Номер 89, страница 79, часть 3 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Задачи на повторение. Часть 3 - номер 89, страница 79.

Условие 2024.

89* Легенда о шахматной игре

Игра в шахматы была придумана в Индии, и, когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён остроумием её создателя и разнообразием возможных в ней комбинаций.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно наградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, — сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание, — продолжал царь. — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

Сета молчал.

— Не робей, — ободрил его царь. — Выскажи своё желание, я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

Когда Сета объявил наконец своё желание, он удивил царя примерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель, — сказал Сета, — прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку — два зерна, за третью — 4 зерна, за четвёртую — 8 зёрен, за пятую — 16...

— Довольно, — с раздражением прервал его царь, — ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. Вечером, отходя ко сну, царь осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул дворец?

— Повелитель, — ответили ему, — математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.

— Почему медлят с этим делом? — гневно воскликнул царь. — Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром старшина придворных математиков доложил царю результаты подсчёта.

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, прикажи растопить льды и снега, превратить царства в пахотные поля, прикажи растопить льды и снега, осушить моря и океаны и всё пространство их сплошь засеять пшеницей. И всё, что родится, отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число! — воскликнул он.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьсот три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот шестьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, — неизвестно, но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом ты сам можешь убедиться терпеливым подсчётом. Для этого нужно сложить числа 1, 4, 8 и т. д., или, что то же, результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64 клетку доски.

Есть одно замечательное свойство чисел, которое позволяет облегчить вычисления: искомая сумма равна произведению 64 двоек, уменьшенному на 1. Образовав из множителей 6 групп по 10 двоек в каждой и одну группу из 4 двоек, получим, что искомое число равно

$1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 16 - 1$

Попробуй подсчитать!

Решение 2 (2024).

Согласно легенде, изобретатель шахмат Сета попросил у царя в награду пшеничные зёрна. За первую клетку шахматной доски — одно зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен для каждой следующей клетки. Задача состоит в том, чтобы подсчитать общее количество зёрен, которое должен был получить Сета за все 64 клетки доски.

Количество зёрен на каждой клетке представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = 2$. Количество зёрен на $n$-ой клетке равно $2^{n-1}$. Общее число зёрен $S$ — это сумма первых 64 членов этой прогрессии:

$S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{63}$

Для нахождения суммы используется формула суммы членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$. В нашем случае $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 64$.

$S = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1$

Теперь необходимо вычислить это значение.

Назови же мне это чудовищное число!

Чтобы вычислить $2^{64}$, воспользуемся подсказкой из текста и сгруппируем множители. Зная, что $2^{10} = 1024$ и $2^4 = 16$, мы можем представить $2^{64}$ как $2^{10 \cdot 6 + 4} = (2^{10})^6 \cdot 2^4 = 1024^6 \cdot 16$.

Произведём вычисления пошагово:

$1024^2 = 1024 \cdot 1024 = 1\ 048\ 576$

$1024^4 = (1024^2)^2 = 1\ 048\ 576^2 = 1\ 099\ 511\ 627\ 776$

$1024^6 = 1024^4 \cdot 1024^2 = 1\ 099\ 511\ 627\ 776 \cdot 1\ 048\ 576 = 1\ 152\ 921\ 504\ 606\ 846\ 976$

Теперь умножим результат на $16$:

$2^{64} = 1\ 152\ 921\ 504\ 606\ 846\ 976 \cdot 16 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 616$

Наконец, вычтем единицу, чтобы найти итоговую сумму зёрен:

$S = 2^{64} - 1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 616 - 1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615$

Это число полностью совпадает с тем, что названо в тексте: восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Ответ: $18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615$.

Условие 2020-2022.

89* Легенда о шахматной игре

Игра в шахматы была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён остроумием её создателя и разнообразием возможных в ней комбинаций.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно наградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, — сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание, — продолжал царь. — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

Сета молчал.

— Не робей, — ободрил его царь. — Выскажи своё желание, я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

Когда Сета объявил наконец своё желание, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель, — сказал Сета, — прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку — два зерна, за третью — 4 зерна, за четвёртую — 8 зёрен, за пятую — 16...

— Довольно, — с раздражением прервал его царь, — ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. Вечером, отходя ко сну, царь осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул дворец.

— Повелитель, — ответили ему, — математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.

— Почему медлят с этим делом? — гневно воскликнул царь. — Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром старшина придворных математиков доложил царю результаты подсчёта.

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, прикажи растопить льды и снега, осушить моря и океаны и всё пространство их сплошь засеять пшеницей. И всё, что родится, отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число! — воскликнул он.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, — неизвестно, но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом ты сам можешь убедиться терпеливым подсчётом. Для этого нужно сложить числа $1, 4, 8$ и т. д., результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64 клетки доски.

Есть одно замечательное свойство чисел, которое позволяет облегчить вычисления: искомая сумма равна произведению 64 двоек, уменьшенному на 1. Образовав из множителей 6 групп по 10 двоек в каждой и одну группу из 4 двоек, получим, что искомое число равно:

$1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 16 - 1$

Попробуй подсчитать!

Решение 2020-2022.