Страница 6, часть 1 - гдз по математике 2 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Найди закономерность в цепочке и нарисуй следующие шесть бусинок.

Для того чтобы найти закономерность в цепочке, необходимо проанализировать последовательность бусинок, обращая внимание на их цвет и размер. В цепочке присутствуют бусины трех цветов (желтый, белый, синий) и трех условных размеров (большой, средний, маленький).

При внимательном рассмотрении можно выделить повторяющийся блок (раппорт), который состоит из восьми бусин. Этот блок устроен следующим образом: чередуются две большие бусины (желтая и белая), а между ними в качестве разделителя всегда находится одна и та же группа из трех бусин: "белая маленькая, синяя средняя, белая маленькая".

Таким образом, полный повторяющийся блок выглядит так: желтая большая, белая маленькая, синяя средняя, белая маленькая, белая большая, белая маленькая, синяя средняя, белая маленькая.

Вся цепочка строится путем повторения этого 8-элементного блока. На рисунке изображен один полный блок и начало второго. Последняя полностью нарисованная бусина — белая большая, которая является пятым элементом в этом повторяющемся блоке.

Чтобы нарисовать следующие шесть бусинок, необходимо продолжить последовательность, начиная с шестого элемента раппорта:

1. Шестой элемент блока: белая маленькая.

2. Седьмой элемент блока: синяя средняя.

3. Восьмой элемент блока: белая маленькая (на этом текущий блок завершается).

4. Первый элемент следующего блока: желтая большая.

5. Второй элемент следующего блока: белая маленькая.

6. Третий элемент следующего блока: синяя средняя.

Ответ: белая маленькая, синяя средняя, белая маленькая, желтая большая, белая маленькая, синяя средняя.

2 Что общего у цепочек? Продолжи их на одно число влево и на одно число вправо.

$... + 5 - 5 + 5 - 5 ...$

$... + 8 - 8 + 8 - 8 ...$

$... + 3 - 3 + 3 - 3 ...$

Замени все полученные цепочки одной, составленной из геометрических фигур.

Что общего у цепочек?

Общее свойство всех трёх цепочек заключается в том, что в них последовательно чередуются два математических действия — сложение и вычитание одного и того же числа. Каждая цепочка построена по шаблону: прибавить число, затем вычесть то же самое число, и так далее.

Ответ: Общее у цепочек то, что в них поочередно прибавляется и вычитается одно и то же число.

Продолжи их на одно число влево и на одно число вправо.

Чтобы продолжить каждую цепочку, нужно сохранить закономерность чередования знаков. Поскольку перед каждым знаком «$+$» стоит знак «$-$», то слева от всех цепочек нужно поставить знак «$-$». А так как после знака «$-$» всегда идет знак «$+$», то справа нужно поставить знак «$+$».

Первая цепочка: ... $+ 5 − 5 + 5 − 5$ ...
Продолжение: ... $− 5 + 5 − 5 + 5 − 5 + 5$ ...

Вторая цепочка: ... $+ 8 − 8 + 8 − 8$ ...
Продолжение: ... $− 8 + 8 − 8 + 8 − 8 + 8$ ...

Третья цепочка: ... $+ 3 − 3 + 3 − 3$ ...
Продолжение: ... $− 3 + 3 − 3 + 3 − 3 + 3$ ...

Ответ:
... $− 5 + 5 − 5 + 5 − 5 + 5$ ...
... $− 8 + 8 − 8 + 8 − 8 + 8$ ...
... $− 3 + 3 − 3 + 3 − 3 + 3$ ...

Замени все полученные цепочки одной, составленной из геометрических фигур.

Так как общая закономерность для всех цепочек — это чередование прибавления и вычитания некоего элемента, мы можем обобщить это правило, заменив числа на абстрактную геометрическую фигуру. Например, можно использовать треугольник (△). Новая цепочка будет отражать общую для всех структуру.

Ответ: ... $+ △ − △ + △ − △$ ...

3 Нарисуй в большой рамке все возможные цепочки, которые могут получиться при соединении двух данных цепочек A и B.

A $\textcolor{red}{\bullet}-\circ$

B $\circ-\circ-\textcolor{green}{\bullet}$

$\circ-\circ-\circ-\circ-\circ$

$\circ-\circ-\circ-\circ-\circ$

$\circ-\circ-\circ-\circ-\circ$

$\circ-\circ-\circ-\circ-\circ$

Для решения этой задачи нужно найти все возможные способы соединения двух данных цепочек, А и В.

Цепочка А состоит из красной и белой бусины: ●—○
Цепочка В состоит из двух белых и одной зеленой бусины: ○—○—●

Существует два основных способа соединения этих цепочек, если сохранять их внутренний порядок:

• Сначала идет цепочка А, а к ее концу присоединяется цепочка В.
• Сначала идет цепочка В, а к ее концу присоединяется цепочка А.

Картинка с девочкой, которая смотрит в зеркало, является важной подсказкой. Она говорит о том, что каждую полученную комбинацию нужно также "отразить" — то есть, рассмотреть ее в обратном (перевернутом) порядке.

Таким образом, мы получаем четыре уникальные цепочки:

1. Соединение А + В:
   В результате получаем цепочку: красная, белая, белая, белая, зеленая бусина.
   ●—○—○—○—●
2. Соединение В + А:
   В результате получаем цепочку: белая, белая, зеленая, красная, белая бусина.
   ○—○—●—●—○
3. Зеркальное отражение цепочки (А + В):
   Берем результат из первого пункта и переворачиваем его. Получаем: зеленая, белая, белая, белая, красная бусина.
   ●—○—○—○—●
4. Зеркальное отражение цепочки (В + А):
   Берем результат из второго пункта и переворачиваем его. Получаем: белая, красная, зеленая, белая, белая бусина.
   ○—●—●—○—○

Ответ:

●—○—○—○—●
○—○—●—●—○
●—○—○—○—●
○—●—●—○—○

4 а) Что интересного в цепочке выражений? Почему в «домике» числа 5 содержатся только два первых выражения?

$1 + 4$ $2 + 3$ $3 + 2$ $4 + 1$

б) Заполни домики чисел 2–10. Составь и реши два примера на сложение и вычитание в пределах 10.

а) В предложенной цепочке выражений ($1+4 \rightarrow 2+3 \rightarrow 3+2 \rightarrow 4+1$) интересно то, что результат каждого из них равен числу 5. Также можно заметить закономерность: первое слагаемое в каждом следующем выражении последовательно увеличивается на единицу (1, 2, 3, 4), а второе слагаемое, наоборот, последовательно уменьшается на единицу (4, 3, 2, 1).

В «домике» числа 5 содержатся только два первых выражения ($1+4$ и $2+3$), потому что «домики» предназначены для изучения состава числа, то есть уникальных пар слагаемых. Выражения $3+2$ и $4+1$ являются просто перестановкой слагаемых из первых двух пар, что иллюстрирует переместительное свойство сложения ($a+b=b+a$). Чтобы избежать повторений, в домик записывают только уникальные пары, обычно те, где первое слагаемое не больше второго.

Ответ: Интересно то, что все выражения в сумме дают 5, при этом первое слагаемое растет, а второе убывает. В «домик» числа 5 включены только два выражения, так как $3+2$ и $4+1$ являются перестановкой слагаемых в $2+3$ и $1+4$ и не считаются новыми парами для состава числа.

б) Заполним домики чисел от 2 до 10, указав на «этажах» все уникальные пары чисел, сумма которых равна числу на «крыше».

• Домик 2: $1+1$
• Домик 3: $1+2$
• Домик 4: $1+3$, $2+2$
• Домик 5: $1+4$, $2+3$
• Домик 6: $1+5$, $2+4$, $3+3$
• Домик 7: $1+6$, $2+5$, $3+4$
• Домик 8: $1+7$, $2+6$, $3+5$, $4+4$
• Домик 9: $1+8$, $2+7$, $3+6$, $4+5$
• Домик 10: $1+9$, $2+8$, $3+7$, $4+6$, $5+5$

Составим и решим по одному примеру на сложение и вычитание в пределах 10:

Пример на сложение: $3 + 6 = 9$

Пример на вычитание: $8 - 2 = 6$

Ответ: Состав чисел для домиков представлен в списке выше. Примеры: $3+6=9$; $8-2=6$.

3 Сравни выражения.

$265 + 100$ $625 + 100$

$15 + a$ $a + 15$

$378 - 20$ $478 - 20$

$k - 7$ $k - 2$

$850 - 64$ $850 - 94$

$56 - n$ $54 - n$

265 + 100 ☐ 625 + 100
Чтобы сравнить эти два выражения, можно не выполнять вычисления. В обоих случаях к разным числам прибавляется одно и то же число, $100$. Сумма будет больше в том выражении, где первое слагаемое больше. Сравниваем первые слагаемые: $265 < 625$. Следовательно, и результат сложения в левой части будет меньше, чем в правой.
Проверка: $265 + 100 = 365$, а $625 + 100 = 725$. Так как $365 < 725$, сравнение верно.
Ответ: $265 + 100 < 625 + 100$

15 + a ☐ a + 15
Данные выражения равны в соответствии с переместительным свойством сложения, которое гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Это верно для любого значения переменной $a$.
Ответ: $15 + a = a + 15$

378 – 20 ☐ 478 – 20
В обоих выражениях из разных чисел вычитается одно и то же число, $20$. Разность будет больше в том выражении, где уменьшаемое больше. Сравниваем уменьшаемые: $378 < 478$. Следовательно, и результат вычитания в левой части будет меньше, чем в правой.
Проверка: $378 - 20 = 358$, а $478 - 20 = 458$. Так как $358 < 458$, сравнение верно.
Ответ: $378 - 20 < 478 - 20$

k – 7 ☐ k – 2
В обоих выражениях из одного и того же числа $k$ вычитаются разные числа. Чем большее число мы вычитаем, тем меньший результат получаем. Сравниваем вычитаемые: $7 > 2$. Значит, вычитая из $k$ большее число ($7$), мы получим меньший результат, чем вычитая меньшее число ($2$).
Ответ: $k - 7 < k - 2$

850 – 64 ☐ 850 – 94
В обоих выражениях из одного и того же числа $850$ вычитаются разные числа. Чем меньшее число мы вычитаем, тем больший результат получаем. Сравниваем вычитаемые: $64 < 94$. Значит, вычитая из $850$ меньшее число ($64$), мы получим больший результат, чем вычитая большее число ($94$).
Проверка: $850 - 64 = 786$, а $850 - 94 = 756$. Так как $786 > 756$, сравнение верно.
Ответ: $850 - 64 > 850 - 94$

56 – n ☐ 54 – n
В обоих выражениях вычитается одно и то же число $n$, а уменьшаемые разные. Разность будет больше в том выражении, где больше уменьшаемое. Сравниваем уменьшаемые: $56 > 54$. Следовательно, результат вычитания в левой части будет больше, чем в правой.
Ответ: $56 - n > 54 - n$

4 Найди значения выражений и расшифруй пословицу. Как ты её понимаешь?

ЕДУТ $9 + 9$

СЬИ $46 - 9$

ДЬДО $4 + 67$

НИБУ $14 - 8$

АНЕ $8 + 35$

ДОВ $32 - 7$

ДОБР $7 + 16$

АВО $91 - 6$

КАК $58 + 4$

85 37 62 6 71 23 43 25 18

Найди значения выражений и расшифруй пословицу.

Чтобы расшифровать пословицу, необходимо решить все примеры и сопоставить результаты с числами в таблице.

• ЕДУТ: $9 + 9 = 18$
• НИБУ: $14 - 8 = 6$
• ДОБР: $7 + 16 = 23$
• СЬИ: $46 - 9 = 37$
• АНЕ: $8 + 35 = 43$
• АВО: $91 - 6 = 85$
• ДЬДО: $4 + 67 = 71$
• ДОВ: $32 - 7 = 25$
• КАК: $58 + 4 = 62$

Теперь подставим слоги в таблицу в соответствии с полученными результатами в том порядке, в котором числа указаны в таблице:

85 (АВО), 37 (СЬИ), 62 (КАК), 6 (НИБУ), 71 (ДЬДО), 23 (ДОБР), 43 (АНЕ), 25 (ДОВ), 18 (ЕДУТ).

Если записать все слоги подряд, получится: АВОСЬИКАКНИБУДЬДОДОБРАНЕДОВЕДУТ. Разделив эту последовательность букв на слова, мы получим известную русскую пословицу.

Ответ: Авось и как-нибудь до добра не доведут.

Как ты её понимаешь?

Эта пословица означает, что если делать что-либо небрежно, кое-как (выражение "как-нибудь") и при этом надеяться только на удачу (слово "авось"), то хорошего результата ждать не стоит. Любое дело требует ответственного подхода, старания и усердия. Пословица учит, что лень, легкомыслие и безответственность никогда не приводят к добру и успеху.

Ответ: Смысл пословицы в том, что нельзя добиться хорошего результата, если относиться к делу безответственно и надеяться только на случай. Успех приходит к тем, кто трудится старательно и обдуманно.

5 Составь выражения и найди их значения.

а) Длина иголок сосны равна примерно 6 см, что на 4 см больше длины иголок ежа. Чему равна длина иголок ежа?

б) Лето длится 92 дня. Прошло уже 49 летних дней. Сколько дней осталось до конца лета?

в) Надя на одной полянке нашла 5 белых грибов, 2 подосиновика, 25 лисичек и 48 опят. Сколько всего грибов нашла Надя на этой полянке?

а) Чтобы найти длину иголок ежа, нужно из длины иголок сосны (6 см) вычесть 4 см, так как иголки сосны на 4 см длиннее.
Составим выражение: $6 - 4 = 2$ (см).
Ответ: длина иголок ежа равна 2 см.

б) Чтобы узнать, сколько дней осталось до конца лета, нужно из общего количества дней лета (92) вычесть количество уже прошедших дней (49).
Составим выражение: $92 - 49 = 43$ (дня).
Ответ: до конца лета осталось 43 дня.

в) Чтобы найти общее количество грибов, нужно сложить количество грибов каждого вида, которые нашла Надя: 5 белых грибов, 2 подосиновика, 25 лисичек и 48 опят.
Составим выражение: $5 + 2 + 25 + 48 = 80$ (грибов).
Ответ: всего Надя нашла 80 грибов.

6 В числе 918 поменяли местами цифры сотен и единиц. Как изменилось число и на сколько?

Ответ:

Исходное число — 918. В этом числе цифра 9 стоит в разряде сотен, а цифра 8 — в разряде единиц.

Поменяем местами цифры сотен и единиц. Цифра 8 станет на место сотен, а цифра 9 — на место единиц. Цифра десятков (1) останется на своем месте.

Новое число, которое получилось в результате, — 819.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Как изменилось число?
Сравним исходное число (918) и новое (819).
Так как $918 > 819$, то число уменьшилось.

На сколько?
Чтобы найти, на сколько изменилось число, нужно из большего числа вычесть меньшее:
$918 - 819 = 99$
Число уменьшилось на 99.

Ответ: число уменьшилось на 99.

1 Заполни таблицу. Расшифруй слово, читая его по столбцам слева направо.

Таблица:

$a$: _ 3 _ 5 _ 8

$b$: _ 5 6 _ 5 5

$a \cdot b$: _ _ 30 35 10 45

40 - А

7 - Д

15 - З

2 - А

5 - А

9 - Ч

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Задача состоит из двух частей: сначала нужно заполнить пустые ячейки в таблице, а затем использовать полученные значения для расшифровки слова.

В таблице даны два множителя, $a$ и $b$, и их произведение $a \cdot b$. Чтобы заполнить пустые ячейки, нужно выполнить соответствующие математические действия для каждого столбца.

• Столбец 1: Известны $a=3$ и $b=5$. Находим произведение: $a \cdot b = 3 \cdot 5 = 15$.
• Столбец 2: Известны $b=6$ и $a \cdot b = 30$. Находим неизвестный множитель $a$ делением: $a = 30 \div 6 = 5$.
• Столбец 3: Известны $a=5$ и $a \cdot b = 35$. Находим неизвестный множитель $b$ делением: $b = 35 \div 5 = 7$.
• Столбец 4: Известны $b=5$ и $a \cdot b = 10$. Находим неизвестный множитель $a$ делением: $a = 10 \div 5 = 2$.
• Столбец 5: Известны $a=5$ и $a \cdot b = 45$. Находим неизвестный множитель $b$ делением: $b = 45 \div 5 = 9$.
• Столбец 6: Известны $a=8$ и $b=5$. Находим произведение: $a \cdot b = 8 \cdot 5 = 40$.

Итоговая заполненная таблица (вычисленные значения выделены жирным шрифтом):

Ответ: В пустые ячейки таблицы (по одной в каждом столбце) следует вписать следующие числа по порядку столбцов: 15, 5, 7, 2, 9, 40.

Для расшифровки слова нужно использовать числа, которые мы вписали в пустые ячейки таблицы, и сопоставить их с буквами из ключа. Каждому столбцу соответствует одна буква, так как в каждом столбце была одна пустая ячейка.

• Столбец 1: вычисленное число — 15. По ключу $15 \rightarrow З$.
• Столбец 2: вычисленное число — 5. По ключу $5 \rightarrow А$.
• Столбец 3: вычисленное число — 7. По ключу $7 \rightarrow Д$.
• Столбец 4: вычисленное число — 2. По ключу $2 \rightarrow А$.
• Столбец 5: вычисленное число — 9. По ключу $9 \rightarrow Ч$.
• Столбец 6: вычисленное число — 40. По ключу $40 \rightarrow А$.

Соединив буквы по порядку, получаем слово: З-А-Д-А-Ч-А.

Ответ: Расшифрованное слово — ЗАДАЧА.

2 Реши задачи. Чем они похожи и чем различаются? Сделай вывод.

а) В кувшине 4 л воды, а в ведре – в 2 раза больше. Сколько литров воды в ведре?

К.

В.

На столе 4 книги, их в 2 раза больше, чем в портфеле. Сколько книг в портфеле?

С.

П.

б) На первой ветке 6 груш, а на второй – в 3 раза меньше. Сколько груш на второй ветке?

I

II

Высота яблони 6 м, что в 3 раза меньше высоты сосны. Чему равна высота сосны?

Яб.

С.

а)

В кувшине 4 л воды, а в ведре – в 2 раза больше. Сколько литров воды в ведре?
Чтобы найти, сколько литров воды в ведре, нужно количество воды в кувшине умножить на 2, так как в условии сказано "в 2 раза больше".
$4 \times 2 = 8$ (л)
Ответ: в ведре 8 литров воды.

На столе 4 книги, их в 2 раза больше, чем в портфеле. Сколько книг в портфеле?
В этой задаче нам известно большее число (книги на столе). Если на столе книг в 2 раза больше, чем в портфеле, значит, в портфеле книг в 2 раза меньше. Чтобы найти меньшее число, нужно выполнить деление.
$4 \div 2 = 2$ (книги)
Ответ: в портфеле 2 книги.

б)

На первой ветке 6 груш, а на второй – в 3 раза меньше. Сколько груш на второй ветке?
Чтобы найти, сколько груш на второй ветке, нужно количество груш на первой ветке разделить на 3, так как в условии сказано "в 3 раза меньше".
$6 \div 3 = 2$ (груши)
Ответ: на второй ветке 2 груши.

Высота яблони 6 м, что в 3 раза меньше высоты сосны. Чему равна высота сосны?
В этой задаче нам известно меньшее число (высота яблони). Если высота яблони в 3 раза меньше высоты сосны, значит, сосна в 3 раза выше. Чтобы найти большее число, нужно выполнить умножение.
$6 \times 3 = 18$ (м)
Ответ: высота сосны 18 метров.

Чем они похожи и чем различаются? Сделай вывод.

Похожи задачи в каждой паре (а и б) тем, что в них используются одинаковые числа и одинаковые слова для сравнения величин ("в ... раза больше" или "в ... раза меньше").

Различаются они своей структурой. Задачи в левом столбце — это прямые задачи. В них мы выполняем то действие, на которое прямо указывают слова: "больше" — умножаем, "меньше" — делим. Задачи в правом столбце — это косвенные задачи. В них, чтобы найти неизвестное, нужно выполнить действие, обратное тому, на которое указывают слова. Если известно большее число ("в 2 раза больше"), то для нахождения меньшего мы делим. Если известно меньшее число ("в 3 раза меньше"), то для нахождения большего мы умножаем.

Вывод: При решении задач всегда нужно внимательно читать условие, чтобы определить, какая величина известна (большая или меньшая) и какую нужно найти. От этого зависит выбор правильного математического действия, даже если ключевые слова в задачах звучат одинаково.

3 Составь программу действий и вычисли.

а) $\underbrace{4 \cdot 7} + \underbrace{25 : 5} \cdot 6 = $

б) $35 : 7 \cdot 8 - 4 \cdot 9 + 18 : 2 \cdot 5 = $

а) $4 \cdot 7 + 25 : 5 \cdot 6$

Для решения этого примера необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (также слева направо).

Программа действий:

1. Выполняем первое умножение: $4 \cdot 7 = 28$.
2. Выполняем деление: $25 : 5 = 5$.
3. Выполняем второе умножение, используя результат предыдущего действия: $5 \cdot 6 = 30$.
4. Выполняем сложение: $28 + 30 = 58$.

Полное решение:
$4 \cdot 7 + 25 : 5 \cdot 6 = 28 + 5 \cdot 6 = 28 + 30 = 58$.

Ответ: $58$

б) $35 : 7 \cdot 8 - 4 \cdot 9 + 18 : 2 \cdot 5$

Решаем пример, соблюдая порядок действий: сначала все операции умножения и деления в порядке их следования (слева направо), затем операции сложения и вычитания в порядке их следования (слева направо).

Программа действий:

1. Первое действие (деление): $35 : 7 = 5$.
2. Второе действие (умножение): $5 \cdot 8 = 40$.
3. Третье действие (умножение): $4 \cdot 9 = 36$.
4. Четвертое действие (деление): $18 : 2 = 9$.
5. Пятое действие (умножение): $9 \cdot 5 = 45$.
6. Теперь выражение выглядит так: $40 - 36 + 45$. Выполняем действия слева направо. Сначала вычитание: $40 - 36 = 4$.
7. Последнее действие (сложение): $4 + 45 = 49$.

Полное решение:
$35 : 7 \cdot 8 - 4 \cdot 9 + 18 : 2 \cdot 5 = 5 \cdot 8 - 36 + 9 \cdot 5 = 40 - 36 + 45 = 4 + 45 = 49$.

Ответ: $49$

У какого двузначного числа число единиц больше числа десятков:

а) на 8;

б) в 8 раз?

а)

Обозначим число десятков двузначного числа как $x$, а число единиц как $y$. По условию, число единиц больше числа десятков на 8. Это можно записать в виде уравнения: $y = x + 8$.

Число десятков $x$ в двузначном числе не может быть равно нулю, поэтому $x$ может принимать значения от 1 до 9. Число единиц $y$ может принимать значения от 0 до 9.

Рассмотрим возможные варианты для $x$:

• Если $x=1$, то $y = 1 + 8 = 9$. Это допустимое значение для числа единиц. Таким образом, мы получаем число 19. Проверяем: 9 больше 1 на 8 ($9 - 1 = 8$).
• Если $x=2$, то $y = 2 + 8 = 10$. 10 не является цифрой, поэтому этот и последующие варианты для $x$ не подходят, так как значение $y$ будет еще больше.

Следовательно, существует только одно такое число.

Ответ: 19

б)

В этом случае, используя те же обозначения ($x$ - десятки, $y$ - единицы), условие "число единиц в 8 раз больше числа десятков" можно записать как уравнение: $y = x \times 8$.

Так же, как и в предыдущем пункте, $x$ может быть от 1 до 9, а $y$ – от 0 до 9.

Рассмотрим возможные варианты для $x$:

• Если $x=1$, то $y = 1 \times 8 = 8$. Это допустимое значение для числа единиц. Получаем число 18. Проверяем: 8 больше 1 в 8 раз ($8 \div 1 = 8$).
• Если $x=2$, то $y = 2 \times 8 = 16$. 16 не является цифрой. Все последующие значения $x$ также дадут $y > 9$.

Следовательно, существует только одно такое число.

Ответ: 18