Страница 52, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Вычисли среднее арифметическое чисел:

1) 12, 17, 18, 20, 28;

2) 260, 290, 200, 150;

3) 64, 92, 15, 7, 39, 303, 100, 60;

4) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.

1) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 12, 17, 18, 20, 28, необходимо найти их сумму и разделить на их количество.

Сначала найдем сумму всех чисел:

$12 + 17 + 18 + 20 + 28 = 95$

Количество чисел в ряду — 5.

Теперь разделим сумму на количество:

$\frac{95}{5} = 19$

Ответ: 19.

2) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 260, 290, 200, 150, необходимо найти их сумму и разделить на их количество.

Сначала найдем сумму всех чисел:

$260 + 290 + 200 + 150 = 900$

Количество чисел в ряду — 4.

Теперь разделим сумму на количество:

$\frac{900}{4} = 225$

Ответ: 225.

3) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 64, 92, 15, 7, 39, 303, 100, 60, необходимо найти их сумму и разделить на их количество.

Сначала найдем сумму всех чисел:

$64 + 92 + 15 + 7 + 39 + 303 + 100 + 60 = 680$

Количество чисел в ряду — 8.

Теперь разделим сумму на количество:

$\frac{680}{8} = 85$

Ответ: 85.

4) Чтобы найти среднее арифметическое чисел 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, необходимо найти их сумму и разделить на их количество.

Сначала найдем сумму всех чисел:

$10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 450$

Количество чисел в ряду — 9.

Теперь разделим сумму на количество:

$\frac{450}{9} = 50$

Дополнительное замечание: так как данные числа образуют арифметическую прогрессию с нечетным количеством членов, их среднее арифметическое равно среднему (медианному) члену ряда, то есть 50.

Ответ: 50.

2 В столовой за 7 дней израсходовали 250 кг картофеля, 160 кг капусты и 80 кг других овощей, во все дни поровну. Сколько в среднем овощей расходовали ежедневно в этой столовой?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общее количество овощей, которое израсходовали за 7 дней. Для этого сложим массу картофеля, капусты и других овощей.

1. Находим общее количество овощей:
$250 \text{ кг (картофель)} + 160 \text{ кг (капуста)} + 80 \text{ кг (другие овощи)} = 490 \text{ кг}$
Всего за 7 дней израсходовали 490 кг овощей.

2. Теперь, чтобы найти, сколько в среднем овощей расходовали ежедневно, нужно общее количество овощей разделить на количество дней. В условии сказано, что расход был одинаковым каждый день ("во все дни поровну"), поэтому средний расход будет равен фактическому ежедневному расходу.
$490 \text{ кг} \div 7 \text{ дней} = 70 \text{ кг/день}$

Ответ: в среднем ежедневно в столовой расходовали 70 кг овощей.

3 В день 9 коров дают в среднем 126 л молока. Сколько в среднем литров молока дадут в день 30 таких коров?

Чтобы решить задачу, сначала найдем, сколько литров молока в среднем дает одна корова в день. Для этого разделим общее количество молока на количество коров.

$126 \div 9 = 14$ (л)

Итак, одна корова в среднем дает 14 литров молока в день.

Теперь мы можем вычислить, сколько молока в среднем дадут 30 таких коров. Для этого умножим средний удой одной коровы на новое количество коров.

$14 \times 30 = 420$ (л)

Ответ: 420 литров.

4 Среди выражений, не производя вычислений, найди те, значения которых равны. Назови номера этих выражений. Проверь свою догадку, выполнив действия.

1) $126 \cdot 3 \cdot 2;$

2) $126 \cdot 2 \cdot 3;$

3) $2 \cdot 126 \cdot 3;$

4) $126 : 2 : 3;$

5) $126 : 3 : 2;$

6) $3 \cdot 126 : 2.$

Чтобы найти выражения, значения которых равны, не производя вычислений, воспользуемся свойствами умножения и деления.

Анализ выражений (догадка)
Сравним выражения, основываясь на математических законах:
- Выражения 1) $126 \cdot 3 : 2$ и 6) $3 \cdot 126 : 2$. Согласно переместительному свойству умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), произведение $126 \cdot 3$ равно произведению $3 \cdot 126$. Так как равные числа делятся на одно и то же число 2, результаты будут одинаковыми. Следовательно, значения выражений 1 и 6 равны.
- Выражения 4) $126 : 2 : 3$ и 5) $126 : 3 : 2$. Последовательное деление на два числа равносильно делению на их произведение. Таким образом, выражение 4 можно записать как $126 : (2 \cdot 3) = 126 : 6$, а выражение 5 — как $126 : (3 \cdot 2) = 126 : 6$. Следовательно, значения выражений 4 и 5 также равны.

Таким образом, наша догадка: равные значения имеют выражения под номерами 1 и 6, а также выражения под номерами 4 и 5.

Проверка догадки выполнением действий

1) $126 \cdot 3 : 2$
Первое действие: $126 \cdot 3 = 378$.
Второе действие: $378 : 2 = 189$.
Ответ: 189

2) $126 \cdot 2 : 3$
Первое действие: $126 \cdot 2 = 252$.
Второе действие: $252 : 3 = 84$.
Ответ: 84

3) $2 \cdot 126 \cdot 3$
Первое действие: $2 \cdot 126 = 252$.
Второе действие: $252 \cdot 3 = 756$.
Ответ: 756

4) $126 : 2 : 3$
Первое действие: $126 : 2 = 63$.
Второе действие: $63 : 3 = 21$.
Ответ: 21

5) $126 : 3 : 2$
Первое действие: $126 : 3 = 42$.
Второе действие: $42 : 2 = 21$.
Ответ: 21

6) $3 \cdot 126 : 2$
Первое действие: $3 \cdot 126 = 378$.
Второе действие: $378 : 2 = 189$.
Ответ: 189

Сравнив полученные результаты, мы видим, что:
- Значение выражений 1 и 6 равно 189.
- Значение выражений 4 и 5 равно 21.

Вычисления подтвердили нашу догадку.

Ответ: Равные значения имеют выражения под номерами 1 и 6; 4 и 5.

5 1) Сколько квадратных сантиметров в $1 \text{ дм}^2$?

2) Вырази в квадратных сантиметрах: $2 \text{ дм}^2$; $7 \text{ дм}^2$; $9 \text{ дм}^2$; $10 \text{ дм}^2$.

Выполни вычисления, как показано в образце.

$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$

$2 \cdot 100 = 200$

$2 \text{ дм}^2 = 200 \text{ см}^2$

1)

Чтобы определить, сколько квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре, нужно вспомнить соотношение между линейными единицами измерения: сантиметром (см) и дециметром (дм).

В одном дециметре содержится 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

Квадратный дециметр ($1 \text{ дм}^2$) – это площадь квадрата со стороной, равной 1 дециметру. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.

Следовательно, $1 \text{ дм}^2 = 1 \text{ дм} \cdot 1 \text{ дм}$.

Чтобы выразить эту площадь в квадратных сантиметрах, подставим значение стороны в сантиметрах:

$1 \text{ дм}^2 = 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.

Ответ: в 1 квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров.

2)

Чтобы выразить заданные значения в квадратных сантиметрах, необходимо каждое из них умножить на 100, так как $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$. Выполним вычисления, как показано в образце.

Для 2 дм²:
$2 \cdot 100 = 200$
$2 \text{ дм}^2 = 200 \text{ см}^2$
Ответ: $200 \text{ см}^2$.

Для 7 дм²:
$7 \cdot 100 = 700$
$7 \text{ дм}^2 = 700 \text{ см}^2$
Ответ: $700 \text{ см}^2$.

Для 9 дм²:
$9 \cdot 100 = 900$
$9 \text{ дм}^2 = 900 \text{ см}^2$
Ответ: $900 \text{ см}^2$.

Для 10 дм²:
$10 \cdot 100 = 1000$
$10 \text{ дм}^2 = 1000 \text{ см}^2$
Ответ: $1000 \text{ см}^2$.

6 Перечерти в тетрадь треугольник $ABC$, как показано на рисунке. Начерти окружность с центром в точке $B$ и радиусом $BA$. Что можно заметить?

Для того чтобы начертить окружность с центром в точке B и радиусом BA, сначала определим длину этого радиуса. Примем сторону одной клетки на рисунке за единицу длины.

Рассмотрим отрезок BA как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого проходят по линиям сетки. Длина горизонтального катета составляет 4 единицы, а вертикального — 3 единицы. По теореме Пифагора найдем квадрат длины радиуса $R = BA$:

$R^2 = BA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

Отсюда радиус окружности $R = BA = \sqrt{25} = 5$ единиц.

Теперь, когда мы знаем параметры окружности (центр B, радиус 5), нужно ее начертить и посмотреть, что можно заметить. Проверим положение точки C относительно этой окружности. Для этого найдем расстояние от центра B до точки C.

Рассмотрим отрезок BC как гипотенузу другого прямоугольного треугольника. Его горизонтальный катет равен 3 единицам, а вертикальный — 4 единицам. Найдем квадрат длины отрезка BC:

$BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Следовательно, длина отрезка $BC = \sqrt{25} = 5$ единиц.

Сравнивая полученные длины, мы видим, что расстояние от центра окружности B до точки C равно радиусу окружности BA ($BC = BA = 5$). Это означает, что точка C лежит на построенной окружности.

Ответ: Можно заметить, что окружность с центром в точке B и радиусом BA также проходит через вершину C. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, так как две его стороны равны: $BA = BC$.

1 Выполни действия.

$269 \cdot 43$ $1784 \cdot 26$ $28604 \cdot 57$ $14003 \cdot 35$

$105 \cdot 86$ $6895 \cdot 75$ $82097 \cdot 48$ $30207 \cdot 62$

269 · 43
Для вычисления произведения двух чисел, умножим первое число поочередно на каждую цифру второго числа (справа налево), а затем сложим полученные результаты (неполные произведения).
1. Умножим 269 на 3 (единицы):
$269 \cdot 3 = 807$
2. Умножим 269 на 4 (десятки):
$269 \cdot 4 = 1076$. Поскольку мы умножаем на десятки, результат сдвигаем на один разряд влево, что равносильно умножению на 40. Получаем 10760.
3. Сложим полученные произведения:
$807 + 10760 = 11567$
Ответ: 11567

105 · 86
Решим пример, используя метод умножения в столбик.
1. Умножим 105 на 6 (единицы):
$105 \cdot 6 = 630$
2. Умножим 105 на 8 (десятки), что эквивалентно умножению на 80:
$105 \cdot 80 = 8400$
3. Сложим результаты:
$630 + 8400 = 9030$
Ответ: 9030

1 784 · 26
Выполним умножение по частям.
1. Умножим 1784 на 6:
$1784 \cdot 6 = 10704$
2. Умножим 1784 на 20:
$1784 \cdot 20 = 35680$
3. Сложим полученные неполные произведения:
$10704 + 35680 = 46384$
Ответ: 46384

6 895 · 75
Вычислим произведение чисел.
1. Найдем первое неполное произведение (умножение на единицы):
$6895 \cdot 5 = 34475$
2. Найдем второе неполное произведение (умножение на десятки):
$6895 \cdot 70 = 482650$
3. Сложим результаты:
$34475 + 482650 = 517125$
Ответ: 517125

28 604 · 57
Выполним умножение.
1. Умножим 28604 на 7:
$28604 \cdot 7 = 200228$
2. Умножим 28604 на 50:
$28604 \cdot 50 = 1430200$
3. Сложим полученные значения:
$200228 + 1430200 = 1630428$
Ответ: 1630428

82 097 · 48
Найдем произведение.
1. Умножим 82097 на 8:
$82097 \cdot 8 = 656776$
2. Умножим 82097 на 40:
$82097 \cdot 40 = 3283880$
3. Сложим результаты:
$656776 + 3283880 = 3940656$
Ответ: 3940656

14 003 · 35
Вычислим произведение.
1. Умножим 14003 на 5:
$14003 \cdot 5 = 70015$
2. Умножим 14003 на 30:
$14003 \cdot 30 = 420090$
3. Сложим полученные числа:
$70015 + 420090 = 490105$
Ответ: 490105

30 207 · 62
Решим пример.
1. Умножим 30207 на 2:
$30207 \cdot 2 = 60414$
2. Умножим 30207 на 60:
$30207 \cdot 60 = 1812420$
3. Сложим неполные произведения:
$60414 + 1812420 = 1872834$
Ответ: 1872834