Страница 33, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Рассмотри выражения в каждой рамке. Объясни порядок выполнения действий, указанный синими цифрами.

2 1 4 3
$100 : (32 - 7) + 88 : 2$

1 4 2 3
$(15 + 9) \cdot (6 \cdot 5 - 28)$

3 5 2 1 6 4
$27 \cdot 3 - (12 + 56 : 4) - 28 : 4$

Выполни вычисления. Сравни значения выражений.

Объяснение порядка выполнения действий и вычисления

В математических выражениях принят следующий порядок выполнения действий:

1. Действия, записанные в скобках.
2. Умножение и деление (в порядке их следования слева направо).
3. Сложение и вычитание (в порядке их следования слева направо).

100 : (32 - 7) + 88 : 2

Порядок действий, указанный синими цифрами, объясняется так:
1. Сначала выполняется действие в скобках: вычитание $32 - 7$.
2. Затем выполняется первое деление слева: $100$ делится на результат, полученный в скобках.
3. Далее выполняется второе деление: $88 : 2$.
4. Последним действием выполняется сложение результатов второго и третьего действий.

Выполним вычисления:
1) $32 - 7 = 25$
2) $100 : 25 = 4$
3) $88 : 2 = 44$
4) $4 + 44 = 48$
Ответ: 48

(15 + 9) ⋅ (6 ⋅ 5 - 28)

Порядок действий, указанный синими цифрами, объясняется так:
1. Сначала выполняется действие в первых скобках: сложение $15 + 9$.
2. Затем начинаем вычислять значение во вторых скобках. Внутри них умножение имеет приоритет, поэтому выполняем $6 ⋅ 5$.
3. Завершаем вычисление во вторых скобках: из результата второго действия вычитаем $28$.
4. Последним действием перемножаем результаты, полученные в первых и вторых скобках.

Выполним вычисления:
1) $15 + 9 = 24$
2) $6 ⋅ 5 = 30$
3) $30 - 28 = 2$
4) $24 ⋅ 2 = 48$
Ответ: 48

27 ⋅ 3 - (12 + 56 : 4) - 28 : 4

Порядок действий, указанный синими цифрами, объясняется так:
1. Сначала вычисляем значение в скобках. Внутри скобок деление имеет приоритет, поэтому выполняем $56 : 4$.
2. Завершаем вычисление в скобках: к $12$ прибавляем результат первого действия.
3. Далее выполняем действия умножения и деления вне скобок в порядке их следования. Первое - умножение $27 ⋅ 3$.
4. Следующее - деление $28 : 4$.
5. и 6. Выполняем действия вычитания в порядке их следования слева направо. Сначала из результата третьего действия вычитаем результат второго.
Затем из полученного значения вычитаем результат четвертого действия.

Выполним вычисления:
1) $56 : 4 = 14$
2) $12 + 14 = 26$
3) $27 ⋅ 3 = 81$
4) $28 : 4 = 7$
5) $81 - 26 = 55$
6) $55 - 7 = 48$
Ответ: 48

Сравнение значений выражений

Значение первого выражения: $100 : (32 - 7) + 88 : 2 = 48$.
Значение второго выражения: $(15 + 9) ⋅ (6 ⋅ 5 - 28) = 48$.
Значение третьего выражения: $27 ⋅ 3 - (12 + 56 : 4) - 28 : 4 = 48$.
Сравнив результаты, видим, что $48 = 48 = 48$.
Ответ: Значения всех трех выражений равны.

2 Укажи порядок выполнения действий и вычисли значения выражений.

$96 : (6 \cdot 2 + 4)$

$96 \cdot 6 \cdot (2 + 4)$

$96 : (6 \cdot 2) + 4$

Сравни выражения и их значения. Сделай вывод.

96 : (6 ⋅ 2 + 4)

3 Садоводам надо было посадить 230 кустов смородины и 150 кустов крыжовника. В первый день они посадили 8 рядов смородины, по 20 кустов в каждом ряду, и 4 ряда крыжовника, по 30 кустов в каждом ряду.

Объясни, что означают выражения.

$230 + 150$

$20 \cdot 8$

$230 - 20 \cdot 8$

$30 \cdot 4$

$150 - 30 \cdot 4$

$20 \cdot 8 + 30 \cdot 4$

$20 \cdot 8 - 30 \cdot 4$

$(230 - 20 \cdot 8) + (150 - 30 \cdot 4)$

$(230 - 20 \cdot 8) - (150 - 30 \cdot 4)$

$230 + 150$ - это выражение показывает, сколько всего кустов (смородины и крыжовника) надо было посадить садоводам.
$230 + 150 = 380$ (кустов).
Ответ: 380.

$20 \cdot 8$ - это выражение показывает, сколько кустов смородины посадили в первый день.
$20 \cdot 8 = 160$ (кустов).
Ответ: 160.

$230 - 20 \cdot 8$ - это выражение показывает, сколько кустов смородины осталось посадить после первого дня.
$230 - 160 = 70$ (кустов).
Ответ: 70.

$30 \cdot 4$ - это выражение показывает, сколько кустов крыжовника посадили в первый день.
$30 \cdot 4 = 120$ (кустов).
Ответ: 120.

$150 - 30 \cdot 4$ - это выражение показывает, сколько кустов крыжовника осталось посадить после первого дня.
$150 - 120 = 30$ (кустов).
Ответ: 30.

$20 \cdot 8 + 30 \cdot 4$ - это выражение показывает, сколько всего кустов (и смородины, и крыжовника) посадили в первый день.
$160 + 120 = 280$ (кустов).
Ответ: 280.

$20 \cdot 8 - 30 \cdot 4$ - это выражение показывает, на сколько больше кустов смородины посадили в первый день, чем кустов крыжовника.
$160 - 120 = 40$ (кустов).
Ответ: 40.

$(230 - 20 \cdot 8) + (150 - 30 \cdot 4)$ - это выражение показывает, сколько всего кустов (и смородины, и крыжовника) осталось посадить после первого дня.
$(230 - 160) + (150 - 120) = 70 + 30 = 100$ (кустов).
Ответ: 100.

$(230 - 20 \cdot 8) - (150 - 30 \cdot 4)$ - это выражение показывает, на сколько больше кустов смородины осталось посадить, чем кустов крыжовника.
$(230 - 160) - (150 - 120) = 70 - 30 = 40$ (кустов).
Ответ: 40.

4 Начерти в тетради отрезки AC и BD, как показано на рисунке. Восстанови четырёхугольник ABCD по его диагоналям AC и BD. Выполни измерения и вычисли периметр этого четырёхугольника в сантиметрах. Что можно сказать о длинах сторон этого четырёхугольника? Является ли он квадратом? Почему? Можно ли изменить чертёж, чтобы четырёхугольник ABCD стал квадратом? Объясни свой ответ.

Выполни измерения и вычисли периметр этого четырёхугольника в сантиметрах.

1. Восстановим четырёхугольник, соединив последовательно точки A, B, C и D. Получим четырёхугольник ABCD.

2. Примем, что одна клетка на чертеже равна 0,5 см. Тогда 2 клетки равны 1 см.

3. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Измерим длины отрезков диагоналей по клеткам и переведём в сантиметры:
- Отрезок OA равен 4 клеткам, что составляет $4 \times 0.5 = 2$ см.
- Отрезок OC равен 4 клеткам, что составляет $4 \times 0.5 = 2$ см.
- Отрезок OB равен 5 клеткам, что составляет $5 \times 0.5 = 2.5$ см.
- Отрезок OD равен 3 клеткам, что составляет $3 \times 0.5 = 1.5$ см.

4. Диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ являются прямоугольными. Мы можем найти длины сторон четырёхугольника, используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$).

- Для сторон AB и BC (из $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$):
$AB = BC = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2.5^2} = \sqrt{4 + 6.25} = \sqrt{10.25} \approx 3.2$ см.

- Для сторон CD и DA (из $\triangle COD$ и $\triangle DOA$):
$CD = DA = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

5. Вычислим периметр P как сумму длин всех сторон:
$P = AB + BC + CD + DA \approx 3.2 + 3.2 + 2.5 + 2.5 = 6.4 + 5 = 11.4$ см.

Ответ: Длины сторон: $AB = BC \approx 3.2$ см, $CD = DA = 2.5$ см. Периметр четырёхугольника ABCD примерно равен 11,4 см.

Что можно сказать о длинах сторон этого четырёхугольника?

У данного четырёхугольника смежные стороны попарно равны: сторона AB равна стороне BC, а сторона CD равна стороне DA.

Ответ: Смежные стороны четырёхугольника попарно равны ($AB = BC$ и $CD = DA$). Такой четырёхугольник называется дельтоидом.

Является ли он квадратом? Почему?

Нет, данный четырёхугольник не является квадратом. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо выполнение нескольких условий, которые здесь нарушены:

1. У квадрата все стороны должны быть равны. В нашем случае стороны не равны ($AB \approx 3.2$ см, а $CD = 2.5$ см).

2. У квадрата диагонали должны в точке пересечения делиться пополам. В нашем случае диагональ AC делится пополам ($OA=OC$), а диагональ BD — нет ($OB \neq OD$).

Ответ: Нет, не является, потому что не все его стороны равны, а также его диагонали не делят друг друга пополам.

Можно ли изменить чертёж, чтобы четырёхугольник ABCD стал квадратом? Объясни свой ответ.

Да, можно. Квадрат — это четырёхугольник, у которого диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

На исходном чертеже диагонали уже взаимно перпендикулярны. Также они равны по длине: $AC = 4 + 4 = 8$ клеток, и $BD = 5 + 3 = 8$ клеток. Проблема в том, что они не делят друг друга пополам. Точка пересечения O является серединой для AC, но не является серединой для BD.

Чтобы четырёхугольник ABCD стал квадратом, нужно изменить положение диагонали BD так, чтобы точка O стала её серединой. Для этого нужно, чтобы отрезок OB был равен отрезку OD. Поскольку длина всей диагонали BD равна 8 клеткам, то $OB$ и $OD$ должны быть равны по 4 клетки каждый. Если мы сдвинем диагональ BD так, чтобы $OB = OD = 4$ клетки, то все условия для квадрата будут выполнены: диагонали будут равны, перпендикулярны и будут делить друг друга пополам.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно изменить положение диагонали BD так, чтобы точка пересечения O стала серединой для обеих диагоналей (то есть, чтобы $OB = OD = OA = OC = 4$ клетки). В этом случае полученный четырёхугольник будет квадратом.

8 Теплоход должен был пройти 1944 км. Он уже прошёл двенадцатую часть этого расстояния. Сколько часов шёл теплоход, если его скорость была равна $18 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти расстояние, которое прошёл теплоход, а затем, зная расстояние и скорость, вычислить время в пути.

1. Найдем расстояние, которое прошел теплоход.
Общее расстояние составляет 1 944 км. Теплоход прошёл одну двенадцатую часть этого пути. Чтобы найти пройденное расстояние, нужно общее расстояние разделить на 12.
$1944 / 12 = 162$ км.

2. Найдем, сколько часов шёл теплоход.
Мы знаем, что теплоход прошёл 162 км со скоростью 18 км/ч. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость, используя формулу $t = S / v$.
$162 / 18 = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.

9 Составь по таблице задачу, которая начинается так: «Для школы купили...» Реши эту задачу.

Цена Количество Стоимость

Стул 493 р. 200 шт. ?

Стол 1 628 р. 100 шт. ?

Общая Стоимость (Стул и Стол): ?

Задача

Для школы купили 200 стульев по цене 493 рубля за штуку и 100 столов по цене 1628 рублей за штуку. Какова общая стоимость всей покупки?

Решение

Чтобы найти общую стоимость покупки, нужно сначала вычислить стоимость всех стульев и всех столов по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

1. Найдем стоимость всех стульев. Для этого цену одного стула умножим на их количество:

$493 \text{ р.} \times 200 \text{ шт.} = 98 600 \text{ р.}$

2. Найдем стоимость всех столов. Для этого цену одного стола умножим на их количество:

$1628 \text{ р.} \times 100 \text{ шт.} = 162 800 \text{ р.}$

3. Теперь найдем общую стоимость, сложив стоимость стульев и столов:

$98 600 \text{ р.} + 162 800 \text{ р.} = 261 400 \text{ р.}$

Ответ: общая стоимость покупки составляет 261 400 рублей.

10 У бабушки в тёмном чулане стоят банки с вареньем трёх сортов: яблочное, сливовое и земляничное, по 5 банок каждого сорта. Какое наименьшее количество банок бабушке надо взять не глядя, чтобы среди них наверняка оказалось не менее трёх банок с вареньем одного сорта?