Страница 34, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. С первой яблони собрали 40 кг яблок, а со второй только 10 кг. На сколько больше килограммов яблок собрали с первой яблони, чем со второй? Во сколько раз меньше ... ?

На сколько больше килограммов яблок собрали с первой яблони, чем со второй?

Чтобы найти, на сколько килограммов яблок больше собрали с первой яблони, чем со второй, необходимо выполнить разностное сравнение. Для этого из большего количества (урожай с первой яблони) вычтем меньшее (урожай со второй яблони).

$40 - 10 = 30$ (кг)

Ответ: с первой яблони собрали на 30 кг яблок больше, чем со второй.

Во сколько раз меньше ... ?

Вопрос в задаче сформулирован не до конца. Вероятно, он должен звучать так: "Во сколько раз меньше яблок собрали со второй яблони, чем с первой?". Чтобы найти это, необходимо выполнить кратное сравнение: разделить большее количество яблок на меньшее.

$40 / 10 = 4$ (раза)

Ответ: со второй яблони собрали в 4 раза меньше яблок, чем с первой.

2. Бабушка посадила весной 8 кг картофеля, а осенью собрала 40 кг. Во сколько раз больше она собрала картофеля, чем посадила?

Измени вопрос так, чтобы задача решалась вычитанием, и реши её.

Во сколько раз больше она собрала картофеля, чем посадила?
Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее. В данном случае, нужно количество собранного картофеля разделить на количество посаженного.
$40 \div 8 = 5$ (раз)
Ответ: Бабушка собрала в 5 раз больше картофеля, чем посадила.

Измени вопрос так, чтобы задача решалась вычитанием, и реши её.
Чтобы задача решалась вычитанием, нужно спросить о разнице в килограммах. Новый вопрос может звучать так: На сколько килограммов больше бабушка собрала картофеля, чем посадила?
Для решения нужно из веса собранного урожая вычесть вес посаженного картофеля.
$40 - 8 = 32$ (кг)
Ответ: Бабушка собрала на 32 кг картофеля больше, чем посадила.

3. Начерти в тетради 3 одинаковых прямоугольника, длины сторон каждого из которых 3 см и 4 см. Проведи в каждом из них один отрезок так, чтобы он разделил первый прямоугольник на два равных прямоугольника, второй — на два равных треугольника, а третий — на прямоугольник и квадрат.

Чтобы он разделил первый прямоугольник на два равных прямоугольника:
Исходный прямоугольник имеет стороны $3$ см и $4$ см. Чтобы разделить его на два равных прямоугольника, нужно провести отрезок, который является средней линией. Можно соединить середины двух противоположных сторон длиной $4$ см. Длина этого отрезка будет равна $3$ см. В результате получатся два одинаковых прямоугольника со сторонами $3$ см и $2$ см (поскольку $4 \text{ см} \div 2 = 2 \text{ см}$).
Ответ: Провести отрезок, соединяющий середины сторон длиной $4$ см.

второй — на два равных треугольника:
Чтобы разделить прямоугольник на два равных треугольника, нужно провести в нем диагональ. Диагональ — это отрезок, который соединяет две противоположные вершины прямоугольника. В результате мы получим два равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны сторонам исходного прямоугольника, то есть $3$ см и $4$ см.
Ответ: Провести диагональ прямоугольника.

а третий — на прямоугольник и квадрат:
Чтобы разделить прямоугольник со сторонами $3$ см и $4$ см на квадрат и прямоугольник, нужно отделить от него квадрат. Так как одна из сторон прямоугольника равна $3$ см, мы можем построить квадрат со стороной $3$ см. Для этого на длинной стороне (длиной $4$ см) от одной из вершин откладываем $3$ см и из этой точки проводим отрезок, перпендикулярный этой стороне, до противоположной стороны. Этот отрезок разделит исходную фигуру на квадрат со стороной $3$ см и оставшийся прямоугольник со сторонами $3$ см и $1$ см (поскольку $4 \text{ см} - 3 \text{ см} = 1 \text{ см}$).
Ответ: На стороне длиной $4$ см отложить $3$ см и провести перпендикулярный отрезок к противоположной стороне.

4. Дима построил четырёхугольник из карандашей длиной 14 см, 10 см, 16 см и 8 см. Костя взял ещё один карандаш и перестроил четырёхугольник в пятиугольник. Какой длины был этот карандаш, если периметр пятиугольника 55 см?

Для того чтобы найти длину нового карандаша, необходимо сначала вычислить общую длину карандашей, из которых Дима построил четырёхугольник. Эта общая длина является периметром четырёхугольника ($P_4$).

Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон.
$P_4 = 14 \text{ см} + 10 \text{ см} + 16 \text{ см} + 8 \text{ см} = 48 \text{ см}.$

Таким образом, суммарная длина четырёх исходных карандашей составляет 48 см.

Костя добавил к этим карандашам ещё один и построил пятиугольник. Периметр пятиугольника ($P_5$) равен сумме длин всех пяти карандашей. По условию задачи, периметр пятиугольника равен 55 см.

Следовательно, чтобы найти длину нового, пятого карандаша, нужно из периметра пятиугольника вычесть общую длину четырёх первоначальных карандашей.
Длина нового карандаша = $P_5 - P_4$
Длина нового карандаша = $55 \text{ см} - 48 \text{ см} = 7 \text{ см}.$

Ответ: длина этого карандаша 7 см.

5. 1) Сколько на чертеже треугольников? четырёхугольников?

2) Сколько острых углов в фигуре ABDM?

1) Сколько на чертеже треугольников? четырёхугольников?

Поскольку чертёж к задаче не предоставлен, для её решения необходимо сделать разумное предположение о виде изображённой фигуры. В школьных задачах по геометрии часто встречаются стандартные конфигурации. Одна из таких — большой треугольник, от которого отсекли верхнюю часть прямой, параллельной основанию. Эта конфигурация содержит и треугольники, и четырёхугольник, что соответствует условию вопроса.

Предположим, на чертеже изображён треугольник $\triangle AKM$, на боковых сторонах $AK$ и $MK$ которого отмечены точки $B$ и $D$ соответственно. Эти точки соединены отрезком $BD$, параллельным основанию $AM$ ($BD \parallel AM$).

В этой конфигурации можно выделить следующие фигуры:

Треугольники:
1. Малый треугольник $\triangle BKD$, который образовался в верхней части исходного треугольника.
2. Большой исходный треугольник $\triangle AKM$.
Всего на таком чертеже 2 треугольника.

Четырёхугольники:
1. Фигура ABDM. Поскольку её стороны $BD$ и $AM$ параллельны, а две другие ($AB$ и $DM$) — нет, она является трапецией.
Всего на таком чертеже 1 четырёхугольник.

Ответ: На чертеже 2 треугольника и 1 четырёхугольник.

2) Сколько острых углов в фигуре ABDM?

Согласно нашему предположению, фигура ABDM является трапецией. Найдём количество острых углов в этой трапеции. Острым называется угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

Углы трапеции ABDM при большем основании $AM$ (углы $\angle MAB$ и $\angle DMA$) совпадают с углами при основании исходного треугольника $\triangle AKM$. В любом треугольнике как минимум два угла являются острыми. Обычно в таких задачах исходный треугольник является остроугольным или, по крайней мере, имеет острые углы при основании. Будем считать, что $\angle MAB$ и $\angle DMA$ — острые.

Теперь рассмотрим два других угла трапеции: $\angle ABD$ и $\angle BDM$, которые прилежат к меньшему основанию $BD$. Для любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

Для боковой стороны $AB$ имеем:$\angle MAB + \angle ABD = 180^\circ$

Поскольку мы приняли, что $\angle MAB$ — острый (то есть $\angle MAB < 90^\circ$), то для смежного с ним по стороне угла $\angle ABD$ получаем:$\angle ABD = 180^\circ - \angle MAB$.Так как $\angle MAB < 90^\circ$, то $\angle ABD > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, следовательно, $\angle ABD$ — тупой.

Аналогично для боковой стороны $DM$:$\angle DMA + \angle BDM = 180^\circ$

Поскольку $\angle DMA$ — острый ($\angle DMA < 90^\circ$), то угол $\angle BDM$ также является тупым:$\angle BDM = 180^\circ - \angle DMA > 90^\circ$.

В результате мы получаем, что в трапеции ABDM два острых угла ($\angle MAB$ и $\angle DMA$) и два тупых угла ($\angle ABD$ и $\angle BDM$).

Ответ: В фигуре ABDM 2 острых угла.

Каждому человеку ежедневно приходится решать практические задачи. Например, надо рассчитать, когда выехать из дома на вокзал, чтобы не опоздать на поезд и не очень долго ждать начала посадки. Часто приходится рассчитывать, что выбрать в буфете на обед, чтобы хватило тех денег, которые имеются. Портниха решает задачу, как скроить и сшить ту или иную вещь, чтобы материала хватило и не было лишних обрезков. Хорошая хозяйка постоянно учитывает, какие доходы есть в семье и какие возможны расходы. С какими практическими задачами вы сталкивались в жизни? Приведите примеры.

Давайте вместе составим и решим такую задачу. Надо рассчитать время выхода из дома, чтобы не опоздать к началу занятий в школе. Расскажите задачу. Нам известно время начала занятий в школе — 8 ч 30 мин, неизвестно время выхода из дома. Запишем в таблицу.

Мы учли в расчётах только расстояние (от входа в школу до класса, от дома до школы) и получили два ответа. А что ещё может измениться в условии, что изменит ответы? Чем различаются задачи-расчёты? Ответы на вопрос задачи зависят от правильности подбора недостающих данных.

Что надо знать, чтобы как можно правильнее рассчитать:

• стоимость отправления по почте письма, поздравительной открытки, важного документа;
• стоимость подарка, в который входит несколько игрушек, книга, конфеты и упаковочная бумага;
• какую выбрать книгу в библиотеке, чтобы прочитать её за весенние каникулы?

Прочитайте рассказ Н. Н. Носова «Мишкина каша» и стихотворение С. В. Михалкова «Жадный Вартан» (армянская сказка) и ответьте, какие ошибки допустили герои в задачах-расчётах.

Узнайте у своих близких (в своей семье, у родственников, у знакомых), какие задачи-расчёты им приходится решать, какие трудности они испытывают при решении, где узнают необходимые сведения для правильных расчётов.

Над проектом «Задачи-расчёты» целесообразно работать в группах. Промежуточный результат — обсуждение составленной и решённой задачи в другой группе (по жребию). Завершающий результат — картотека задач-расчётов, конкурс в решении задач с недостающими данными. Выберите конкретную тему своего проекта, распределите работу между членами группы (кто какую информацию будет собирать и к какому сроку, кто будет составлять, кто решать, кто оформлять задачу и её решение).

Темы проектов:

• Затраты времени на занятия в школе по дням недели, в том числе и на дополнительные занятия в кружках, секциях и т. п.
• Затраты времени на постоянные домашние дела (уход за комнатными растениями, домашними животными, помощь взрослым) за 1 неделю.
• Затраты времени на разные виды отдыха (прогулки, экскурсии, посещение театров, музеев, чтение книг, просмотр телевизионных передач и др.) в течение 1 месяца.
• Денежные расходы на экскурсию, посещение театра или музея, на поездку за город или в город.
• Расчёт количества и стоимости покупки:
  — обоев для оклейки одной комнаты в своей квартире;
  — плинтусов и бордюров для ремонта двух разных комнат;
  — лака для покрытия деревянного изделия (полки, стенда, крышки стола).
• Расчёт площади, занимаемой спортивными снарядами в школьном спортзале, и площади зала, которая приходится на одного человека во время урока физкультуры.

С какими практическими задачами вы сталкивались в жизни? Приведите примеры.

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с задачами-расчётами. Вот несколько примеров:

• Планирование бюджета на неделю: нужно рассчитать, сколько денег можно потратить на продукты, транспорт, развлечения, чтобы уложиться в определённую сумму.
• Приготовление еды по рецепту: необходимо точно отмерить количество ингредиентов (например, муки, сахара, воды), чтобы блюдо получилось вкусным. Если готовить на большую или меньшую компанию, чем в рецепте, нужно пропорционально пересчитать все компоненты.
• Расчёт времени на выполнение домашнего задания: нужно оценить, сколько времени займёт каждый предмет, и составить план, чтобы всё успеть сделать вовремя и оставить время для отдыха.
• Покупка товаров в магазине: складывая товары в корзину, полезно примерно подсчитывать их общую стоимость, чтобы на кассе не оказалось, что денег не хватает.
• Планирование поездки: нужно рассчитать время в пути, чтобы не опоздать, а также стоимость билетов и сопутствующие расходы.

Ответ: Примеры практических задач: расчёт бюджета на покупки, расчёт времени на дорогу и домашние задания, расчёт количества ингредиентов для приготовления блюда.

Давайте вместе составим и решим такую задачу.

Задача состоит в том, чтобы рассчитать время выхода из дома, чтобы прийти в школу вовремя. Начало занятий в 8:30. В таблице представлены два варианта: для живущих «Близко» и «Далеко» от школы.

Расчёт времени выхода из дома производится по формуле:

Время выхода = Время прихода в школу ? Время, затраченное на дорогу

Проверим расчёты в таблице:

• Для варианта «Близко»:
  Ученик хочет прийти в 8 ч 20 мин, чтобы иметь 10 минут в запасе. Дорога занимает 15 минут.
  $8 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 15 \text{ мин } = 8 \text{ ч } 5 \text{ мин }$.
  Расчёт в таблице верен.
• Для варианта «Далеко»:
  Ученик хочет прийти в 8 ч 15 мин, чтобы иметь 15 минут в запасе. Дорога занимает 30 минут.
  Для удобства вычитания представим 8 ч 15 мин как 7 ч 75 мин (поскольку $1 \text{ час } = 60 \text{ мин }$).
  $7 \text{ ч } 75 \text{ мин } - 30 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 45 \text{ мин }$.
  Расчёт в таблице также верен.

А что ещё может измениться в условии, что изменит ответы?

На время в пути и, следовательно, на время выхода из дома могут повлиять многие факторы, кроме расстояния:

• Способ передвижения: пешком, на автобусе, на машине. Поездка на автобусе может включать время ожидания на остановке.
• Погодные условия: сильный дождь, снегопад или гололёд могут замедлить движение.
• Дорожная обстановка: пробки, ремонт дороги или авария могут значительно увеличить время в пути.
• Непредвиденные задержки: можно что-то забыть и вернуться домой, долго ждать автобуса, встретить по пути друга и заговориться.
• Время на сборы в школе: нужно учесть время, чтобы дойти от входа до класса, раздеться в гардеробе, сходить в туалет, подготовить учебники к уроку.

Ответ: Расчёты в таблице верны. На итоговый ответ (время выхода) могут повлиять способ передвижения, погода, пробки и другие непредвиденные задержки.

Что надо знать, чтобы как можно правильнее рассчитать: стоимость отправления по почте письма, поздравительной открытки, важного документа;

Для правильного расчёта стоимости почтового отправления необходимо знать:

• Вес отправления (письма, открытки).
• Тип отправления (простое, заказное, ценное, экспресс-отправление).
• Адрес получателя (чтобы определить, является ли отправление внутренним или международным, и в какую тарифную зону оно попадает).
• Размеры конверта или упаковки (для некоторых видов отправлений).
• Заявленная ценность (если отправление ценное, от этого зависит сумма страхового сбора).
• Актуальные почтовые тарифы на выбранный вид услуги.

Ответ: Необходимо знать вес, тип отправления, адрес получателя, ценность и действующие почтовые тарифы.

Что надо знать, чтобы как можно правильнее рассчитать: стоимость подарка, в который входит несколько игрушек, книга, конфеты и упаковочная бумага;

Чтобы рассчитать общую стоимость такого подарка, нужно знать:

• Цену каждой отдельной игрушки.
• Стоимость книги.
• Цену конфет (за упаковку или за вес, например, за 100 грамм).
• Стоимость упаковочной бумаги, а также дополнительных украшений (лент, банта).
• Цену подарочного пакета или коробки, если они используются.
• Информацию о возможных скидках или акциях на приобретаемые товары.

Ответ: Нужно знать точную цену каждого компонента подарка (игрушек, книги, конфет, упаковки) и учесть возможные скидки.

Что надо знать, чтобы как можно правильнее рассчитать: какую выбрать книгу в библиотеке, чтобы прочитать её за весенние каникулы?

Этот расчёт связан с планированием времени. Чтобы сделать правильный выбор, нужно знать и сопоставить:

• Продолжительность весенних каникул в днях.
• Свою среднюю скорость чтения (сколько страниц в час или в день вы обычно читаете в спокойном темпе).
• Сколько времени каждый день вы планируете уделять чтению.
• Общий объём книги (количество страниц).
• Сложность текста и шрифта (книгу со сложным языком или мелким шрифтом читать дольше).

На основе этих данных можно рассчитать примерное время, которое уйдёт на прочтение книги: $(\text{Количество страниц}) / (\text{Скорость чтения в страницах/час}) = \text{Время в часах}$. Затем это время можно сравнить с общим временем, выделенным на чтение во время каникул.

Ответ: Нужно знать длительность каникул, свою скорость чтения, количество времени на чтение в день и объём (количество страниц) выбранной книги.

Прочитайте рассказ Н. Н. Носова «Мишкина каша» и стихотворение С. В. Михалкова «Жадный Вартан» (армянская сказка) и ответьте, какие ошибки допустили герои в задачах-расчётах.

• В рассказе «Мишкина каша» герои допустили несколько серьёзных ошибок в расчётах при приготовлении еды.
  Главная ошибка — неправильный расчёт пропорций. Они высыпали в кастрюлю целый пакет крупы, не зная, что она сильно разваривается и увеличивается в объёме. Они не рассчитали соотношение крупы и воды, из-за чего каша постоянно «лезла» из кастрюли. Также они не рассчитали количество масла для жарки рыбы, вылив в сковороду целую бутылку. Их ошибка заключалась в отсутствии исходных данных (рецепта) и неумении оценивать объёмы и пропорции.
• В стихотворении «Жадный Вартан» герой допустил логическую и математическую ошибку, вызванную жадностью.
  Вартан не понял, что количество материала (одна овечья шкура) — это постоянная величина. Он ошибочно полагал, что из одного и того же куска меха можно сшить всё больше и больше шапок, не теряя в их качестве и размере. Его ошибка в расчёте состояла в игнорировании обратной пропорциональности: чем больше изделий делается из фиксированного количества материала, тем меньше размер каждого изделия. Жадность помешала ему сделать правильный практический расчёт и привела к тому, что он получил множество бесполезных крошечных шапок.

Ответ: Герои «Мишкиной каши» ошиблись в расчёте пропорций ингредиентов. Жадный Вартан ошибся, не поняв, что из ограниченного количества материала нельзя сделать много больших вещей.

Над проектом «Задачи-расчёты»

В качестве примера разберём тему проекта: «Расчёт количества и стоимости обоев для оклейки одной комнаты».

1. Цель проекта: Рассчитать, сколько рулонов обоев и сколько денег потребуется для ремонта одной комнаты.

2. Сбор недостающих данных: Чтобы выполнить расчёт, нужно измерить или узнать:

• Размеры комнаты: длину, ширину и высоту стен.
• Размеры окон и дверей, которые не будут оклеиваться обоями.
• Размеры рулона обоев: его ширину и длину (обычно указаны на этикетке).
• Цену одного рулона выбранных обоев.
• Размер раппорта (повторяющегося узора) на обоях, если он есть. Это важно, так как на подгонку узора уходит дополнительный материал.
• Стоимость сопутствующих материалов: клея, грунтовки, кистей.

3. План расчётов:

1. Вычислить периметр комнаты по формуле: $P = (Длина + Ширина) \times 2$.
2. Рассчитать, сколько целых полотен обоев нужно, чтобы оклеить комнату по периметру. Для этого периметр комнаты делят на ширину рулона обоев: $N_{полотен} = P / Ширина_{рулона}$. Результат округляют в большую сторону.
3. Рассчитать, сколько таких полотен можно нарезать из одного рулона. Для этого длину рулона делят на высоту стены (с учётом запаса на подрезку и подгонку узора): $k = Длина_{рулона} / (Высота_{стены} + Раппорт)$. Результат округляют в меньшую сторону.
4. Найти общее количество рулонов. Для этого общее число полотен делят на количество полотен из одного рулона: $N_{рулонов} = N_{полотен} / k$. Результат округляют в большую сторону. Обычно добавляют ещё один рулон про запас.
5. Из общего количества полотен можно вычесть те, что приходятся на окна и двери, но для простоты и надёжности (на случай ошибки) часто ??? площадь не вычитают.
6. Рассчитать общую стоимость обоев: $Стоимость = N_{рулонов} \times Цена_{рулона}$.
7. Прибавить к стоимости обоев стоимость клея и других материалов.

Ответ: Для расчёта стоимости оклейки комнаты обоями нужно измерить комнату, узнать характеристики и цену обоев, а затем пошагово рассчитать количество необходимых рулонов и их общую стоимость.