Номер 85, страница 78, часть 3 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Часть 3. Задачи на повторение - номер 85, страница 78.

Условие 2024.

85* В коробке красные, синие, жёлтые и зелёные карандаши. Сколько существует различных способов выбора двух карандашей, если цвет карандашей:

а) должен быть различным;

б) может быть одинаковым?

Решение 2 (2024).

В коробке находятся карандаши четырёх различных цветов. Нам необходимо найти количество способов выбрать два карандаша, исходя из двух условий.

а) должен быть различным

В этом случае нам нужно выбрать 2 карандаша разных цветов. Так как порядок выбора карандашей не имеет значения (пара "красный и синий" — это то же самое, что и "синий и красный"), мы решаем задачу на нахождение числа сочетаний. Общее число цветов $n=4$, а количество карандашей, которое нужно выбрать, $k=2$.

Используем формулу для числа сочетаний без повторений:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Таким образом, существует 6 способов выбрать два карандаша разных цветов.

Ответ: 6.

б) может быть одинаковым

В этом случае мы можем выбрать либо два карандаша разных цветов, либо два карандаша одного цвета. Общее количество способов будет равно сумме этих двух вариантов.

1. Количество способов выбрать два карандаша разных цветов мы уже нашли в пункте а). Оно равно 6.

2. Количество способов выбрать два карандаша одного цвета равно количеству доступных цветов. Мы можем выбрать два красных, два синих, два жёлтых или два зелёных. То есть, существует 4 таких способа.

Теперь сложим количество способов для обоих случаев:

$6\ (\text{способы для разных цветов}) + 4\ (\text{способы для одинаковых цветов}) = 10$.

Эту задачу также можно решить с помощью формулы для числа сочетаний с повторениями: $\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k$.

Подставляя $n=4$ и $k=2$, получаем:

$\bar{C}_4^2 = C_{4+2-1}^2 = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 10.

Условие 2020-2022.

85* В коробке красные, синие, жёлтые и зелёные карандаши. Сколько существует различных способов выбора двух карандашей, если цвет карандашей:

а) должен быть различным;

б) может быть одинаковым?

Решение 2020-2022.