Страница 47, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

8 Купили 12 синих воздушных шаров, по 8 р. за шар, и 8 красных воздушных шаров, по 6 р. за шар. Во сколько раз больше заплатили за синие шары, чем за красные?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий: найти общую стоимость синих шаров, затем общую стоимость красных шаров и, наконец, сравнить эти две суммы.

1. Найдем стоимость синих шаров.
Было куплено 12 синих шаров, и каждый стоил 8 рублей. Чтобы найти их общую стоимость, нужно количество шаров умножить на цену одного шара:
$12 \times 8 = 96$ (рублей).

2. Найдем стоимость красных шаров.
Было куплено 8 красных шаров по цене 6 рублей за каждый. Чтобы найти их общую стоимость, нужно также умножить количество на цену:
$8 \times 6 = 48$ (рублей).

3. Сравним стоимость синих и красных шаров.
Чтобы узнать, во сколько раз больше заплатили за синие шары, чем за красные, нужно стоимость синих шаров разделить на стоимость красных:
$96 \div 48 = 2$ (раза).

Ответ: за синие шары заплатили в 2 раза больше, чем за красные.

9 Сравни.

115 см 15 дм

30 дм 3 м

483 см 4 м 83 см

1 км 200 м

612 см 7 м

205 см 25 дм

115 см ○ 15 дм
Чтобы сравнить эти два значения, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Следовательно, $15 \text{ дм} = 15 \times 10 \text{ см} = 150 \text{ см}$.
Теперь сравним 115 см и 150 см. Так как $115 < 150$, то $115 \text{ см} < 150 \text{ см}$.
Ответ: $115 \text{ см} < 15 \text{ дм}$.

30 дм ○ 3 м
Для сравнения приведем значения к одной единице измерения, например, к дециметрам. Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Следовательно, $3 \text{ м} = 3 \times 10 \text{ дм} = 30 \text{ дм}$.
Теперь сравним 30 дм и 30 дм. Так как $30 = 30$, то $30 \text{ дм} = 30 \text{ дм}$.
Ответ: $30 \text{ дм} = 3 \text{ м}$.

483 см ○ 4 м 83 см
Чтобы выполнить сравнение, переведем второе значение полностью в сантиметры. Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Следовательно, $4 \text{ м} = 4 \times 100 \text{ см} = 400 \text{ см}$.
Теперь добавим оставшиеся сантиметры: $4 \text{ м } 83 \text{ см} = 400 \text{ см} + 83 \text{ см} = 483 \text{ см}$.
Сравниваем 483 см и 483 см. Так как $483 = 483$, то $483 \text{ см} = 483 \text{ см}$.
Ответ: $483 \text{ см} = 4 \text{ м } 83 \text{ см}$.

1 км ○ 200 м
Для сравнения приведем километры в метры. Мы знаем, что в одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Теперь сравним 1000 м и 200 м. Так как $1000 > 200$, то $1000 \text{ м} > 200 \text{ м}$.
Ответ: $1 \text{ км} > 200 \text{ м}$.

612 см ○ 7 м
Чтобы сравнить значения, переведем метры в сантиметры. Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Следовательно, $7 \text{ м} = 7 \times 100 \text{ см} = 700 \text{ см}$.
Теперь сравним 612 см и 700 см. Так как $612 < 700$, то $612 \text{ см} < 700 \text{ см}$.
Ответ: $612 \text{ см} < 7 \text{ м}$.

205 см ○ 25 дм
Для сравнения приведем дециметры в сантиметры. Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Следовательно, $25 \text{ дм} = 25 \times 10 \text{ см} = 250 \text{ см}$.
Теперь сравним 205 см и 250 см. Так как $205 < 250$, то $205 \text{ см} < 250 \text{ см}$.
Ответ: $205 \text{ см} < 25 \text{ дм}$.

10 В магазин привезли 380 кг яблок, апельсинов в 4 раза меньше, чем яблок, а груш в 3 раза больше, чем апельсинов. Сколько килограммов груш привезли в магазин?

Для того чтобы найти, сколько килограммов груш привезли в магазин, необходимо сначала вычислить массу апельсинов.

1. Вычисляем массу апельсинов.
Из условия известно, что яблок привезли 380 кг, а апельсинов — в 4 раза меньше. Чтобы найти массу апельсинов, нужно массу яблок разделить на 4.
$380 \div 4 = 95$ (кг)

2. Вычисляем массу груш.
Теперь, зная массу апельсинов (95 кг), мы можем найти массу груш. В условии сказано, что груш привезли в 3 раза больше, чем апельсинов. Для этого умножаем массу апельсинов на 3.
$95 \times 3 = 285$ (кг)

Ответ: 285 килограммов груш привезли в магазин.

11 Ваня и Саша живут в одном доме. Ваня идёт от дома до школы 30 мин, а Саша — 40 мин. Через сколько минут Ваня догонит Сашу, если Саша вышел из дома на 5 мин раньше Вани?

Отмечай на схематическом чертеже цветными карандашами расположение мальчиков через каждые 5 минут. Это поможет тебе решить задачу.

Для решения задачи примем все расстояние от дома до школы за 1 (одну целую) единицу. Решим задачу по шагам.

1. Определим скорость каждого мальчика

Скорость показывает, какую часть всего пути мальчик проходит за одну минуту.

• Ваня проходит весь путь за 30 минут, следовательно, его скорость $v_В = \frac{1}{30}$ пути в минуту.
• Саша проходит весь путь за 40 минут, следовательно, его скорость $v_С = \frac{1}{40}$ пути в минуту.

2. Найдем расстояние, которое прошел Саша до выхода Вани

Саша вышел на 5 минут раньше. За это время он прошел расстояние, равное его скорости, умноженной на 5 минут:

$S_{преим} = v_С \times 5 = \frac{1}{40} \times 5 = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ пути.

Это и есть то расстояние, которое было между мальчиками в момент, когда Ваня начал движение.

3. Вычислим скорость сближения мальчиков

Ваня идет быстрее Саши, поэтому он будет его догонять. Скорость, с которой Ваня догоняет Сашу (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_В - v_С = \frac{1}{30} - \frac{1}{40}$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю, который равен 120:

$v_{сбл} = \frac{4}{120} - \frac{3}{120} = \frac{1}{120}$ пути в минуту.

Это означает, что каждую минуту Ваня сокращает расстояние до Саши на $\frac{1}{120}$ всего пути.

4. Найдем время, через которое Ваня догонит Сашу

Чтобы найти время, необходимо начальное расстояние между ними разделить на скорость их сближения:

$t = S_{преим} \div v_{сбл} = \frac{1}{8} \div \frac{1}{120}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$t = \frac{1}{8} \times 120 = \frac{120}{8} = 15$ минут.

Таким образом, Ваня догонит Сашу через 15 минут после своего выхода из дома.

Ответ: 15 минут.

1 Вычисли значения каждого выражения тремя способами. Какой из этих способов удобнее?

$79 \cdot (5 \cdot 2)$

$54 \cdot (3 \cdot 2)$

$163 \cdot (2 \cdot 4)$

79 · (5 · 2)

Способ 1. Выполним сначала действие в скобках, а затем умножим число на полученный результат, следуя порядку действий.

1) $5 \cdot 2 = 10$

2) $79 \cdot 10 = 790$

Способ 2. Используя сочетательное свойство умножения $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$, сначала умножим первый множитель на второй, а затем результат умножим на третий множитель.

1) $79 \cdot 5 = (70 + 9) \cdot 5 = 350 + 45 = 395$

2) $395 \cdot 2 = (300 + 90 + 5) \cdot 2 = 600 + 180 + 10 = 790$

Способ 3. Используя сочетательное и переместительное свойства умножения, сначала умножим первый множитель на третий, а затем результат умножим на второй множитель.

$79 \cdot (5 \cdot 2) = (79 \cdot 2) \cdot 5$

1) $79 \cdot 2 = (70 + 9) \cdot 2 = 140 + 18 = 158$

2) $158 \cdot 5 = (100 + 50 + 8) \cdot 5 = 500 + 250 + 40 = 790$

Наиболее удобным является первый способ, так как он сводит вычисление к простому умножению на 10.

Ответ: $790$.

54 · (3 · 2)

Способ 1. Выполним сначала действие в скобках, а затем умножим число на полученный результат.

1) $3 \cdot 2 = 6$

2) $54 \cdot 6 = (50 + 4) \cdot 6 = 300 + 24 = 324$

Способ 2. Используя сочетательное свойство умножения, умножим первый множитель на второй, а затем результат умножим на третий множитель.

$54 \cdot (3 \cdot 2) = (54 \cdot 3) \cdot 2$

1) $54 \cdot 3 = (50 + 4) \cdot 3 = 150 + 12 = 162$

2) $162 \cdot 2 = (100 + 60 + 2) \cdot 2 = 200 + 120 + 4 = 324$

Способ 3. Используя сочетательное и переместительное свойства, умножим первый множитель на третий, а затем результат умножим на второй множитель.

$54 \cdot (3 \cdot 2) = (54 \cdot 2) \cdot 3$

1) $54 \cdot 2 = 108$

2) $108 \cdot 3 = (100 + 8) \cdot 3 = 300 + 24 = 324$

Все три способа примерно одинаковы по сложности. Однако второй и третий способы могут быть удобнее для устного счета, так как последовательное умножение на 2 и 3 может быть проще, чем умножение на 6.

Ответ: $324$.

163 · (2 · 4)

Способ 1. Выполним сначала действие в скобках, а затем умножим число на полученный результат.

1) $2 \cdot 4 = 8$

2) $163 \cdot 8 = (100 + 60 + 3) \cdot 8 = 800 + 480 + 24 = 1304$

Способ 2. Используя сочетательное свойство умножения, умножим первый множитель на второй, а затем результат умножим на третий множитель.

$163 \cdot (2 \cdot 4) = (163 \cdot 2) \cdot 4$

1) $163 \cdot 2 = 326$

2) $326 \cdot 4 = (300 + 20 + 6) \cdot 4 = 1200 + 80 + 24 = 1304$

Способ 3. Используя сочетательное и переместительное свойства, умножим первый множитель на третий, а затем результат умножим на второй множитель.

$163 \cdot (2 \cdot 4) = (163 \cdot 4) \cdot 2$

1) $163 \cdot 4 = (100 + 60 + 3) \cdot 4 = 400 + 240 + 12 = 652$

2) $652 \cdot 2 = 1304$

Второй и третий способы удобнее первого, так как они позволяют разбить одно более сложное умножение (на 8) на два последовательных более простых умножения (на 2 и на 4).

Ответ: $1304$.

2 Вычисли, выбрав удобный порядок выполнения действий.

$128 + 374 + 72 + 226$

$48 \cdot 3 \cdot 5$

$25 \cdot 7 \cdot 4$

128 + 374 + 72 + 226

Чтобы упростить вычисления, сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа. Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Удобно сложить 128 и 72, а также 374 и 226.

$128 + 374 + 72 + 226 = (128 + 72) + (374 + 226)$

Вычислим сумму в первой скобке:

$128 + 72 = 200$

Вычислим сумму во второй скобке:

$374 + 226 = 600$

Теперь сложим полученные результаты:

$200 + 600 = 800$

Ответ: 800

48 · 3 · 5

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным свойством умножения и изменим порядок множителей. Удобнее сначала умножить 48 на 5, а затем результат умножить на 3.

$48 \cdot 3 \cdot 5 = (48 \cdot 5) \cdot 3$

Вычислим произведение в скобках:

$48 \cdot 5 = 240$

Теперь умножим результат на 3:

$240 \cdot 3 = 720$

Ответ: 720

25 · 7 · 4

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Удобно сгруппировать множители 25 и 4, так как их произведение — круглое число (100).

$25 \cdot 7 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 7$

Вычислим произведение в скобках:

$25 \cdot 4 = 100$

Теперь умножим полученный результат на 7:

$100 \cdot 7 = 700$

Ответ: 700

3 В ящике 14 кг яблок, в корзине в 2 раза больше, чем в ящике, а в ведре — в 6 раз меньше, чем в ящике и корзине вместе. Сколько килограммов яблок в ведре?

Для решения этой задачи необходимо выполнить три действия:

1. Найти количество яблок в корзине.

По условию, в ящике 14 кг яблок, а в корзине в 2 раза больше. Чтобы найти, сколько яблок в корзине, нужно умножить количество яблок в ящике на 2:

$14 \times 2 = 28$ (кг) — яблок в корзине.

2. Найти общее количество яблок в ящике и корзине вместе.

Для этого нужно сложить количество яблок в ящике и в корзине:

$14 + 28 = 42$ (кг) — яблок в ящике и корзине вместе.

3. Найти количество яблок в ведре.

По условию, в ведре в 6 раз меньше яблок, чем в ящике и корзине вместе. Чтобы найти, сколько яблок в ведре, нужно общее количество яблок разделить на 6:

$42 \div 6 = 7$ (кг) — яблок в ведре.

Ответ: 7 килограммов яблок в ведре.

4 Начерти четыре луча: OA, OB, OC и OD. Никакие два из этих лучей не должны лежать на одной прямой. Запиши обозначения углов, сторонами которых являются эти лучи.

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия: сначала представить, как правильно начертить лучи, а затем записать все углы, которые они образуют.

1. Построение лучей

На плоскости необходимо отметить точку O, которая будет являться общим началом для всех лучей. Из этой точки O нужно провести четыре луча: OA, OB, OC и OD. Согласно условию, "никакие два из этих лучей не должны лежать на одной прямой". Это означает, что лучи должны быть направлены в разные стороны таким образом, чтобы ни одна пара лучей не образовывала развернутый угол ($180^\circ$).

2. Обозначение углов

Угол образуется парой лучей, выходящих из общей вершины (в данном случае, точки O). Чтобы найти все возможные углы, необходимо составить все уникальные пары из четырёх данных лучей. Количество таких пар можно найти с помощью комбинаторики, как число сочетаний из 4 элементов по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Следовательно, данные лучи образуют 6 различных углов. Запишем их обозначения, систематически перебирая все пары:

1. Углы, одной из сторон которых является луч OA: $\angle AOB$, $\angle AOC$, $\angle AOD$.

2. Углы, одной из сторон которых является луч OB (не включая уже упомянутый $\angle AOB$): $\angle BOC$, $\angle BOD$.

3. Угол, образованный оставшейся парой лучей OC и OD: $\angle COD$.

Ответ: Обозначения углов, сторонами которых являются данные лучи: $\angle AOB$, $\angle AOC$, $\angle AOD$, $\angle BOC$, $\angle BOD$, $\angle COD$.