Страница 45, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

8 Имеется 5 кусков цепи, по 3 кольца в каждом куске. Догадайся, какое наименьшее число колец придётся расковать и сковать, чтобы соединить эти куски в одну цепь.

Чтобы соединить 5 отдельных кусков цепи в одну длинную цепь, необходимо сделать 4 соединения.

На первый взгляд может показаться, что для каждого соединения нужно брать крайнее кольцо одного из кусков, расковывать его, соединять с другим куском и сковывать обратно. При таком подходе для 4 соединений потребовалось бы расковать и сковать 4 кольца.

Однако существует более оптимальный способ, позволяющий минимизировать количество операций.

Нужно взять один из пяти кусков (состоящий из 3 колец) и расковать все три кольца этого куска. Это потребует 3-х операций "расковать-сковать".

Теперь у нас есть 4 целых куска цепи и 3 отдельных раскованных кольца. Этими тремя кольцами мы как раз и можем соединить оставшиеся 4 куска:
- Первым кольцом соединяем 1-й и 2-й куски.
- Вторым кольцом соединяем получившуюся цепь с 3-м куском.
- Третьим кольцом соединяем всё с 4-м куском.

Таким образом, чтобы соединить 5 кусков цепи в одну, достаточно расковать и сковать всего 3 кольца. Для соединения $N=5$ кусков нам потребовалось $N-1=4$ соединительных звена. Разобрав один кусок из 3-х колец, мы получили 3 звена, которых хватило для соединения оставшихся 4-х кусков.

Ответ: 3

9 Концертный зал раньше вмещал 100 рядов кресел, по 24 кресла в каждом ряду. После ремонта зала в каждом ряду стало на 6 кресел больше, но число рядов уменьшилось на 5. Кресел стало больше или меньше, чем было, и на сколько?

Для решения задачи нужно выполнить несколько действий: сначала рассчитать, сколько кресел было в зале изначально, затем — сколько стало после ремонта, и в конце сравнить эти два значения.

1. Вычисляем общее количество кресел до ремонта.

В зале было 100 рядов по 24 кресла в каждом. Чтобы найти общее количество, нужно умножить количество рядов на количество кресел в одном ряду.

$100 \times 24 = 2400$ (кресел)

Итак, до ремонта в зале было 2400 кресел.

2. Вычисляем общее количество кресел после ремонта.

После ремонта количество рядов уменьшилось на 5:

$100 - 5 = 95$ (рядов)

А количество кресел в каждом ряду увеличилось на 6:

$24 + 6 = 30$ (кресел)

Теперь найдем новое общее количество кресел, умножив новое количество рядов на новое количество кресел в ряду:

$95 \times 30 = 2850$ (кресел)

После ремонта в зале стало 2850 кресел.

3. Сравниваем количество кресел и находим разницу.

Сравним количество кресел до (2400) и после (2850) ремонта:

$2850 > 2400$

Количество кресел стало больше. Чтобы узнать, на сколько больше, нужно из нового количества вычесть старое:

$2850 - 2400 = 450$ (кресел)

Ответ: Кресел стало больше на 450.

10 Имеются две деревянные планки длиной 119 см и 35 см. Как разделить их на одинаковые части, не имея под рукой измерительных инструментов? Чему равна длина каждой такой части?

Для решения этой задачи нужно найти наибольшую возможную длину одинаковых частей, на которые можно разделить обе планки без остатка. Эта длина будет равна наибольшему общему делителю (НОД) длин планок. Сам процесс разделения без измерительных инструментов является практической демонстрацией алгоритма Евклида для нахождения НОД.

Чему равна длина каждой такой части?

Чтобы найти длину искомых частей, вычислим наибольший общий делитель (НОД) чисел 119 и 35, используя алгоритм Евклида.

1. Делим большее число на меньшее с остатком:
$119 \div 35 = 3$ (остаток $14$)
Это можно записать как: $119 = 3 \times 35 + 14$

2. Теперь делим предыдущий делитель (35) на полученный остаток (14):
$35 \div 14 = 2$ (остаток $7$)
Это можно записать как: $35 = 2 \times 14 + 7$

3. Повторяем действие: делим предыдущий делитель (14) на новый остаток (7):
$14 \div 7 = 2$ (остаток $0$)
Это можно записать как: $14 = 2 \times 7 + 0$

Процесс завершен, так как остаток равен нулю. Последний ненулевой остаток, который мы получили, — это 7. Следовательно, НОД(119, 35) = 7.

Таким образом, максимальная длина каждой одинаковой части составляет 7 см. Планку длиной 119 см можно будет разделить на $119 \div 7 = 17$ частей, а планку длиной 35 см — на $35 \div 7 = 5$ частей.

Ответ: Длина каждой такой части равна 7 см.

Как разделить их на одинаковые части, не имея под рукой измерительных инструментов?

Этот процесс является физическим воплощением алгоритма Евклида, описанного выше:

1. Возьмите короткую планку (35 см) и приложите её к длинной планке (119 см), начиная от края. Делайте отметки. Короткая планка уложится на длинной 3 раза. После этого на длинной планке останется неотмеченный отрезок. Этот отрезок и есть наш первый остаток (длиной $119 - 3 \times 35 = 14$ см).

2. Теперь возьмите этот отрезок длиной 14 см и используйте его как новую меру. Откладывайте его на короткой планке (35 см). Он уложится 2 раза. Снова останется небольшой отрезок — наш второй остаток (длиной $35 - 2 \times 14 = 7$ см).

3. Возьмите этот последний отрезок длиной 7 см и отложите его на предыдущем отрезке (14 см). Вы увидите, что он укладывается ровно 2 раза, без остатка.

Это означает, что отрезок длиной 7 см является общей мерой для обеих планок. Используя этот самый маленький полученный отрезок как эталон, можно разметить обе исходные планки на равные части по 7 см.

Ответ: Нужно последовательно откладывать меньшую планку (или полученный от неё остаток) на большей. Последний полученный остаток, который разделит предыдущий остаток нацело, и будет эталонной длиной для разметки обеих планок.

1. Велосипедист и пешеход движутся в противоположных направлениях. Скорость велосипедиста $15 \text{ км/ч}$, а скорость пешехода $5 \text{ км/ч}$. На сколько километров они удаляются друг от друга за 1 ч? за 2 ч? за 3 ч? за 8 ч?

$15 \text{ км/ч}$

$5 \text{ км/ч}$

$15 \text{ км}$

$5 \text{ км}$

Для решения этой задачи необходимо найти скорость удаления велосипедиста и пешехода. Так как они движутся в противоположных направлениях, их общая скорость удаления равна сумме их индивидуальных скоростей.

Скорость велосипедиста: $v_1 = 15$ км/ч.

Скорость пешехода: $v_2 = 5$ км/ч.

Скорость удаления $v_{уд}$ вычисляется по формуле:

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 20 километров. Чтобы найти, на сколько километров они удалятся за определенное время $t$, нужно скорость удаления умножить на это время по формуле $S = v_{уд} \cdot t$.

за 1 ч?
Чтобы найти расстояние, на которое они удалятся за 1 час, умножим скорость удаления на время:
$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 20 \text{ км}$.
Ответ: за 1 час они удалятся друг от друга на 20 км.

за 2 ч?
Чтобы найти расстояние, на которое они удалятся за 2 часа, умножим скорость удаления на время:
$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$.
Ответ: за 2 часа они удалятся друг от друга на 40 км.

за 3 ч?
Чтобы найти расстояние, на которое они удалятся за 3 часа, умножим скорость удаления на время:
$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 60 \text{ км}$.
Ответ: за 3 часа они удалятся друг от друга на 60 км.

за 8 ч?
Чтобы найти расстояние, на которое они удалятся за 8 часов, умножим скорость удаления на время:
$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 160 \text{ км}$.
Ответ: за 8 часов они удалятся друг от друга на 160 км.

2 Составь по рисунку задачу, аналогичную задаче 1.

$55 \text{ км/ч}$

$60 \text{ км/ч}$

$55 \text{ км}$

$60 \text{ км}$

Условие задачи

Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля, движущегося налево, составляет 55 км/ч, а скорость второго автомобиля, движущегося направо, — 60 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение (Способ 1)

1. Сначала найдем, какое расстояние проедет первый автомобиль за 3 часа. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$S_1 = v_1 \times t = 55 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 165 \text{ км}$

2. Затем найдем, какое расстояние проедет второй автомобиль за то же время:

$S_2 = v_2 \times t = 60 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 180 \text{ км}$

3. Так как автомобили движутся в противоположных направлениях от одной точки, общее расстояние между ними будет равно сумме расстояний, пройденных каждым автомобилем. Сложим полученные расстояния:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 165 \text{ км} + 180 \text{ км} = 345 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между автомобилями будет 345 км.

Решение (Способ 2)

1. Найдем скорость удаления автомобилей. Поскольку они движутся в противоположных направлениях, скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна сумме их скоростей:

$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 55 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 115 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между автомобилями увеличивается на 115 км.

2. Теперь, чтобы найти расстояние между ними через 3 часа, умножим скорость удаления на время:

$S_{общ} = v_{удаления} \times t = 115 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 345 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между автомобилями будет 345 км.

3 Выполни деление с объяснением. Сделай проверку с помощью калькулятора.

$128 : 32$ $129 : 43$ $212 : 53$ $378 : 63$

$230 : 46$ $147 : 21$ $168 : 84$ $504 : 84$

128 : 32
Объяснение: Чтобы разделить 128 на 32, нужно найти такое число, которое при умножении на 32 даст в результате 128. Это можно сделать методом подбора. Посмотрим на последние цифры: какое число при умножении на 2 даёт число, оканчивающееся на 8? Это может быть 4, так как $2 \times 4 = 8$.
Проверим умножением: $32 \times 4 = 128$.
Результат совпал с делимым, значит, деление выполнено верно.
Проверка с помощью калькулятора: $128 \div 32 = 4$.
Ответ: 4

129 : 43
Объяснение: Для нахождения частного воспользуемся методом подбора. Ищем число, которое при умножении на 3 даст в произведении число, оканчивающееся на 9. Попробуем 3, так как $3 \times 3 = 9$.
Проверим умножением: $43 \times 3 = 129$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $129 \div 43 = 3$.
Ответ: 3

212 : 53
Объяснение: Подберём частное. Ищем число, которое при умножении на 3 даст в произведении число, оканчивающееся на 2. Попробуем 4, так как $3 \times 4 = 12$.
Проверим умножением: $53 \times 4 = 212$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $212 \div 53 = 4$.
Ответ: 4

378 : 63
Объяснение: Подберём частное. Ищем число, которое при умножении на 3 даст в произведении число, оканчивающееся на 8. Попробуем 6, так как $3 \times 6 = 18$.
Проверим умножением: $63 \times 6 = 378$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $378 \div 63 = 6$.
Ответ: 6

230 : 46
Объяснение: Подберём частное. Ищем число, которое при умножении на 6 даст в произведении число, оканчивающееся на 0. Попробуем 5, так как $6 \times 5 = 30$.
Проверим умножением: $46 \times 5 = 230$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $230 \div 46 = 5$.
Ответ: 5

147 : 21
Объяснение: Подберём частное. Ищем число, которое при умножении на 1 даст в произведении число, оканчивающееся на 7. Попробуем 7, так как $1 \times 7 = 7$.
Проверим умножением: $21 \times 7 = 147$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $147 \div 21 = 7$.
Ответ: 7

168 : 84
Объяснение: Подберём частное. Ищем число, которое при умножении на 4 даст в произведении число, оканчивающееся на 8. Попробуем 2, так как $4 \times 2 = 8$.
Проверим умножением: $84 \times 2 = 168$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $168 \div 84 = 2$.
Ответ: 2

504 : 84
Объяснение: Подберём частное. Ищем число, которое при умножении на 4 даст в произведении число, оканчивающееся на 4. Попробуем 6, так как $4 \times 6 = 24$.
Проверим умножением: $84 \times 6 = 504$.
Результат совпал с делимым.
Проверка с помощью калькулятора: $504 \div 84 = 6$.
Ответ: 6

4 В два магазина привезли сахар в мешках одинаковой массы. В первый магазин привезли 12 мешков сахара, а во второй — 9 мешков. Сколько килограммов сахара привезли в каждый магазин, если известно, что во второй магазин привезли сахара на 150 кг меньше, чем в первый?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдём, на сколько мешков сахара в первый магазин привезли больше, чем во второй.
В первый магазин привезли 12 мешков, а во второй — 9. Разница составляет:
$12 - 9 = 3$ (мешка)

2. Определим массу одного мешка сахара.
Из условия задачи известно, что во второй магазин привезли на 150 кг сахара меньше. Эта разница в массе (150 кг) приходится на разницу в количестве мешков (3 мешка). Следовательно, чтобы найти массу одного мешка, нужно общую разницу в массе разделить на разницу в количестве мешков:
$150 \div 3 = 50$ (кг)

3. Вычислим, сколько всего килограммов сахара привезли в первый магазин.
В первый магазин привезли 12 мешков, и мы знаем, что каждый мешок весит 50 кг. Умножим количество мешков на массу одного мешка:
$12 \times 50 = 600$ (кг)

4. Вычислим, сколько всего килограммов сахара привезли во второй магазин.
Во второй магазин привезли 9 мешков по 50 кг каждый. Рассчитаем общую массу:
$9 \times 50 = 450$ (кг)
Также можно проверить результат, вычтя разницу в 150 кг из массы сахара, привезённого в первый магазин:
$600 - 150 = 450$ (кг)
Результаты совпадают.

Ответ: в первый магазин привезли 600 кг сахара, а во второй — 450 кг сахара.