Номер 9, страница 47, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 18. Таблица умножения и деления на 8 и 9. Часть 3 - номер 9, страница 47.

Условие 2023.

9* Найди число, кратное 9, которое в 9 раз больше суммы своих цифр.

Решение 2 (2023).

Обозначим искомое число через $N$, а сумму его цифр — через $S$.

Согласно условию задачи, число $N$ должно удовлетворять двум требованиям:

1. $N$ кратно 9.
2. $N$ в 9 раз больше суммы своих цифр, то есть $N = 9S$.

Заметим, что второе условие ($N = 9S$) автоматически обеспечивает выполнение первого, так как если число равно $9S$, оно очевидно делится на 9.

Теперь воспользуемся известным свойством делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Поскольку $N$ кратно 9, сумма его цифр $S$ также должна быть кратна 9. Таким образом, $S$ может принимать значения 9, 18, 27, 36 и так далее.

Рассмотрим эти случаи по порядку:

Случай 1: Сумма цифр $S=9$

Тогда само число $N$ должно быть $N = 9 \times S = 9 \times 9 = 81$.
Проверим: сумма цифр числа 81 равна $8 + 1 = 9$. Это соответствует нашему предположению. Значит, число 81 является решением.

Случай 2: Сумма цифр $S=18$

Тогда само число $N$ должно быть $N = 9 \times S = 9 \times 18 = 162$.
Проверим: сумма цифр числа 162 равна $1 + 6 + 2 = 9$. Это не равно 18. Следовательно, это не решение.

Случай 3: Сумма цифр $S=27$

Тогда само число $N$ должно быть $N = 9 \times S = 9 \times 27 = 243$.
Проверим: сумма цифр числа 243 равна $2 + 4 + 3 = 9$. Это не равно 27. Следовательно, это не решение.

Мы видим, что для предполагаемых значений $S$, равных 18, 27 и т.д., получаемое число $N$ имеет сумму цифр, равную 9, что приводит к противоречию.

Докажем, что других решений, кроме 81, не существует. Пусть искомое число $N$ состоит из $d$ цифр. Минимальное $d$-значное число (для $d>1$) — это $10^{d-1}$, а максимальная сумма цифр $d$-значного числа — это $9d$. Из условия $N = 9S$ и того, что $N \ge 10^{d-1}$ и $S \le 9d$, получаем неравенство:

$10^{d-1} \le N = 9S \le 9 \times (9d) = 81d$

Проверим это неравенство для разных $d$:

• При $d=1$: $10^{1-1} = 1 \le 81 \times 1 = 81$. Неравенство выполняется.
• При $d=2$: $10^{2-1} = 10 \le 81 \times 2 = 162$. Неравенство выполняется.
• При $d=3$: $10^{3-1} = 100 \le 81 \times 3 = 243$. Неравенство выполняется.
• При $d=4$: $10^{4-1} = 1000 \le 81 \times 4 = 324$. Неравенство не выполняется.

Так как $10^{d-1}$ растет гораздо быстрее, чем $81d$, для $d \ge 4$ решений быть не может. Значит, искомое число может быть только одно-, двух- или трехзначным.

Рассмотрим эти случаи:

1. Однозначное число. Пусть $N = a$. Сумма цифр $S=a$. Условие $N = 9S$ превращается в $a = 9a$, откуда $8a=0$, то есть $a=0$. Число 0 удовлетворяет условию, но обычно под "числом" в таких задачах понимают натуральное число (положительное целое). Если искомое число натуральное, то решений нет.

2. Двузначное число. Пусть $N = 10a + b$. Сумма цифр $S = a+b$. Условие $N = 9S$ дает уравнение: $10a+b = 9(a+b)$, что упрощается до $a = 8b$. Поскольку $a$ и $b$ — цифры, и $a \ne 0$ (так как число двузначное), то $b$ может быть только 1. Если $b=1$, то $a=8$. Получаем число 81. Это решение мы уже нашли. Если $b \ge 2$, то $a$ будет больше 9, что невозможно для цифры.

3. Трехзначное число. Пусть $N = 100a+10b+c$. Сумма цифр $S = a+b+c$. Условие $N = 9S$ дает уравнение: $100a+10b+c = 9(a+b+c)$, что упрощается до $91a+b = 8c$. Поскольку число трехзначное, $a \ge 1$. Тогда левая часть уравнения $91a+b \ge 91 \times 1 + 0 = 91$. Правая часть уравнения $8c$ может быть максимальной при $c=9$: $8 \times 9 = 72$. Так как минимальное значение левой части (91) больше максимального значения правой части (72), это уравнение не имеет решений. Таким образом, трехзначных решений не существует.

Единственное натуральное число, удовлетворяющее условию, — это 81.

Ответ: 81

Условие 2020-2022.

9* Найди число, кратное 9, которое в 9 раз больше суммы своих цифр.

Решение 2020-2022.