Номер 15, страница 36, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

15 Нарисуй прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Проведи диагонали и обозначь точку их пересечения $O$. Построй окружность с центром в точке $O$, проходящую через одну из вершин прямоугольника. Что ты замечаешь?

Выполним построение по шагам. Сначала нарисуем прямоугольник, обозначим его вершины как A, B, C, D. Пусть длина стороны AB будет 4 см, а стороны BC — 3 см. Затем проведем диагонали AC и BD и отметим точку их пересечения буквой O. После этого построим окружность, центром которой является точка O, а радиусом — расстояние от O до любой из вершин, например, до A.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что построенная окружность проходит через все четыре вершины прямоугольника (A, B, C и D). Это является следствием одного из ключевых свойств прямоугольника.

У любого прямоугольника диагонали равны по длине и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей O равноудалена от всех вершин прямоугольника. Математически это записывается так: $OA = OB = OC = OD$.

Поскольку мы строили окружность с центром в O и радиусом $R = OA$, а все остальные вершины находятся на таком же расстоянии от центра, они все оказываются на этой окружности. Такая окружность называется описанной около прямоугольника.

Для данного прямоугольника можно также найти точное значение радиуса. Длина диагонали $d$ находится по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами-катетами 4 см и 3 см:
$d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Ответ: Построенная окружность с центром в точке пересечения диагоналей проходит через все четыре вершины прямоугольника.