 = 40 \text{ ч}, N_2 = 6 \cdot 10^{20})$
$N_{Au}(40) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-40/20}) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-2}) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 0,25) = 6 \cdot 10^{20}$.
Координаты точки 2 соответствуют уравнению. Точка 2 лежит на графике.

Проверка точки 3: $(t_3 = 60 \text{ ч}, N_3 = 7 \cdot 10^{20})$
$N_{Au}(60) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-60/20}) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 2^{-3}) = 8 \cdot 10^{20} (1 - 0,125) = 8 \cdot 10^{20} \cdot 0,875 = 7 \cdot 10^{20}$.
Координаты точки 3 соответствуют уравнению. Точка 3 лежит на графике.

Проверка точки 4: $(t_4 = 80 \text{ ч}, N_4 = 9 \cdot 10^{20})$
Число образовавшихся ядер золота не может превышать начальное число ядер платины, т.е. $N_{Au}(t) \le N_{Pt,0} = 8 \cdot 10^{20}$. Координата $N_4 = 9 \cdot 10^{20}$ является физически невозможной. Следовательно, точка 4 не может лежать на графике.

Таким образом, расчеты показывают, что график проходит через точки 1, 2 и 3. Так как вопрос предполагает выбор одной точки, возможно, в условии задачи имеется неточность. Однако, все три точки являются верными.

Ответ: График зависимости числа ядер золота от времени пройдет через точки 1, 2 и 3.

Задание 3. Определение периода полураспада по графику зависимости относительного числа нераспавшихся ядер от времени

Решение

Период полураспада $\text{T}$ – это время, за которое число нераспавшихся ядер уменьшается вдвое. Это означает, что по прошествии времени $t=T$ отношение числа оставшихся ядер $\text{N}$ к начальному числу ядер $N_0$ станет равным 0,5: $N/N_0 = 1/2 = 0,5$.

На графике на рисунке 9 по оси ординат отложено относительное число нераспавшихся ядер $N/N_0$, а по оси абсцисс – время $\text{t}$ в минутах.

Чтобы определить период полураспада, найдем на вертикальной оси значение 0,50 и проведем горизонтальную линию до пересечения с кривой распада. Затем из точки пересечения опустим перпендикуляр на горизонтальную ось времени.

Из графика видно, что значению $N/N_0 = 0,50$ соответствует время $t = 1,0$ мин.

Следовательно, период полураспада данного изотопа равен 1,0 минуте.

Ответ: Период полураспада изотопа составляет 1,0 мин.

Задание 4. Построение графика зависимости активности радиоактивного препарата от времени. Определение периода полураспада.

Дано
Результаты измерения активности радиоактивного элемента в зависимости от времени (Таблица 6):

$\text{t}$, ч: 0, 3, 6, 9, 12, 15
$\text{A}$, ($3,7 \cdot 10^7$ Бк): 21,6, 12,6, 7,6, 4,2, 2,4, 1,8

Найти:

1. Построить график зависимости активности $\text{A}$ от времени $\text{t}$.
2. Определить по графику период полураспада $\text{T}$.
3. Сформулировать вывод.

Решение

1. Построение графика.
Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки, соответствующие данным из таблицы. По горизонтальной оси отложим время $\text{t}$ в часах, а по вертикальной – активность $\text{A}$ в условных единицах (где 1 усл. ед. = $3,7 \cdot 10^7$ Бк). Соединив точки плавной линией, получим график экспоненциального распада.

2. Определение периода полураспада.
Активность радиоактивного препарата, как и число ядер, уменьшается по экспоненциальному закону: $A(t) = A_0 \cdot 2^{-t/T}$. Период полураспада $\text{T}$ – это время, за которое активность уменьшается вдвое.

Из таблицы начальная активность (при $t=0$) составляет $A_0 = 21,6$ (в условных единицах).

Активность через один период полураспада будет равна: $A(T) = A_0 / 2 = 21,6 / 2 = 10,8$ (в условных единицах).

Теперь на построенном графике необходимо найти, какому времени соответствует активность $A = 10,8$. Для этого на оси активности находим значение 10,8, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось времени.

Это значение времени находится между 3 ч ($A=12,6$) и 6 ч ($A=7,6$). Анализ данных и графика показывает, что время, соответствующее активности 10,8, составляет приблизительно 4 часа.

Для проверки: через два периода полураспада ($t=2T \approx 8$ ч) активность должна составить $A_0/4 = 21,6/4 = 5,4$. По данным таблицы, это значение находится между $t=6$ ч ($A=7,6$) и $t=9$ ч ($A=4,2$), что согласуется с нашей оценкой $T \approx 4$ ч.

3. Вывод.
В ходе работы был построен график зависимости активности радиоактивного препарата от времени на основе табличных данных. График представляет собой экспоненциальную кривую, что подтверждает закон радиоактивного распада. Графическим методом был определен период полураспада элемента, который составил примерно 4 часа.

Ответ: Период полураспада, определенный по графику, составляет приблизительно 4 часа.