Номер 7, страница 30, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Проверка деления с остатком. Числа от 1 до 100. Умножение и деление (продолжение). ч. 2 - номер 7, страница 30.

7. Используя только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и не повторяя ни одну из них, составь такие 4 числа, чтобы при их сложении получилось 100.

Для решения этой задачи необходимо найти четыре числа, составленные из уникальных цифр от 1 до 7, сумма которых равна 100. Давайте проанализируем, из каких чисел может состоять эта сумма.

Обозначим четыре искомых числа как A, B, C и D. По условию, $A + B + C + D = 100$. Цифры, из которых состоят эти числа, должны быть уникальными и принадлежать множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Всего у нас 7 цифр.

Рассмотрим возможные комбинации разрядности чисел:

• Если бы все четыре числа были двузначными, нам понадобилось бы $4 \times 2 = 8$ цифр, а у нас их только 7. Этот вариант невозможен.
• Если бы среди чисел было хотя бы одно трехзначное, то оно было бы не меньше 123, что уже больше 100. Этот вариант также невозможен.

Следовательно, среди четырех чисел должны быть как однозначные, так и двузначные. Единственная комбинация, которая использует все 7 доступных цифр, — это три двузначных числа и одно однозначное ($3 \times 2 + 1 = 7$ цифр). Проверим, возможен ли такой вариант.

Пусть наши числа — это три двузначных ($10a+b$, $10c+d$, $10e+f$) и одно однозначное ($g$). Здесь $a, b, c, d, e, f, g$ — это неповторяющиеся цифры из набора $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Запишем их сумму:

$(10a+b) + (10c+d) + (10e+f) + g = 100$

Сгруппируем слагаемые по разрядам:

$10 \cdot (a+c+e) + (b+d+f+g) = 100$

Сумма всех семи используемых цифр постоянна: $1+2+3+4+5+6+7 = 28$.
Сумма цифр в разряде десятков — это $S_Т = a+c+e$.
Сумма цифр в разряде единиц и однозначного числа — это $S_Е = b+d+f+g$.
Очевидно, что $S_Т + S_Е = 28$.

При сложении чисел столбиком сумма цифр в разряде единиц ($S_Е$) должна оканчиваться на 0, чтобы в итоговой сумме 100 в разряде единиц был 0. Найдем возможные значения для $S_Е$. Это сумма четырех разных цифр из нашего набора.
Минимальная возможная сумма: $1+2+3+4 = 10$.
Максимальная возможная сумма: $7+6+5+4 = 22$.
Значит, $S_Е$ может быть равно 10 или 20.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $S_Е = 10$, то при сложении в столбик это даст 0 в разряде единиц и 1 перейдет в разряд десятков. Тогда сумма в разряде десятков будет $S_Т + 1 = 10$, откуда $S_Т = 9$. В этом случае общая сумма цифр $S_Т + S_Е = 9 + 10 = 19$. Но мы знаем, что она должна быть равна 28. Противоречие. Этот случай невозможен.
2. Если $S_Е = 20$, то это даст 0 в разряде единиц и 2 перейдет в разряд десятков. Тогда сумма в разряде десятков будет $S_Т + 2 = 10$, откуда $S_Т = 8$. В этом случае общая сумма цифр $S_Т + S_Е = 8 + 20 = 28$. Это соответствует сумме всех доступных нам цифр. Значит, это верный путь.

Итак, нам нужно найти:

• Три разные цифры из набора $\{1, ..., 7\}$, сумма которых равна 8 (это будут цифры десятков $a, c, e$).
• Оставшиеся четыре цифры должны в сумме давать 20 (это будут цифры единиц $b, d, f$ и однозначное число $g$).

Найдем тройки цифр, дающие в сумме 8:

• $\{1, 2, 5\}$ (сумма $1+2+5=8$). Оставшиеся цифры: $\{3, 4, 6, 7\}$. Проверим их сумму: $3+4+6+7=20$. Подходит.
• $\{1, 3, 4\}$ (сумма $1+3+4=8$). Оставшиеся цифры: $\{2, 5, 6, 7\}$. Проверим их сумму: $2+5+6+7=20$. Тоже подходит.

Возьмем, например, второй вариант. Цифры десятков: $\{1, 3, 4\}$. Цифры для единиц и однозначного числа: $\{2, 5, 6, 7\}$.

Теперь составим числа. Пусть однозначным числом будет 7. Тогда для разрядов единиц двузначных чисел остаются цифры 2, 5, 6. Соединим их с нашими цифрами десятков 1, 3, 4.

Например, возьмем числа: $12, 35, 46$ и $7$.
Проверим использованные цифры: $\{1, 2, 3, 5, 4, 6, 7\}$. Все цифры из заданного набора использованы по одному разу.
Проверим сумму: $12 + 35 + 46 + 7 = 47 + 46 + 7 = 93 + 7 = 100$.

Условие выполнено. Существует несколько других комбинаций, например, $53 + 24 + 16 + 7 = 100$. Мы приведем один из возможных вариантов в ответе.

Ответ: Искомые четыре числа могут быть, например, 12, 35, 46 и 7.