Номер 12, страница 82, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Часть 1. Урок 25. Многозначные числа - номер 12, страница 82.

Условие 2024.

12* Расположи 2 элемента в множествах $A$, $B$ и $C$ так, чтобы каждое из них содержало соответственно:

а) по 2 элемента;

$A$ $B$

$C$

б) 2, 2 и 1 элемент;

$A$ $B$

$C$

в) 2, 1 и 1 элемент;

$A$ $B$

$C$

г) 2, 1 и 0 элементов;

$A$ $B$

$C$

д) 2, 2 и 0 элементов;

$A$ $B$

$C$

е) по 1 элементу.

$A$ $B$

$C$

Решение 2 (2024).

а) по 2 элемента

Чтобы в каждом из множеств A, B и C было по 2 элемента, необходимо оба элемента разместить в области, которая является общей для всех трёх множеств. Эта область — пересечение множеств A, B и C, обозначаемое как $A \cap B \cap C$.

Проверим: если 2 элемента находятся в $A \cap B \cap C$, то:

• Мощность множества A: $|A| = 2$ (оба элемента принадлежат A).
• Мощность множества B: $|B| = 2$ (оба элемента принадлежат B).
• Мощность множества C: $|C| = 2$ (оба элемента принадлежат C).

Все условия выполнены.

Ответ: Оба элемента нужно расположить в области пересечения всех трёх множеств ($A \cap B \cap C$).

б) 2, 2 и 1 элемент

Требуется, чтобы в множестве A было 2 элемента ($|A|=2$), в B — 2 элемента ($|B|=2$), а в C — 1 элемент ($|C|=1$).

Так как $|A|=2$ и $|B|=2$, оба элемента должны находиться в пересечении множеств A и B ($A \cap B$). Область $A \cap B$ состоит из двух частей: области пересечения только A и B ($A \cap B \cap C'$) и области пересечения всех трёх множеств ($A \cap B \cap C$).

Поскольку $|C|=1$, только один из двух элементов должен находиться в множестве C. Для этого разместим один элемент в $A \cap B \cap C$ (эта область принадлежит C), а другой — в $A \cap B \cap C'$ (эта область не принадлежит C).

Проверим:

• $|A|$ = 1 (из $A \cap B \cap C'$) + 1 (из $A \cap B \cap C$) = 2.
• $|B|$ = 1 (из $A \cap B \cap C'$) + 1 (из $A \cap B \cap C$) = 2.
• $|C|$ = 1 (из $A \cap B \cap C$) = 1.

Все условия выполнены.

Ответ: Один элемент нужно расположить в области пересечения только множеств A и B, а второй — в области пересечения всех трёх множеств.

в) 2, 1 и 1 элемент

Требуется, чтобы $|A|=2$, $|B|=1$, $|C|=1$.

Поскольку $|A|=2$, оба элемента должны находиться внутри множества A. Так как $|B|=1$ и $|C|=1$, один из элементов должен принадлежать B, а другой — C. При этом они должны быть разными, иначе, если бы один элемент принадлежал A, B и C, то второй элемент, чтобы $|A|=2$, не мог бы принадлежать ни B, ни C, что привело бы к $|B|=1, |C|=1$.

Разместим один элемент в области пересечения только A и B ($A \cap B \cap C'$), а второй — в области пересечения только A и C ($A \cap C \cap B'$).

Проверим:

• $|A|$ = 1 (из $A \cap B \cap C'$) + 1 (из $A \cap C \cap B'$) = 2.
• $|B|$ = 1 (только элемент из $A \cap B \cap C'$) = 1.
• $|C|$ = 1 (только элемент из $A \cap C \cap B'$) = 1.

Все условия выполнены.

Ответ: Один элемент нужно расположить в области пересечения только множеств A и B, а второй — в области пересечения только множеств A и C.

г) 2, 1 и 0 элементов

Требуется, чтобы $|A|=2$, $|B|=1$, $|C|=0$.

Условие $|C|=0$ означает, что ни один из элементов не находится в множестве C. Условие $|A|=2$ означает, что оба элемента находятся в A. Условие $|B|=1$ означает, что только один из двух элементов находится в B.

Таким образом, оба элемента находятся в A и вне C. Один из них также находится в B, а другой нет. Разместим один элемент в области, принадлежащей только A ($A \cap B' \cap C'$), а второй — в области пересечения только A и B ($A \cap B \cap C'$).

Проверим:

• $|A|$ = 1 (из $A \cap B' \cap C'$) + 1 (из $A \cap B \cap C'$) = 2.
• $|B|$ = 1 (только элемент из $A \cap B \cap C'$) = 1.
• $|C|$ = 0 (ни один из элементов не в C) = 0.

Все условия выполнены.

Ответ: Один элемент нужно расположить в области, принадлежащей только множеству A, а второй — в области пересечения только множеств A и B.

д) 2, 2 и 0 элементов

Требуется, чтобы $|A|=2$, $|B|=2$, $|C|=0$.

Условие $|C|=0$ означает, что ни один элемент не может находиться в C. Условия $|A|=2$ и $|B|=2$ означают, что оба элемента должны принадлежать как A, так и B.

Следовательно, оба элемента нужно разместить в области, которая является пересечением A и B, но не C. Это область $A \cap B \cap C'$.

Проверим:

• $|A| = 2$ (оба элемента в $A \cap B \cap C'$).
• $|B| = 2$ (оба элемента в $A \cap B \cap C'$).
• $|C| = 0$ (нет элементов в C).

Все условия выполнены.

Ответ: Оба элемента нужно расположить в области пересечения только множеств A и B.

е) по 1 элементу

Требуется, чтобы $|A|=1$, $|B|=1$, $|C|=1$.

Так как у нас всего 2 элемента, а сумма мощностей $1+1+1=3$, это означает, что один из элементов должен принадлежать как минимум двум множествам одновременно, чтобы "сэкономить" один элемент.

Рассмотрим вариант: разместим один элемент в области пересечения только множеств A и B ($A \cap B \cap C'$). Тогда $|A|$ уже равно 1 и $|B|$ равно 1. Второй элемент не может находиться ни в A, ни в B. Чтобы $|C|=1$, второй элемент нужно поместить в область, принадлежащую только C ($C \cap A' \cap B'$).

Проверим:

• $|A|$: содержит один элемент из области $A \cap B \cap C'$. Итого 1.
• $|B|$: содержит один элемент из области $A \cap B \cap C'$. Итого 1.
• $|C|$: содержит один элемент из области $C \cap A' \cap B'$. Итого 1.

Все условия выполнены.

Ответ: Один элемент нужно расположить в области пересечения только множеств A и B, а второй — в области, принадлежащей только множеству C.

Условие 2020-2022.

12* Расположи 2 элемента в множествах A, B и C так, чтобы каждое из них содержало соответственно:

а) по 2 элемента;

A B

C

б) 2, 2 и 1 элемент;

A B

C

в) 2, 1 и 1 элемент;

A B

C

г) 2, 1 и 0 элементов;

A B

C

д) 2, 2 и 0 элементов;

A B

C

е) по 1 элементу.

A B

C

Решение 2020-2022.