Страница 30, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

9 Задумано трёхзначное число, у которого с любым из чисел 257, 659, 289 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

Обозначим искомое трёхзначное число как $XYZ$, где $X$ – цифра в разряде сотен, $Y$ – в разряде десятков, и $Z$ – в разряде единиц.

По условию, число $XYZ$ должно иметь ровно одну общую цифру в том же разряде с каждым из чисел: 257, 659 и 289.

Рассмотрим возможные варианты для каждой цифры искомого числа.

1. Определим цифру в разряде сотен (X).

Цифры сотен в данных числах – это 2 и 6. Проверим каждую из них.

• Предположим, что $X = 2$.
  Тогда у числа $XYZ$ совпадает разряд сотен с числами 257 и 289. По условию, это должно быть единственное совпадение для каждого из этих чисел.
  • Для числа 257: разряд сотен совпадает ($X=2$), значит, другие разряды должны не совпадать: $Y \neq 5$ и $Z \neq 7$.
  • Для числа 289: разряд сотен совпадает ($X=2$), значит, другие разряды должны не совпадать: $Y \neq 8$ и $Z \neq 9$.

  Теперь сравним $XYZ$ (где $X=2$) с числом 659. Разряд сотен не совпадает ($2 \neq 6$), значит, для выполнения условия должен совпадать либо разряд десятков, либо разряд единиц. То есть, $Y=5$ или $Z=9$.
  Возникает противоречие: из сравнения с числами 257 и 289 мы получили, что $Y \neq 5$ и $Z \neq 9$, а из сравнения с 659 следует, что одно из этих равенств должно быть верным. Следовательно, наше предположение неверно, и $X \neq 2$.

• Предположим, что $X = 6$.
  Проверим это предположение.
  • Сравним с числом 659. Разряд сотен совпадает ($X=6$). Значит, это и есть единственное совпадение. Поэтому разряды десятков и единиц должны отличаться: $Y \neq 5$ и $Z \neq 9$.
  • Сравним с числом 257. Разряд сотен не совпадает ($6 \neq 2$). Значит, должен совпадать либо разряд десятков, либо разряд единиц. То есть $Y=5$ или $Z=7$. Так как мы уже установили, что $Y \neq 5$, остаётся единственный вариант: $Z=7$.
  • Сравним с числом 289. Разряд сотен не совпадает ($6 \neq 2$). Значит, должен совпадать либо разряд десятков, либо разряд единиц. То есть $Y=8$ или $Z=9$. Так как мы уже установили, что $Z \neq 9$, остаётся единственный вариант: $Y=8$.

Таким образом, мы однозначно определили все цифры искомого числа: $X=6, Y=8, Z=7$. Задуманное число – 687.

2. Проверка.

Проверим, удовлетворяет ли число 687 условиям задачи.

• Сравнение с 257: 687 и 257. Совпадает только одна цифра в разряде единиц (7). Два других разряда не совпадают. Условие выполнено.
• Сравнение с 659: 687 и 659. Совпадает только одна цифра в разряде сотен (6). Два других разряда не совпадают. Условие выполнено.
• Сравнение с 289: 687 и 289. Совпадает только одна цифра в разряде десятков (8). Два других разряда не совпадают. Условие выполнено.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 687.

1 (Устно.) Вычисли удобным способом.

$49 + (51 + 75)$

$(167 + 84) - 67$

$15 \cdot 6 - 12 \cdot 6$

$36 \cdot 4 + 14 \cdot 4$

$480 : 3 + 120 : 3$

$720 : 6 - 420 : 6$

49 + (51 + 75)

Чтобы вычислить удобным способом, воспользуемся сочетательным свойством сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в сумме получилось круглое число:

$49 + (51 + 75) = (49 + 51) + 75 = 100 + 75 = 175$

Ответ: 175

(167 + 84) - 67

Чтобы вычислить удобным способом, воспользуемся свойством вычитания числа из суммы. Удобнее сначала вычесть 67 из 167:

$(167 + 84) - 67 = (167 - 67) + 84 = 100 + 84 = 184$

Ответ: 184

15 ⋅ 6 - 12 ⋅ 6

Чтобы вычислить удобным способом, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания. Вынесем общий множитель 6 за скобки:

$15 \cdot 6 - 12 \cdot 6 = (15 - 12) \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18$

Ответ: 18

36 ⋅ 4 + 14 ⋅ 4

Чтобы вычислить удобным способом, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$36 \cdot 4 + 14 \cdot 4 = (36 + 14) \cdot 4 = 50 \cdot 4 = 200$

Ответ: 200

480 : 3 + 120 : 3

Чтобы вычислить удобным способом, воспользуемся правилом деления суммы на число. Сначала сложим делимые, а затем разделим полученную сумму на делитель:

$480 : 3 + 120 : 3 = (480 + 120) : 3 = 600 : 3 = 200$

Ответ: 200

720 : 6 - 420 : 6

Чтобы вычислить удобным способом, воспользуемся правилом деления разности на число. Сначала найдем разность делимых, а затем разделим ее на делитель:

$720 : 6 - 420 : 6 = (720 - 420) : 6 = 300 : 6 = 50$

Ответ: 50

2 Из двух городов навстречу друг другу выехали два автомобиля. Когда один из них проехал 96 км, а другой — на 47 км больше, между ними оставалось ещё 58 км. На каком расстоянии один от другого находятся города, из которых выехали эти автомобили?

96 км

58 км

На 47 км больше

?

1. Найдем расстояние, которое проехал второй автомобиль.
По условию, он проехал на 47 км больше, чем первый, который проехал 96 км. Для этого сложим эти два значения:
$96 + 47 = 143$ (км) — расстояние, которое проехал второй автомобиль.

2. Найдем расстояние между городами.
Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных обоими автомобилями, и оставшегося между ними расстояния. Для этого сложим все три части пути:
$96 + 143 + 58 = 297$ (км).

Ответ: 297 км.

3 На отдельном листе бумаги начерти квадрат, длина стороны которого равна 15 см. Вырежи его и перегни дважды по линиям диагоналей. Разверни квадрат и разрежь его по линиям сгиба на 4 части, как показано на рисунке. Какими получились эти части: равными или неравными? Объясни.

Диагонали квадрата делят его на 4 равных треугольника.

1 Вычисли:

а) $\frac{1}{3}$ от 252;

б) $\frac{13}{27}$ от 540;

в) $\frac{3}{8}$ от 736.

а) Чтобы найти $\frac{1}{3}$ от числа 252, нужно умножить число на эту дробь. Это то же самое, что разделить число 252 на знаменатель 3.

$\frac{1}{3} \times 252 = \frac{252}{3} = 84$

Ответ: 84

б) Чтобы найти $\frac{13}{27}$ от числа 540, нужно умножить 540 на дробь $\frac{13}{27}$. Для удобства вычислений сначала разделим 540 на 27, а затем результат умножим на 13.

$\frac{13}{27} \times 540 = 13 \times \frac{540}{27}$

Так как $540 \div 27 = 20$, то:

$13 \times 20 = 260$

Ответ: 260

в) Чтобы найти $\frac{3}{8}$ от числа 736, нужно умножить 736 на дробь $\frac{3}{8}$. Сначала разделим 736 на 8, а затем результат умножим на 3.

$\frac{3}{8} \times 736 = 3 \times \frac{736}{8}$

Вычислим частное: $736 \div 8 = 92$.

Теперь выполним умножение:

$3 \times 92 = 276$

Ответ: 276

2 Сколько копеек в $\frac{1}{5}$ р.? в $\frac{3}{4}$ р.? в $\frac{9}{10}$ р.? в $\frac{7}{25}$ р.? в $\frac{27}{50}$ р.?

1 р. = 100 к.

100 : 5 = 20

$\frac{1}{5}$ р. = 20 к.

В одном рубле 100 копеек. Чтобы найти, сколько копеек составляет дробная часть рубля, нужно 100 умножить на эту дробь. Для этого мы разделим 100 на знаменатель дроби и умножим результат на ее числитель.

в $\frac{1}{5}$ р.?
$100 \div 5 \times 1 = 20 \times 1 = 20$ копеек.
Ответ: 20 к.

в $\frac{3}{4}$ р.?
$100 \div 4 \times 3 = 25 \times 3 = 75$ копеек.
Ответ: 75 к.

в $\frac{9}{10}$ р.?
$100 \div 10 \times 9 = 10 \times 9 = 90$ копеек.
Ответ: 90 к.

в $\frac{7}{25}$ р.?
$100 \div 25 \times 7 = 4 \times 7 = 28$ копеек.
Ответ: 28 к.

в $\frac{27}{50}$ р.?
$100 \div 50 \times 27 = 2 \times 27 = 54$ копейки.
Ответ: 54 к.

3 Детёныш кита при рождении имеет длину, равную $\frac{1}{4}$ длины тела матери, что составляет 20 м. Сколько метров составляет длина тела детёныша кита?

В этой задаче нужно найти часть от целого числа. Целым является длина тела матери кита, а искомая часть — это длина тела детёныша.

Из условия мы знаем:

• Длина тела матери кита — 20 м.
• Длина тела детёныша составляет $\frac{1}{4}$ от длины тела матери.

Чтобы найти длину тела детёныша, необходимо длину тела матери (20 м) разделить на 4.

Выполним вычисление:

$20 \div 4 = 5$ (м)

Следовательно, длина тела детёныша кита составляет 5 метров.

Ответ: 5 метров.

4 Увеличь:

а) 5 901 в 10 раз;

б) 700 в 100 раз;

в) 120 в 1 000 раз;

г) 8 в 100 000 раз.

а) Чтобы увеличить число 5 901 в 10 раз, нужно умножить это число на 10. При умножении целого числа на 10 к нему справа дописывается один ноль.
$5901 \cdot 10 = 59010$
Ответ: 59010.

б) Чтобы увеличить число 700 в 100 раз, его необходимо умножить на 100. Это означает, что к числу 700 нужно дописать справа два ноля.
$700 \cdot 100 = 70000$
Ответ: 70000.

в) Чтобы увеличить число 120 в 1 000 раз, следует умножить 120 на 1 000. Для этого к числу 120 справа приписываем три ноля.
$120 \cdot 1000 = 120000$
Ответ: 120000.

г) Чтобы увеличить число 8 в 100 000 раз, нужно выполнить умножение 8 на 100 000. К числу 8 необходимо дописать справа пять нолей.
$8 \cdot 100000 = 800000$
Ответ: 800000.

5 Уменьши:

а) 550 000 в 10 раз;

б) 550 000 в 100 раз;

в) 550 000 в 1 000 раз;

г) 550 000 в 10 000 раз.

а) Чтобы уменьшить число 550 000 в 10 раз, необходимо разделить его на 10. При делении числа, оканчивающегося на нули, на 10, можно просто убрать один ноль в конце.

$550 \thinspace 000 \div 10 = 55 \thinspace 000$

Ответ: 55 000

б) Чтобы уменьшить число 550 000 в 100 раз, нужно разделить его на 100. Это равносильно удалению двух нулей в конце числа.

$550 \thinspace 000 \div 100 = 5 \thinspace 500$

Ответ: 5 500

в) Чтобы уменьшить число 550 000 в 1 000 раз, необходимо выполнить деление на 1 000. Для этого убираем три нуля в конце числа.

$550 \thinspace 000 \div 1 \thinspace 000 = 550$

Ответ: 550

г) Чтобы уменьшить число 550 000 в 10 000 раз, делим его на 10 000. Это означает, что нужно убрать четыре нуля в конце числа.

$550 \thinspace 000 \div 10 \thinspace 000 = 55$

Ответ: 55

6 Верёвку длиной 3 м разрезали на 8 равных частей. Какой длины получилась каждая часть?

Найди длину $ \frac{5}{8} $ части верёвки.

Чтобы найти длину одной части, нужно общую длину верёвки разделить на количество равных частей. Длина верёвки составляет 3 метра, и её разделили на 8 частей.
Выполним деление: $3 \div 8 = \frac{3}{8}$ м.
Таким образом, длина каждой части составляет $\frac{3}{8}$ метра. Для удобства можно перевести это значение в сантиметры. Так как в 1 метре 100 сантиметров, то в 3 метрах — 300 сантиметров.
$300 \text{ см} \div 8 = 37,5 \text{ см}$.
Ответ: Длина каждой части равна $\frac{3}{8}$ м или 37,5 см.

Найди длину $\frac{5}{8}$ части верёвки.
Чтобы найти длину $\frac{5}{8}$ части верёвки, можно длину одной части ($\frac{1}{8}$ верёвки) умножить на 5. Мы уже знаем, что длина одной части равна $\frac{3}{8}$ м.
$\frac{3}{8} \text{ м} \times 5 = \frac{15}{8} \text{ м}$.
Другой способ — найти дробь от числа. Для этого нужно общую длину верёвки (3 м) умножить на дробь $\frac{5}{8}$:
$3 \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8} \text{ м}$.
Результат можно представить в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ м.
Также можно представить результат в виде десятичной дроби: $15 \div 8 = 1,875$ м.
Ответ: Длина $\frac{5}{8}$ части верёвки составляет $\frac{15}{8}$ м (или $1\frac{7}{8}$ м, или 1,875 м).

7 От дома до школы 560 м. Саша прошёл $\frac{2}{5}$ этого пути. Сколько метров прошёл Саша?

Для того чтобы узнать, какое расстояние прошёл Саша, нам нужно найти часть от целого. Весь путь от дома до школы составляет 560 метров, и это наше целое. Саша прошёл $\frac{2}{5}$ этого пути. Чтобы найти, сколько это составляет в метрах, нужно умножить общее расстояние на эту дробь.

Это можно сделать двумя способами:

1. По действиям

Сначала найдём, сколько метров составляет одна пятая часть ($\frac{1}{5}$) всего пути. Для этого разделим общее расстояние на знаменатель дроби (5):

$560 \div 5 = 112$ (м) – это $\frac{1}{5}$ всего пути.

Саша прошёл две таких части ($\frac{2}{5}$). Теперь умножим длину одной части на числитель дроби (2):

$112 \times 2 = 224$ (м).

2. Умножением на дробь

Можно сразу умножить всё расстояние на дробь $\frac{2}{5}$:

$560 \times \frac{2}{5} = \frac{560 \times 2}{5} = \frac{1120}{5} = 224$ (м).

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Саша прошёл 224 метра.