Страница 40, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

3 Сравни выражения в каждом столбике и вычисли их значения.

$50 \cdot 9 - 84 \div 12$

$50 \cdot (9 - 84 \div 12)$

$27 \cdot 30 - 180 \div 9$

$27 \cdot (30 - 180 \div 9)$

$700 \div 7 \cdot 10 \div 5$

$700 \div 7 \cdot (10 \div 5)$

$50 \cdot 9 - 84 : 12$
Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1) $50 \cdot 9 = 450$
2) $84 : 12 = 7$
3) $450 - 7 = 443$
Ответ: 443

$50 \cdot (9 - 84 : 12)$
В этом выражении сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок приоритет у деления, а затем у вычитания. Последним действием будет умножение.
1) $84 : 12 = 7$
2) $9 - 7 = 2$
3) $50 \cdot 2 = 100$
Ответ: 100

Сравнивая результаты первого столбика, видим, что $443 > 100$. Следовательно, $50 \cdot 9 - 84 : 12 > 50 \cdot (9 - 84 : 12)$. Наличие скобок изменило порядок действий и привело к другому результату.

$27 \cdot 30 - 180 : 9$
Порядок действий: сначала умножение и деление, затем вычитание.
1) $27 \cdot 30 = 810$
2) $180 : 9 = 20$
3) $810 - 20 = 790$
Ответ: 790

$27 \cdot (30 - 180 : 9)$
Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), а после этого — умножение.
1) $180 : 9 = 20$
2) $30 - 20 = 10$
3) $27 \cdot 10 = 270$
Ответ: 270

Сравнивая результаты второго столбика, видим, что $790 > 270$. Следовательно, $27 \cdot 30 - 180 : 9 > 27 \cdot (30 - 180 : 9)$. Как и в первом случае, скобки изменили результат.

$700 : 7 \cdot 10 : 5$
Действия умножения и деления имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их последовательно, слева направо.
1) $700 : 7 = 100$
2) $100 \cdot 10 = 1000$
3) $1000 : 5 = 200$
Ответ: 200

$700 : 7 \cdot (10 : 5)$
Сначала выполняется действие в скобках, а затем остальные действия по порядку слева направо.
1) $10 : 5 = 2$
2) $700 : 7 = 100$
3) $100 \cdot 2 = 200$
Ответ: 200

Сравнивая результаты третьего столбика, видим, что $200 = 200$. Следовательно, $700 : 7 \cdot 10 : 5 = 700 : 7 \cdot (10 : 5)$. В данном случае скобки не изменили конечный результат.

4 Для пошива платьев рулон ткани длиной $140 \text{ м}$ разрезали на куски, по $3 \text{ м}$ каждый. Сколько таких кусков получилось и сколько метров ткани осталось?

Чтобы ответить на вопросы задачи, необходимо выполнить деление с остатком. Мы разделим общую длину рулона ткани на длину одного куска.

Сколько таких кусков получилось?
Для этого разделим общую длину ткани на длину одного куска: $140 \div 3$.
$140 \div 3 = 46$ и $2$ в остатке.
Целая часть от деления (частное) показывает, сколько полных кусков по 3 метра можно получить. Таким образом, из рулона ткани получится 46 кусков.
Ответ: 46 кусков.

Сколько метров ткани осталось?
Остаток от деления $140$ на $3$ показывает, сколько метров ткани останется после нарезки. Остаток равен 2.
Также можно выполнить проверку:
1) Узнаем, сколько метров ткани пошло на 46 кусков: $46 \times 3 = 138$ м.
2) Вычтем из общей длины ткани использованную часть: $140 - 138 = 2$ м.
Следовательно, останется 2 метра ткани.
Ответ: 2 метра.

5 Масса 3 одинаковых пачек кофе составляет 285 г. Найди массу

6 таких пачек.

Реши задачу двумя способами.

Способ 1

Сначала найдем массу одной пачки кофе. Для этого разделим общую массу трех пачек на их количество.

1) $285 : 3 = 95$ (г) — масса одной пачки кофе.

Теперь, зная массу одной пачки, найдем массу шести таких пачек, умножив массу одной пачки на 6.

2) $95 \cdot 6 = 570$ (г) — масса шести пачек кофе.

Ответ: 570 г.

Способ 2

Сначала выясним, во сколько раз количество пачек, массу которых нужно найти (6), больше известного количества пачек (3).

1) $6 : 3 = 2$ (раза) — во столько раз 6 пачек больше, чем 3 пачки.

Так как количество пачек в 2 раза больше, то и их общая масса будет в 2 раза больше. Умножим массу трех пачек на 2.

2) $285 \cdot 2 = 570$ (г) — масса шести пачек кофе.

Ответ: 570 г.

6 1) Перечерти в тетрадь четырёхугольники ABCD и MNPK, как показано на рисунке. Проведи в них диагонали. Выполни измерения и вычисли сумму длин диагоналей каждого четырёхугольника. Что можно заметить?

2) Есть ли в данных четырёхугольниках прямые углы? Если да, то выпиши их обозначения. Как ещё можно назвать данные четырёхугольники?

1)

Для решения задачи примем сторону одной клетки на рисунке за 1 условную единицу (у.е.).

Четырёхугольник ABCD

Это прямоугольник со сторонами $AB = 4$ у.е. и $AD = 7$ у.е. Проведём в нём диагонали AC и BD. Длину диагоналей можно вычислить по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$

$BD = \sqrt{65}$ у.е.

Так как в прямоугольнике диагонали равны, то $AC = BD = \sqrt{65}$ у.е.

Сумма длин диагоналей четырёхугольника ABCD равна:

$AC + BD = \sqrt{65} + \sqrt{65} = 2\sqrt{65}$ у.е.

Так как $\sqrt{64} = 8$, то $\sqrt{65}$ немного больше 8 (примерно 8.06). Тогда сумма длин диагоналей приблизительно равна $2 \times 8.06 = 16.12$ у.е.

Четырёхугольник MNPK

Это квадрат, повёрнутый на 45 градусов. Проведём в нём диагонали MP и NK. Их длины можно легко измерить по клеткам, так как они параллельны сторонам сетки.

Диагональ MP является горизонтальным отрезком длиной 8 клеток, то есть $MP = 8$ у.е.

Диагональ NK является вертикальным отрезком длиной 8 клеток, то есть $NK = 8$ у.е.

Сумма длин диагоналей четырёхугольника MNPK равна:

$MP + NK = 8 + 8 = 16$ у.е.

Вывод

Сравнивая суммы длин диагоналей двух четырёхугольников ($2\sqrt{65} \approx 16.12$ у.е. и $16$ у.е.), можно заметить, что они практически равны.

Ответ: Сумма длин диагоналей четырёхугольника ABCD равна $2\sqrt{65}$ условных единиц (приблизительно 16.12 у.е.). Сумма длин диагоналей четырёхугольника MNPK равна 16 условных единиц. Можно заметить, что суммы длин диагоналей этих двух четырёхугольников почти равны друг другу.

2)

Да, в данных четырёхугольниках есть прямые углы.

В четырёхугольнике ABCD, который является прямоугольником, все четыре угла прямые. Их обозначения: $\angle A$ (или $\angle DAB$), $\angle B$ (или $\angle ABC$), $\angle C$ (или $\angle BCD$), $\angle D$ (или $\angle CDA$).

В четырёхугольнике MNPK, который является квадратом, все четыре угла также прямые. Их обозначения: $\angle M$ (или $\angle KMN$), $\angle N$ (или $\angle MNP$), $\angle P$ (или $\angle NPK$), $\angle K$ (или $\angle PKM$).

Эти четырёхугольники можно назвать и по-другому, используя их свойства.

Четырёхугольник ABCD — это прямоугольник. Так как у него противоположные стороны параллельны, его также можно назвать параллелограммом.

Четырёхугольник MNPK — это квадрат. Квадрат является частным случаем других фигур, поэтому его также можно назвать прямоугольником (все углы прямые), ромбом (все стороны равны) и параллелограммом (противоположные стороны параллельны).

Ответ: Да, в обоих четырёхугольниках все углы прямые. Обозначения прямых углов в ABCD: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Обозначения прямых углов в MNPK: $\angle M, \angle N, \angle P, \angle K$. Четырёхугольник ABCD можно также назвать прямоугольником или параллелограммом. Четырёхугольник MNPK можно назвать квадратом, а также прямоугольником, ромбом или параллелограммом.

7 Вычисли значения выражений.

$900 - (48 \cdot 7 \div 6 - 4 \cdot 5)$

$(900 - 48 \cdot 7) \div 6 - 4 \cdot 5$

$900 - (48 \cdot 7 \div 6 - 4) \cdot 5$

$900 - 48 \cdot 7 \div (6 - 4) \cdot 5$

Сравни выражения и их значения. Сделай вывод.

900 - (48 · 7 : 6 - 4 · 5)

Выполним действия в соответствии с порядком операций. Сначала вычисляем значение в скобках. Внутри скобок сначала выполняются умножение и деление слева направо, а затем вычитание.

1. Первое действие в скобках (умножение): $48 \cdot 7 = 336$.

2. Второе действие в скобках (деление): $336 : 6 = 56$.

3. Третье действие в скобках (умножение): $4 \cdot 5 = 20$.

4. Четвертое действие в скобках (вычитание): $56 - 20 = 36$.

5. Последнее действие (вычитание): $900 - 36 = 864$.

Ответ: 864

(900 - 48 · 7) : 6 - 4 · 5

Сначала выполняем действия в скобках, затем деление и умножение слева направо, и в конце вычитание.

1. Первое действие в скобках (умножение): $48 \cdot 7 = 336$.

2. Второе действие в скобках (вычитание): $900 - 336 = 564$.

3. Третье действие (деление): $564 : 6 = 94$.

4. Четвертое действие (умножение): $4 \cdot 5 = 20$.

5. Пятое действие (вычитание): $94 - 20 = 74$.

Ответ: 74

900 - (48 · 7 : 6 - 4) · 5

Сначала вычисляем значение в скобках, затем выполняем умножение за скобками, и в конце вычитание.

1. Первое действие в скобках (умножение): $48 \cdot 7 = 336$.

2. Второе действие в скобках (деление): $336 : 6 = 56$.

3. Третье действие в скобках (вычитание): $56 - 4 = 52$.

4. Четвертое действие (умножение): $52 \cdot 5 = 260$.

5. Пятое действие (вычитание): $900 - 260 = 640$.

Ответ: 640

900 - 48 · 7 : (6 - 4) · 5

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание.

1. Первое действие (в скобках): $6 - 4 = 2$.

2. Второе действие (умножение): $48 \cdot 7 = 336$.

3. Третье действие (деление): $336 : 2 = 168$.

4. Четвертое действие (умножение): $168 \cdot 5 = 840$.

5. Пятое действие (вычитание): $900 - 840 = 60$.

Ответ: 60

Сравни выражения и их значения. Сделай вывод.

Сравним полученные результаты:

• $900 - (48 \cdot 7 : 6 - 4 \cdot 5) = 864$
• $(900 - 48 \cdot 7) : 6 - 4 \cdot 5 = 74$
• $900 - (48 \cdot 7 : 6 - 4) \cdot 5 = 640$
• $900 - 48 \cdot 7 : (6 - 4) \cdot 5 = 60$

Все четыре выражения состоят из одних и тех же чисел ($900, 48, 7, 6, 4, 5$) и арифметических действий (вычитание, умножение, деление). Однако их значения получились совершенно разными.

Вывод: Порядок выполнения действий в числовом выражении кардинально влияет на его итоговое значение. Скобки изменяют стандартный порядок действий, указывая, какие операции должны быть выполнены в первую очередь. Поэтому, даже при одинаковом наборе чисел и операций, разное расположение скобок приводит к различным результатам.

1 Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Один автомобиль ехал со скоростью $40 \text{ км/ч}$, а другой — со скоростью $50 \text{ км/ч}$. Через $4 \text{ ч}$ автомобили встретились. Найди расстояние между городами.

$40 \text{ км/ч}$

$50 \text{ км/ч}$

$?$

Для того чтобы найти расстояние между городами, необходимо определить, какое расстояние проехал каждый автомобиль до встречи, и сложить эти расстояния. Либо можно найти общую скорость сближения автомобилей и умножить ее на время в пути.

1. Находим скорость сближения автомобилей.

Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения показывает, на сколько километров они становятся ближе друг к другу за один час.

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 40 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$

2. Находим расстояние между городами.

Зная, что автомобили встретились через 4 часа, и их общая скорость сближения составляла 90 км/ч, мы можем найти исходное расстояние между ними. Для этого нужно умножить скорость сближения на время до встречи.

$S = v_{сближения} \times t = 90 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 360 \text{ км}$

Ответ: 360 км.

2 Используя ответ предыдущей задачи, дополни условия задач и реши их.

а) Из двух городов, расстояние между которыми [ ] $\text{км}$, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Один автомобиль ехал со скоростью $40 \text{ км/ч}$, а другой — со скоростью $50 \text{ км/ч}$. Через сколько часов автомобили встретятся?

$40 \text{ км/ч}$

$50 \text{ км/ч}$

[ ] $\text{км}$

б) Из двух городов, расстояние между которыми [ ] $\text{км}$, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через $4 \text{ ч}$ автомобили встретились. Один автомобиль ехал со скоростью $40 \text{ км/ч}$. Найди скорость другого автомобиля.

$40 \text{ км/ч}$

$? \text{ км/ч}$

[ ] $\text{км}$

Сравни условия и вопросы задач а и б. Что можно заметить? Как называются эти задачи? Составь и реши ещё одну задачу, обратную задаче 1.

Для решения задач необходимо дополнить условие, так как в обеих задачах пропущено расстояние между городами. Поскольку задачи связаны, будем использовать одно и то же значение. Возьмем для примера расстояние 360 км.

а)

Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 360 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Один автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, а другой — со скоростью 50 км/ч. Через сколько часов автомобили встретятся?

Решение:

1. Найдем скорость сближения автомобилей. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$40 + 50 = 90$ (км/ч) — скорость сближения.

2. Найдем время до встречи, разделив общее расстояние на скорость сближения:

$360 : 90 = 4$ (ч).

Ответ: автомобили встретятся через 4 часа.

б)

Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 360 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через 4 ч автомобили встретились. Один автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч. Найди скорость другого автомобиля.

Решение:

1. Найдем общую скорость сближения автомобилей, разделив расстояние на время до встречи:

$360 : 4 = 90$ (км/ч) — скорость сближения.

2. Зная скорость сближения и скорость одного автомобиля, найдем скорость второго, вычтя из общей скорости известную:

$90 - 40 = 50$ (км/ч).

Ответ: скорость другого автомобиля 50 км/ч.

Сравни условия и вопросы задач а и б. Что можно заметить? Как называются эти задачи? Составь и реши ещё одну задачу, обратную задаче 1.

Сравнивая задачи а) и б), можно заметить, что в них используются одни и те же величины (расстояние, время, скорость первого автомобиля, скорость второго автомобиля). Однако то, что является известным в одной задаче, становится неизвестным в другой. Например, в задаче а) неизвестно время, а в задаче б) оно известно, но зато неизвестна скорость второго автомобиля. Такие задачи называются взаимно обратными.

Составим и решим ещё одну обратную задачу:

Условие: Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Один ехал со скоростью 40 км/ч, а другой — 50 км/ч. Они встретились через 4 часа. Каково расстояние между городами?

Решение:

1. Найдем скорость сближения автомобилей:

$40 + 50 = 90$ (км/ч) — скорость сближения.

2. Найдем расстояние между городами, умножив скорость сближения на время в пути до встречи:

$90 \cdot 4 = 360$ (км).

Ответ: расстояние между городами 360 км.