Номер 1, страница 75, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

1. Восстанови пропущенные цифры и числа.

Найди все решения.

1* · 7 = *1

В данном примере двузначное число, начинающееся на 1, умножается на 7. Результатом является двузначное число, оканчивающееся на 1. Обозначим неизвестную цифру в первом множителе как $x$. Тогда произведение $x \cdot 7$ должно оканчиваться на 1. Проверив таблицу умножения на 7, находим, что только $3 \cdot 7 = 21$ дает число, оканчивающееся на 1. Значит, неизвестная цифра — это 3. Проверяем: $13 \cdot 7 = 91$. Результат 91 — это двузначное число, которое оканчивается на 1. Решение найдено.
Ответ: $13 \cdot 7 = 91$

2* · 3 = *5

Здесь двузначное число, начинающееся на 2, умножается на 3, и в результате получается двузначное число, оканчивающееся на 5. Пусть неизвестная цифра в первом множителе будет $x$. Тогда произведение $x \cdot 3$ должно давать число, которое оканчивается на 5. Из таблицы умножения на 3 мы знаем, что $5 \cdot 3 = 15$. Таким образом, $x=5$. Проверяем: $25 \cdot 3 = 75$. Результат 75 — это двузначное число, оканчивающееся на 5.
Ответ: $25 \cdot 3 = 75$

*9 · ? = *7

В этом примере двузначное число, оканчивающееся на 9, умножается на однозначное число (в квадрате), и результат — двузначное число, оканчивающееся на 7. Пусть множитель в квадрате равен $z$. Произведение $9 \cdot z$ должно оканчиваться на 7. Из таблицы умножения подходит только $9 \cdot 3 = 27$, значит, $z=3$. Теперь уравнение выглядит так: $*9 \cdot 3 = *7$. Пусть первая цифра первого множителя — $y$. Число равно $10y+9$. Произведение $(10y+9) \cdot 3 = 30y+27$ должно быть двузначным, то есть меньше 100. $30y+27 < 100 \implies 30y < 73 \implies y < 2.43...$. Так как первый множитель — двузначное число, $y$ может быть 1 или 2.
Если $y=1$: $19 \cdot 3 = 57$. Это верное решение.
Если $y=2$: $29 \cdot 3 = 87$. Это тоже верное решение.
Ответ: $19 \cdot 3 = 57$ и $29 \cdot 3 = 87$.

*8 · ? = *4

Двузначное число, оканчивающееся на 8, умножается на однозначное число, и результат — двузначное число, оканчивающееся на 4. Пусть множитель в квадрате — $z$. Произведение $8 \cdot z$ должно оканчиваться на 4. Возможны два варианта: $8 \cdot 3 = 24$ и $8 \cdot 8 = 64$. Значит, $z$ может быть 3 или 8.
Случай 1: $z=3$. Уравнение: $*8 \cdot 3 = *4$. Пусть первая цифра первого множителя — $y$. Произведение $(10y+8) \cdot 3 = 30y+24$ должно быть двузначным ($<100$). $30y < 76 \implies y < 2.53...$. Значит, $y$ может быть 1 или 2.
При $y=1$: $18 \cdot 3 = 54$. Решение.
При $y=2$: $28 \cdot 3 = 84$. Решение.
Случай 2: $z=8$. Уравнение: $*8 \cdot 8 = *4$. Произведение $(10y+8) \cdot 8 = 80y+64$ должно быть двузначным. $80y+64 < 100 \implies 80y < 36$. Для $y \ge 1$ это неравенство не выполняется.
Ответ: $18 \cdot 3 = 54$ и $28 \cdot 3 = 84$.

9* : ? = *4

Двузначное число от 90 до 99 делится на однозначное число, и в результате получается двузначное число, оканчивающееся на 4. Обозначим уравнение как $A : B = C$. Тогда $A=B \cdot C$. $A$ находится в диапазоне от 90 до 99, а $C$ — это число вида $14, 24, 34, ...$.
Проверим возможные значения для частного $C$:
Если $C=14$, то $A = B \cdot 14$. Нам нужно, чтобы $90 \le A \le 99$. $14 \cdot 6 = 84$ (мало), $14 \cdot 7 = 98$ (подходит). Получаем решение: $98 : 7 = 14$.
Если $C=24$, то $A = B \cdot 24$. $24 \cdot 3 = 72$ (мало), $24 \cdot 4 = 96$ (подходит). Получаем решение: $96 : 4 = 24$.
Если $C=34$, то $34 \cdot 2 = 68$, $34 \cdot 3 = 102$. Нет числа в нужном диапазоне.
Большие значения $C$ также не дадут решений.
Ответ: $96 : 4 = 24$ и $98 : 7 = 14$.

7* : ? = 1*

Двузначное число от 70 до 79 делится на однозначное число, и в результате получается двузначное число от 10 до 19. Обозначим уравнение как $A : B = C$, где $A \in [70, 79]$, $B$ — однозначное число, $C \in [10, 19]$. Перепишем как $A = B \cdot C$. Будем перебирать возможные делители $B$.
• $B=2$ или $B=3$: частное будет больше 19.
• $B=4$: частное $C$ находится в диапазоне $[70/4, 79/4] = [17.5, 19.75]$. Возможные целые частные: 18 и 19.
$4 \cdot 18 = 72 \implies 72 : 4 = 18$.
$4 \cdot 19 = 76 \implies 76 : 4 = 19$.
• $B=5$: частное $C \in [70/5, 79/5] = [14, 15.8]$. Возможные частные: 14 и 15.
$5 \cdot 14 = 70 \implies 70 : 5 = 14$.
$5 \cdot 15 = 75 \implies 75 : 5 = 15$.
• $B=6$: частное $C \in [70/6, 79/6] \approx [11.6, 13.1]$. Возможные частные: 12 и 13.
$6 \cdot 12 = 72 \implies 72 : 6 = 12$.
$6 \cdot 13 = 78 \implies 78 : 6 = 13$.
• $B=7$: частное $C \in [70/7, 79/7] \approx [10, 11.2]$. Возможные частные: 10 и 11.
$7 \cdot 10 = 70 \implies 70 : 7 = 10$.
$7 \cdot 11 = 77 \implies 77 : 7 = 11$.
• $B=8$ или $B=9$: частное будет меньше 10.
Ответ: $72:4=18, 76:4=19, 70:5=14, 75:5=15, 72:6=12, 78:6=13, 70:7=10, 77:7=11$.