Страница 26, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Начерти в тетради прямоугольник ABCD, длина которого равна 4 см, а ширина — 3 см.

1) Проведи все диагонали в этом прямоугольнике и сравни их длины. Сделай вывод.

2) Обозначь точку пересечения диагоналей буквой О. Эта точка делит каждую диагональ на 2 отрезка. Что ты думаешь об их длинах? Проверь свою догадку измерением.

1) В прямоугольнике ABCD можно провести две диагонали: AC и BD. Чтобы сравнить их длины, можно измерить их линейкой или вычислить с помощью теоремы Пифагора. Диагональ, вместе с двумя сторонами прямоугольника, образует прямоугольный треугольник.
Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, с катетами AB = 4 см и BC = 3 см. Диагональ AC является его гипотенузой. Ее длина вычисляется по формуле: $d^2 = a^2 + b^2$.
$AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
Аналогично, длина диагонали BD равна:
$BD = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ см.
При измерении линейкой мы получим тот же результат. Сравнивая длины, видим, что они равны.
Вывод: диагонали прямоугольника равны по длине.
Ответ: Длины диагоналей равны 5 см, они равны между собой.

2) Точка пересечения диагоналей O делит диагональ AC на два отрезка (AO и OC) и диагональ BD на два отрезка (BO и OD).
Можно предположить, что точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. То есть, $AO = OC$ и $BO = OD$.
Проверим эту догадку измерением или расчетом. Диагонали любого прямоугольника (как и любого параллелограмма) в точке пересечения делятся пополам. Мы уже знаем, что длина каждой диагонали равна 5 см.
Найдем длины отрезков:
$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2.5$ см.
$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2.5$ см.
Таким образом, все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой.
Ответ: Точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. Длина каждого из этих отрезков (AO, OC, BO, OD) равна 2.5 см.

1 Увеличь:

a) 2845 в 10 раз;

б) 500 в 100 раз;

в) 308 в 1000 раз;

г) 2 в 100000 раз.

а) Чтобы увеличить число 2 845 в 10 раз, нужно умножить это число на 10. Умножение целого числа на 10 равносильно приписыванию к нему одного нуля справа.

$2845 \times 10 = 28450$

Ответ: 28 450.

б) Чтобы увеличить число 500 в 100 раз, нужно умножить это число на 100. При умножении на 100 к числу справа приписываются два нуля.

$500 \times 100 = 50000$

Ответ: 50 000.

в) Чтобы увеличить число 308 в 1 000 раз, нужно умножить это число на 1 000. При умножении на 1 000 к числу справа приписываются три нуля.

$308 \times 1000 = 308000$

Ответ: 308 000.

г) Чтобы увеличить число 2 в 100 000 раз, нужно умножить это число на 100 000. При умножении на 100 000 к числу справа приписываются пять нулей.

$2 \times 100000 = 200000$

Ответ: 200 000.

2 Уменьши:

а) 620 000 в 10 раз;

б) 620 000 в 100 раз;

в) 620 000 в 1 000 раз;

г) 620 000 в 10 000 раз.

а) Чтобы уменьшить число 620 000 в 10 раз, нужно выполнить деление этого числа на 10. Деление круглого числа на 10 равносильно отбрасыванию одного нуля в конце числа.

$620 000 : 10 = 62 000$

Ответ: 62 000

б) Чтобы уменьшить число 620 000 в 100 раз, нужно разделить его на 100. Это можно сделать, убрав два нуля в конце исходного числа.

$620 000 : 100 = 6 200$

Ответ: 6 200

в) Чтобы уменьшить число 620 000 в 1 000 раз, необходимо разделить его на 1 000. Для этого уберем три нуля в конце числа 620 000.

$620 000 : 1 000 = 620$

Ответ: 620

г) Чтобы уменьшить число 620 000 в 10 000 раз, выполним деление на 10 000. Это равносильно отбрасыванию четырех нулей в конце числа.

$620 000 : 10 000 = 62$

Ответ: 62

3 Вычисли значения выражений.

$4507 \cdot 10$

$348 \cdot 100$

$5080 \cdot 100 : 1000$

$11000 : (100 \cdot 10)$

$8340 : 10$

$79 \cdot 1000$

$10 \cdot 25000 : 1000$

$800 : (40000 : 100)$

4 507 · 10
Чтобы умножить число на 10, нужно приписать к этому числу справа один ноль.
$4507 \cdot 10 = 45070$
Ответ: 45 070.

348 · 100
Чтобы умножить число на 100, нужно приписать к этому числу справа два ноля.
$348 \cdot 100 = 34800$
Ответ: 34 800.

5 080 · 100 : 1 000
Действия выполняются по порядку слева направо.
1) $5080 \cdot 100 = 508000$
2) $508000 : 1000 = 508$
Ответ: 508.

11 000 : (100 · 10)
Сначала выполняется действие в скобках.
1) $100 \cdot 10 = 1000$
Затем выполняется деление.
2) $11000 : 1000 = 11$
Ответ: 11.

8 340 : 10
Чтобы разделить число, оканчивающееся на ноль, на 10, нужно убрать у него справа один ноль.
$8340 : 10 = 834$
Ответ: 834.

79 · 1 000
Чтобы умножить число на 1 000, нужно приписать к этому числу справа три ноля.
$79 \cdot 1000 = 79000$
Ответ: 79 000.

10 · 25 000 : 1 000
Действия выполняются по порядку слева направо.
1) $10 \cdot 25000 = 250000$
2) $250000 : 1000 = 250$
Ответ: 250.

800 : (40 000 : 100)
Сначала выполняется действие в скобках.
1) $40000 : 100 = 400$
Затем выполняется деление.
2) $800 : 400 = 2$
Ответ: 2.

4 В одном из тиражей лотереи было 100 выигрышей по 2 000 р., 1 000 выигрышей по 500 р. и 10 000 выигрышей по 30 р. Сколько всего было выигрышей и на какую сумму?

Сколько всего было выигрышей

Чтобы найти общее количество выигрышей, необходимо сложить количество выигрышей каждого номинала. Согласно условию, было 100 выигрышей по 2 000 р., 1 000 выигрышей по 500 р. и 10 000 выигрышей по 30 р.

Сложим эти значения:

$100 + 1000 + 10000 = 11100$

Ответ: всего было 11 100 выигрышей.

На какую сумму были выигрыши

Чтобы найти общую сумму выигрышей, нужно сначала рассчитать сумму для каждого вида выигрыша, а затем сложить полученные результаты.

1. Сумма выигрышей по 2 000 р.:

$100 \cdot 2000 = 200000$ р.

2. Сумма выигрышей по 500 р.:

$1000 \cdot 500 = 500000$ р.

3. Сумма выигрышей по 30 р.:

$10000 \cdot 30 = 300000$ р.

4. Общая сумма всех выигрышей:

$200000 + 500000 + 300000 = 1000000$ р.

Ответ: общая сумма выигрышей составила 1 000 000 р.

5 Выполни вычисления в каждом столбике. Выясни, как изменяется частное при изменении делимого.

$180 : 10$

$180 \cdot 2 : 10$

$180 : 2 : 10$

$225 : 5$

$225 \cdot 3 : 5$

$225 : 3 : 5$

$4\ 500 : 100$

$4\ 500 \cdot 5 : 100$

$4\ 500 : 5 : 100$

180 : 10

Выполним вычисления для первого столбика:
$180 : 10 = 18$
$(180 \cdot 2) : 10 = 360 : 10 = 36$
$(180 : 2) : 10 = 90 : 10 = 9$
В этом столбце делитель (10) остается неизменным. Во втором примере делимое увеличили в 2 раза (было 180, стало $180 \cdot 2 = 360$), и частное тоже увеличилось в 2 раза (было 18, стало 36). В третьем примере делимое уменьшили в 2 раза (было 180, стало $180 : 2 = 90$), и частное тоже уменьшилось в 2 раза (было 18, стало 9).
Ответ: 18, 36, 9.

225 : 5

Выполним вычисления для второго столбика:
$225 : 5 = 45$
$(225 \cdot 3) : 5 = 675 : 5 = 135$
$(225 : 3) : 5 = 75 : 5 = 15$
В этом столбце делитель (5) не изменяется. Когда делимое увеличивается в 3 раза (с 225 до $225 \cdot 3 = 675$), частное также увеличивается в 3 раза ($45 \cdot 3 = 135$). Когда делимое уменьшается в 3 раза (с 225 до $225 : 3 = 75$), частное также уменьшается в 3 раза ($45 : 3 = 15$).
Ответ: 45, 135, 15.

4 500 : 100

Выполним вычисления для третьего столбика:
$4500 : 100 = 45$
$(4500 \cdot 5) : 100 = 22500 : 100 = 225$
$(4500 : 5) : 100 = 900 : 100 = 9$
Здесь делитель (100) постоянен. При увеличении делимого в 5 раз (с 4500 до $4500 \cdot 5 = 22500$), частное тоже увеличивается в 5 раз ($45 \cdot 5 = 225$). При уменьшении делимого в 5 раз (с 4500 до $4500 : 5 = 900$), частное тоже уменьшается в 5 раз ($45 : 5 = 9$).
Ответ: 45, 225, 9.

Общий вывод: Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, а делитель оставить без изменения, то частное изменится (увеличится или уменьшится) во столько же раз.

6 Длина реки Лены 4 400 км, длина реки Амура на 40 км больше, чем длина реки Лены, длина реки Енисея на 338 км меньше, чем длина реки Амура. Вычисли длины рек Амура и Енисея.

Для решения задачи выполним два действия.

1. Вычисление длины реки Амур

Из условия известно, что длина реки Лены составляет 4 400 км. Длина реки Амур на 40 км больше, чем длина реки Лены. Чтобы найти длину Амура, нужно к длине Лены прибавить 40 км.

$4400 + 40 = 4440$ (км)

Ответ: длина реки Амур составляет 4 440 км.

2. Вычисление длины реки Енисей

В условии также сказано, что длина реки Енисей на 338 км меньше, чем длина реки Амур. Мы уже вычислили, что длина Амура равна 4 440 км. Чтобы найти длину Енисея, необходимо из длины Амура вычесть 338 км.

$4440 - 338 = 4102$ (км)

Ответ: длина реки Енисей составляет 4 102 км.

7 Доску длиной 2 м 34 см распилили поперёк на 6 равных частей. Найди длину одной такой части; двух частей; пяти частей.

Для решения задачи сначала необходимо перевести общую длину доски в одну единицу измерения. Удобнее всего перевести всё в сантиметры.

В одном метре 100 сантиметров, поэтому 2 метра — это $2 \times 100 = 200$ сантиметров.

Общая длина доски в сантиметрах: $2 \text{ м } 34 \text{ см } = 200 \text{ см } + 34 \text{ см } = 234 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти длину одной части, разделив общую длину на количество частей.

$234 \text{ см } \div 6 = 39 \text{ см}$.

Найди длину одной такой части;
Длина одной части составляет 39 см.
Ответ: 39 см.

двух частей;
Чтобы найти длину двух частей, нужно длину одной части умножить на два.
$39 \text{ см } \times 2 = 78 \text{ см}$.
Ответ: 78 см.

пяти частей.
Чтобы найти длину пяти частей, нужно длину одной части умножить на пять.
$39 \text{ см } \times 5 = 195 \text{ см}$.
Эту длину можно также представить в метрах и сантиметрах: $195 \text{ см } = 1 \text{ м } 95 \text{ см}$.
Ответ: 195 см (или 1 м 95 см).

8 Выполни действия.

$(540 \div 60 + 231) \div 15 - 1000 \div 8 \div 25$

$12900 \div 100 - (500 - 350 \div 7 \cdot 9) \div 10$

$(810 \div 3 - 120) \div 6 + 8 \cdot (172 \div 4 - 20)$

$(345720 - 72045 \cdot 4) \div 10 \cdot 3$

$(25812 \cdot 3 - 109 \cdot 4) \div 1000$

(540 : 60 + 231) : 15 - 1000 : 8 : 25

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (деление, затем сложение), после этого — остальные действия деления и вычитания слева направо.
1. Выполним деление в скобках: $540 : 60 = 9$.
2. Выполним сложение в скобках: $9 + 231 = 240$.
3. Теперь выражение выглядит так: $240 : 15 - 1000 : 8 : 25$. Выполним деление слева направо.
4. $240 : 15 = 16$.
5. $1000 : 8 = 125$.
6. $125 : 25 = 5$.
7. Выполним вычитание: $16 - 5 = 11$.
Ответ: 11

12 900 : 100 – (500 – 350 : 7 · 9) : 10

Сначала выполняем действия в скобках (сначала деление и умножение, затем вычитание), а затем остальные действия слева направо.
1. Выполним деление в скобках: $350 : 7 = 50$.
2. Выполним умножение в скобках: $50 · 9 = 450$.
3. Выполним вычитание в скобках: $500 - 450 = 50$.
4. Теперь выражение выглядит так: $12 900 : 100 - 50 : 10$. Выполним деление слева направо.
5. $12 900 : 100 = 129$.
6. $50 : 10 = 5$.
7. Выполним вычитание: $129 - 5 = 124$.
Ответ: 124

(810 : 3 – 120) : 6 + 8 · (172 : 4 – 20)

Сначала выполняем действия в обеих скобках, затем деление и умножение, и в конце — сложение.
1. Выполним действия в первой скобке: $810 : 3 - 120$.
$810 : 3 = 270$.
$270 - 120 = 150$.
2. Выполним действия во второй скобке: $172 : 4 - 20$.
$172 : 4 = 43$.
$43 - 20 = 23$.
3. Теперь выражение выглядит так: $150 : 6 + 8 · 23$. Выполним деление и умножение.
4. $150 : 6 = 25$.
5. $8 · 23 = 184$.
6. Выполним сложение: $25 + 184 = 209$.
Ответ: 209

(345 720 – 72 045 · 4) : 10 · 3

Сначала выполняем действия в скобках (умножение, затем вычитание), затем деление и умножение слева направо.
1. Выполним умножение в скобках: $72 045 · 4 = 288 180$.
2. Выполним вычитание в скобках: $345 720 - 288 180 = 57 540$.
3. Теперь выражение выглядит так: $57 540 : 10 · 3$. Выполним действия по порядку.
4. $57 540 : 10 = 5 754$.
5. $5 754 · 3 = 17 262$.
Ответ: 17 262

(25 812 · 3 – 109 · 4) : 1 000

Сначала выполняем действия в скобках (оба умножения, затем вычитание), и в конце — деление.
1. Выполним первое умножение в скобках: $25 812 · 3 = 77 436$.
2. Выполним второе умножение в скобках: $109 · 4 = 436$.
3. Выполним вычитание в скобках: $77 436 - 436 = 77 000$.
4. Выполним деление: $77 000 : 1 000 = 77$.
Ответ: 77

9 Поезд сначала шёл 2 ч со скоростью 45 км/ч, затем 3 ч со скоростью 48 км/ч и, наконец, ещё 3 ч со скоростью 50 км/ч. Найди расстояние, которое прошёл поезд за всё время.

Чтобы найти общее расстояние, которое прошел поезд, нужно вычислить расстояние для каждого участка пути и сложить полученные результаты. Расстояние находится по формуле: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$).

1. Расстояние, пройденное на первом участке.

Поезд шел 2 часа со скоростью 45 км/ч. Найдем расстояние, которое он прошел за это время:

$S_1 = 45 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 90$ км.

2. Расстояние, пройденное на втором участке.

Затем поезд шел 3 часа со скоростью 48 км/ч. Вычислим это расстояние:

$S_2 = 48 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 144$ км.

3. Расстояние, пройденное на третьем участке.

И, наконец, он шел еще 3 часа со скоростью 50 км/ч. Расстояние на этом участке равно:

$S_3 = 50 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 150$ км.

4. Общее расстояние.

Теперь сложим расстояния всех трех участков, чтобы найти общее расстояние, которое прошел поезд:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 90 \text{ км} + 144 \text{ км} + 150 \text{ км} = 384$ км.

Задачу можно решить и одним выражением:

$45 \cdot 2 + 48 \cdot 3 + 50 \cdot 3 = 90 + 144 + 150 = 384$ км.

Ответ: 384 км.