Номер 2, страница 41, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Странички для любознательных стр. 41. Числа от 1 до 100. Умножение и деление (продолжение). ч. 1 - номер 2, страница 41.

2. Игра «Одиннадцать палочек»

Играют двое. На столе лежат 11 палочек. Первый играющий берёт по своему усмотрению 1, 2 или 3 палочки. Второй играющий берёт из оставшихся по своему усмотрению 1, 2 или 3 палочки. Так поочерёдно оба играющих берут каждый раз не более чем по 3 палочки. Проигрывает тот, кому придётся взять последнюю палочку. Попробуй догадаться, как должен играть начинающий, чтобы выиграть.

Совет: начни вести расчёт «от конца». На последний ход первый игрок должен оставить второму 1 палочку, на предпоследний — 5. Объясни почему и закончи расчёт.

Это классическая игра на выигрышную стратегию, которая решается с помощью анализа «с конца». Цель — заставить противника взять последнюю палочку. Это означает, что выигрывает тот, кто на своём ходу оставляет противнику ровно 1 палочку.

Объяснение, почему на предпоследнем ходу нужно оставить 5 палочек

Давайте проанализируем игру от финального хода. Чтобы заставить противника взять последнюю палочку, ему нужно оставить 1 палочку. Рассмотрим, какое количество палочек нужно оставить противнику на ход раньше, чтобы гарантировать себе победу. Пусть на столе $N$ палочек, и сейчас ваш ход.

Если вы оставите противнику 5 палочек, то он оказывается в проигрышной ситуации. Вот почему:

• Если он возьмёт 1 палочку, на столе останется $5-1=4$. Вы своим ходом берёте 3 палочки и оставляете ему $4-3=1$. Он проигрывает.
• Если он возьмёт 2 палочки, на столе останется $5-2=3$. Вы своим ходом берёте 2 палочки и оставляете ему $3-2=1$. Он проигрывает.
• Если он возьмёт 3 палочки, на столе останется $5-3=2$. Вы своим ходом берёте 1 палочку и оставляете ему $2-1=1$. Он проигрывает.

Таким образом, позиция с 5 палочками является проигрышной для того, чей ход. Ваша цель — оставить противнику именно это количество палочек.

Завершение расчёта и выигрышная стратегия

Можно заметить закономерность. Ключевая особенность игры в том, что за один свой ход и один ход противника (полный раунд) можно контролировать общее количество взятых палочек. Максимальное число палочек, которое можно взять — 3, минимальное — 1. Сумма этих чисел плюс один равна $1+3=4$. Если противник берёт $k$ палочек (где $k$ может быть 1, 2 или 3), вы всегда можете взять $4-k$ палочек. В этом случае за раунд вы вместе всегда будете убирать ровно 4 палочки.

Это позволяет нам найти все «проигрышные» позиции, которые нужно оставлять сопернику. Они образуют последовательность:

• $1$ (финальная проигрышная позиция)
• $1 + 4 = 5$
• $5 + 4 = 9$
• $9 + 4 = 13$ и т.д.

Общая формула для проигрышного числа палочек: $N = 4k + 1$, где $k$ — любое целое неотрицательное число.

Теперь применим эту стратегию к начальной ситуации с 11 палочками.

1. Изначально на столе 11 палочек. Это не проигрышная позиция, так как 11 не делится на 4 с остатком 1 ($11 = 4 \times 2 + 3$). Значит, первый игрок может выиграть. Ему нужно своим ходом оставить на столе проигрышное число палочек. Ближайшее такое число, меньшее 11, — это 9. Для этого первый игрок должен взять $11 - 9 = 2$ палочки.
2. На столе остаётся 9 палочек, и ход переходит ко второму игроку. Он в проигрышной позиции. Допустим, он берёт $k$ палочек (1, 2 или 3).
3. Теперь ход первого игрока. Его цель — оставить на столе следующую проигрышную позицию, то есть 5 палочек. Он должен взять $4-k$ палочек. Например:
   • Если второй взял 1 (осталось 8), первый берёт 3. Остаётся 5.
   • Если второй взял 2 (осталось 7), первый берёт 2. Остаётся 5.
   • Если второй взял 3 (осталось 6), первый берёт 1. Остаётся 5.
4. На столе 5 палочек, и ход снова у второго игрока. Он опять в проигрышной позиции. Как мы уже показали, что бы он ни сделал, первый игрок сможет оставить ему 1 палочку.
5. На столе остаётся 1 палочка. Второй игрок вынужден её взять и проигрывает.

Ответ: Чтобы выиграть, начинающий игрок должен придерживаться следующей стратегии. Первым ходом он должен взять 2 палочки, оставив на столе 9. Каждым своим последующим ходом он должен брать столько палочек, чтобы в сумме с палочками, которые только что взял второй игрок, получилось 4. То есть, если второй игрок взял 1 палочку, первый должен взять 3; если второй взял 2, первый тоже берёт 2; если второй взял 3, первый берёт 1. Придерживаясь этой тактики, первый игрок последовательно будет оставлять второму 9, 5 и, наконец, 1 палочку, что гарантирует ему победу.