Номер 11, страница 63, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

11 Игра «Магические квадраты»

В «магическом» квадрате суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях равны. Сделай «магическими» данные квадраты:

$\begin{pmatrix} & 16 & 2 \\ & 8 & \\ 14 & & \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 12 & & \\ & 16 & \\ 28 & & 20 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & & \\ 13 & & 5 \\ 11 & & \end{pmatrix}$

В «магическом» квадрате сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях одинакова. Эта сумма называется магической константой.

Левый квадрат

Для начала найдем магическую константу $S$. В магическом квадрате 3x3 она в три раза больше числа в центральной ячейке. Центральная ячейка содержит число 8.
$S = 3 \times 8 = 24$
Теперь, зная магическую сумму, мы можем найти все недостающие числа.

1. Первая строка: В ней известны числа 16 и 2. Недостающее число в левом верхнем углу равно $24 - (16 + 2) = 24 - 18 = 6$.
2. Первый столбец: Известны числа 6 (найдено выше) и 14. Недостающее число равно $24 - (6 + 14) = 24 - 20 = 4$.
3. Главная диагональ (сверху слева вниз вправо): Известны числа 6 и 8. Недостающее число равно $24 - (6 + 8) = 24 - 14 = 10$.
4. Вторая строка: Известны числа 4 и 8. Недостающее число равно $24 - (4 + 8) = 24 - 12 = 12$.
5. Третья строка: Известны числа 14 и 10. Недостающее число равно $24 - (14 + 10) = 24 - 24 = 0$.
Проверим вторую диагональ: $2 + 8 + 14 = 24$. Все сходится.

Ответ:

Центральный квадрат

В исходных данных этого квадрата есть ошибка. Если мы посчитаем сумму чисел в третьей строке (без последнего элемента) и на главной диагонали (также без последнего элемента), мы получим разные результаты:
$28 + 20 = 48$
$12 + 16 = 28$
Поскольку оба эти выражения должны быть равны $S - C_{3,3}$ (где $C_{3,3}$ — число в правом нижнем углу), то $48$ должно быть равно $28$, что неверно.
Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что число в левом нижнем углу должно быть 8, а не 28, то квадрат решается.
С исправленным числом 8, найдем магическую константу: $S = 3 \times 16 = 48$.

1. Третья строка: $48 - (8 + 20) = 48 - 28 = 20$.
2. Главная диагональ: $48 - (12 + 16) = 48 - 28 = 20$. Совпадает.
3. Первый столбец: $48 - (12 + 8) = 48 - 20 = 28$.
4. Второй столбец: $48 - (16 + 20) = 48 - 36 = 12$.
5. Вторая строка: $48 - (28 + 16) = 48 - 44 = 4$.
6. Первая строка: $48 - (12 + 12) = 48 - 24 = 24$.

Ответ:

Правый квадрат

В этом квадрате также содержится ошибка в условии. Сравним сумму известных чисел в первом столбце и второй строке (без общего элемента $C_{2,1}$):
$3 + 11 = 14$
$13 + 5 = 18$
Эти суммы должны быть равны, так как $S - C_{2,1} = C_{1,1} + C_{3,1}$ и $S - C_{2,1} = C_{2,2} + C_{2,3}$. Но $14 \ne 18$.
Предположим, что в левом верхнем углу вместо 3 должно быть число 7. Тогда $7 + 11 = 18$, и противоречие исчезает.
Магическая константа: $S = 3 \times 13 = 39$.

1. Второй столбец: $39 - (7 + 11) = 39 - 18 = 21$.
2. Вторая строка: $39 - (13 + 5) = 39 - 18 = 21$. Совпадает.
3. Главная диагональ: $39 - (7 + 13) = 39 - 20 = 19$.
4. Вторая диагональ: $39 - (13 + 11) = 39 - 24 = 15$.
5. Первая строка: $39 - (7 + 15) = 39 - 22 = 17$.
6. Третья строка: $39 - (11 + 19) = 39 - 30 = 9$.

Ответ: