Страница 53, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

7 Вычисли значения выражений.

$465 : 3 + 525 : 5 \cdot 2$

$850 - (200 + 585) : 5 \cdot 3$

$936 : 4 - 616 : 7 : 4$

$340 + (1 000 - 568 : 4) : 6$

$700 : 5 + 294 : 3 : 7$

$100 - 992 : 8 : (76 : 19)$

465 : 3 + 525 : 5 · 2
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем деление и умножение слева направо, а затем сложение.
1) $465 : 3 = 155$
2) $525 : 5 = 105$
3) $105 · 2 = 210$
4) $155 + 210 = 365$
Ответ: 365

850 − (200 + 585) : 5 · 3
Первым действием выполняем операцию в скобках. Затем деление и умножение слева направо. Последним действием — вычитание.
1) $200 + 585 = 785$
2) $785 : 5 = 157$
3) $157 · 3 = 471$
4) $850 - 471 = 379$
Ответ: 379

936 : 4 − 616 : 7 : 4
Сначала выполняем деление слева направо, а затем вычитание.
1) $936 : 4 = 234$
2) $616 : 7 = 88$
3) $88 : 4 = 22$
4) $234 - 22 = 212$
Ответ: 212

340 + (1000 − 568 : 4) : 6
Сначала выполняем действия в скобках, причем деление имеет приоритет над вычитанием. Затем выполняем деление за скобками и, наконец, сложение.
1) $568 : 4 = 142$
2) $1000 - 142 = 858$
3) $858 : 6 = 143$
4) $340 + 143 = 483$
Ответ: 483

700 : 5 + 294 : 3 : 7
Сначала выполняем деление слева направо, а затем сложение.
1) $700 : 5 = 140$
2) $294 : 3 = 98$
3) $98 : 7 = 14$
4) $140 + 14 = 154$
Ответ: 154

100 − 992 : 8 : (76 : 19)
Сначала выполняем действие в скобках. Затем выполняем деление слева направо. Последнее действие — вычитание.
1) $76 : 19 = 4$
2) $992 : 8 = 124$
3) $124 : 4 = 31$
4) $100 - 31 = 69$
Ответ: 69

8 В двух шкафах было 1 000 книг. Когда из одного шкафа взяли 147 книг, а из другого — 49 книг, то в обоих шкафах книг осталось поровну. Сколько книг осталось в каждом шкафу?

1. Сначала найдем, сколько всего книг взяли из двух шкафов. Для этого сложим количество книг, взятых из первого шкафа, и количество книг, взятых из второго:

$147 + 49 = 196$ (книг) — всего взяли из двух шкафов.

2. Затем определим, сколько всего книг осталось в двух шкафах. Для этого из общего начального количества книг вычтем общее количество взятых книг:

$1000 - 196 = 804$ (книги) — всего осталось в двух шкафах.

3. По условию, в обоих шкафах книг осталось поровну. Чтобы найти количество книг в каждом шкафу, разделим общее оставшееся количество на 2:

$804 / 2 = 402$ (книги).

Ответ: в каждом шкафу осталось 402 книги.

9 Фигура, изображённая на рисунке, составлена из 24 спичек. Попробуй убрать 8 спичек так, чтобы оставшиеся спички составили 4 квадрата.

$18 - 4с = $

$18 - (4 - 20)$

$100 : 80 = []$

$32 - (8 : 10)$

$111 - а : (84 + 88)$

$45 + а : (388 + 781)$

$28 + (348 + 88)$

$78 - 1 : (415 + 985)$

Исходная фигура состоит из 24 спичек и представляет собой сетку 3x3, образующую 9 маленьких квадратов.

Условие задачи: Убрать 8 спичек таким образом, чтобы оставшиеся 16 спичек образовали ровно 4 квадрата.

Анализ:

Общее количество спичек: $24$.

Количество спичек, которые нужно убрать: $8$.

Количество оставшихся спичек: $24 - 8 = 16$.

Количество квадратов, которое должно получиться: $4$.

Если бы 4 квадрата были отдельными, они бы потребовали $4 \times 4 = 16$ спичек. Однако из-за соединенной структуры исходной фигуры невозможно получить 4 полностью отдельных квадрата. Следовательно, квадраты должны иметь общие стороны или вершины.

Решение:

Чтобы решить задачу, необходимо убрать по две спички в каждом из четырех углов большой фигуры. Это 8 спичек, которые составляют внешние углы сетки 3x3.

На схеме ниже показаны спички, которые необходимо убрать (выделены красным цветом):

После удаления этих 8 спичек останется следующая фигура из 16 спичек:

Эта фигура состоит из центральной сетки 2x2 и четырех спичек, примыкающих к серединам ее сторон. В центральной сетке 2x2 можно насчитать четыре маленьких квадрата одинакового размера. Хотя они также образуют один большой квадрат размером 2x2, в таких задачах обычно просят посчитать только квадраты наименьшего (единичного) размера.

Ответ: Нужно убрать по две спички с каждого из четырех внешних углов исходной фигуры (всего 8 спичек). В результате останется фигура, содержащая 4 малых квадрата.

1 Вычисли среднее арифметическое чисел:

1) 20, 23, 32, 41;

2) 170, 98, 150, 122, 135;

3) 36, 64, 15, 51, 28, 82.

Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество.

1) Вычислим среднее арифметическое для чисел 20, 23, 32, 41.

Сначала найдем их сумму:

$20 + 23 + 32 + 41 = 116$

Количество чисел равно 4. Теперь разделим сумму на количество:

$116 \div 4 = 29$

Ответ: 29.

2) Вычислим среднее арифметическое для чисел 170, 98, 150, 122, 135.

Сначала найдем их сумму:

$170 + 98 + 150 + 122 + 135 = 675$

Количество чисел равно 5. Теперь разделим сумму на количество:

$675 \div 5 = 135$

Ответ: 135.

3) Вычислим среднее арифметическое для чисел 36, 64, 15, 51, 28, 82.

Сначала найдем их сумму:

$36 + 64 + 15 + 51 + 28 + 82 = 276$

Количество чисел равно 6. Теперь разделим сумму на количество:

$276 \div 6 = 46$

Ответ: 46.

2 Найди среднее арифметическое чисел:

1) 57 и 65;

2) 426 и 432. Изобрази эти числа на соответствующих числовых отрезках. Сделай вывод.

57

65

426

432

1) 57 и 65

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, нужно их сумму разделить на их количество, то есть на 2.

$(57 + 65) \div 2 = 122 \div 2 = 61$

Теперь посмотрим на числовой отрезок. Его концы — это числа 57 и 65. Разность между ними: $65 - 57 = 8$. На отрезке отмечено 8 равных частей (делений). Значит, цена одного деления равна $8 \div 8 = 1$.

Отметим числа на отрезке: 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65.

Среднее арифметическое, число 61, находится ровно посередине этого отрезка. Расстояние от 61 до 57 равно $61 - 57 = 4$. Расстояние от 61 до 65 равно $65 - 61 = 4$.

Ответ: 61.

2) 426 и 432

Найдем среднее арифметическое чисел 426 и 432.

$(426 + 432) \div 2 = 858 \div 2 = 429$

Теперь посмотрим на второй числовой отрезок с концами 426 и 432. Разность между ними: $432 - 426 = 6$. На отрезке отмечено 6 равных частей (делений). Значит, цена одного деления равна $6 \div 6 = 1$.

Отметим числа на отрезке: 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432.

Среднее арифметическое, число 429, также находится ровно посередине этого отрезка. Расстояние от 429 до 426 равно $429 - 426 = 3$. Расстояние от 429 до 432 равно $432 - 429 = 3$.

Ответ: 429.

Вывод

Среднее арифметическое двух чисел на числовом отрезке — это точка, которая является серединой отрезка, соединяющего эти два числа. Эта точка равноудалена от концов отрезка.

2 На стройку доставили на 24 грузовиках песок, по $4\text{ т }50\text{ ц}$ на каждом, а на 35 грузовиках щебень, по $2\text{ т }75\text{ ц}$ на каждом. Сколько всего песка и щебня доставили эти грузовики на стройку?

Для ответа на вопрос задачи необходимо выполнить три действия: найти общую массу песка, найти общую массу щебня и сложить полученные значения.

1. Найдем, сколько всего песка доставили на стройку.

Сначала переведем массу песка, которую перевозит один грузовик, в одну единицу измерения — центнеры. Учтем, что $1 \text{ тонна } = 10 \text{ центнеров}$.

Масса песка в одном грузовике: $4 \text{ т } 50 \text{ ц } = (4 \cdot 10) \text{ ц } + 50 \text{ ц } = 40 \text{ ц } + 50 \text{ ц } = 90 \text{ ц}$.

Теперь умножим массу песка в одном грузовике на количество грузовиков (24):

$90 \text{ ц } \cdot 24 = 2160 \text{ ц}$.

Ответ: всего доставили 2160 центнеров песка.

2. Найдем, сколько всего щебня доставили на стройку.

Аналогично переведем массу щебня в одном грузовике в центнеры:

$2 \text{ т } 75 \text{ ц } = (2 \cdot 10) \text{ ц } + 75 \text{ ц } = 20 \text{ ц } + 75 \text{ ц } = 95 \text{ ц}$.

Теперь умножим массу щебня в одном грузовике на количество грузовиков (35):

$95 \text{ ц } \cdot 35 = 3325 \text{ ц}$.

Ответ: всего доставили 3325 центнеров щебня.

3. Найдем, сколько всего песка и щебня доставили.

Сложим общую массу песка и общую массу щебня, чтобы найти итоговый вес:

$2160 \text{ ц } + 3325 \text{ ц } = 5485 \text{ ц}$.

Результат можно представить в тоннах и центнерах для наглядности:

$5485 \text{ ц } = 548 \text{ т } 5 \text{ ц}$.

Ответ: всего на стройку доставили 5485 центнеров (или 548 т 5 ц) песка и щебня.

3 Вырази в минутах:

24 ч

30 сут.

1 год.

24 ч

Для того чтобы выразить часы в минутах, необходимо использовать соотношение, что в 1 часе содержится 60 минут.

Чтобы найти, сколько минут в 24 часах, нужно умножить количество часов на 60.

$24 \text{ ч} = 24 \times 60 \text{ мин} = 1440 \text{ мин}$

Ответ: 1440 минут.

30 сут.

Для перевода суток в минуты, сначала переведем сутки в часы, а затем часы в минуты. В одних сутках 24 часа, а в одном часе 60 минут.

Сначала вычислим количество минут в одних сутках:

$1 \text{ сут} = 24 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 1440 \text{ мин}$

Теперь умножим полученное значение на 30, чтобы найти количество минут в 30 сутках:

$30 \text{ сут} = 30 \times 1440 \text{ мин} = 43200 \text{ мин}$

Ответ: 43200 минут.

1 год

Чтобы выразить 1 год в минутах, необходимо сначала определить количество дней в году. Будем считать, что год невисокосный, то есть в нем 365 дней (суток).

Как мы уже рассчитали в предыдущем пункте, в одних сутках содержится 1440 минут. Теперь умножим количество дней в году на количество минут в сутках:

$1 \text{ год} = 365 \text{ сут} \times 1440 \frac{\text{мин}}{\text{сут}} = 525600 \text{ мин}$

Ответ: 525 600 минут.

4 Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Один из них проходил в час 35 км, а другой — 42 км. Через 12 ч поезда встретились. Найди расстояние между этими городами.

Для нахождения расстояния между городами можно использовать два способа решения.

Способ 1. Через скорость сближения

1. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем общую скорость, с которой они сближаются (скорость сближения):

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 35 \text{ км/ч} + 42 \text{ км/ч} = 77 \text{ км/ч}$

2. Зная, что поезда встретились через 12 часов, мы можем найти исходное расстояние между ними, умножив скорость сближения на время в пути:

$S = v_{сближения} \times t = 77 \text{ км/ч} \times 12 \text{ ч} = 924 \text{ км}$

Ответ: расстояние между этими городами 924 км.

Способ 2. По действиям

1. Сначала вычислим, какое расстояние проехал первый поезд до встречи:

$S_1 = v_1 \times t = 35 \text{ км/ч} \times 12 \text{ ч} = 420 \text{ км}$

2. Затем вычислим, какое расстояние проехал второй поезд до встречи:

$S_2 = v_2 \times t = 42 \text{ км/ч} \times 12 \text{ ч} = 504 \text{ км}$

3. Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые преодолел каждый поезд. Сложим полученные значения:

$S = S_1 + S_2 = 420 \text{ км} + 504 \text{ км} = 924 \text{ км}$

Ответ: расстояние между этими городами 924 км.

5 Вычисли значение выражения.

$1634 \cdot 87 + 952 \div 28 - 2836 - 99500 \div 500$

Для того чтобы вычислить значение выражения, необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования в выражении (слева направо), а затем выполняются сложение и вычитание (также слева направо).

Исходное выражение:

$1634 \cdot 87 + 952 : 28 - 2836 - 99500 : 500$

Выполним вычисления по действиям:

1. Первое действие (умножение):

   $1634 \cdot 87 = 142158$

2. Второе действие (деление):

   $952 : 28 = 34$

3. Третье действие (деление):

   $99500 : 500 = 199$

Теперь, когда все действия умножения и деления выполнены, подставим их результаты в выражение. Оно примет следующий вид:

$142158 + 34 - 2836 - 199$

Продолжим вычисления, выполняя сложение и вычитание по порядку:

4. Четвертое действие (сложение):

   $142158 + 34 = 142192$

5. Пятое действие (вычитание):

   $142192 - 2836 = 139356$

6. Шестое действие (вычитание):

   $139356 - 199 = 139157$

Таким образом, итоговое значение выражения равно $139157$.

Ответ: $139157$.

6 Проволоку длиной 287 см согнули в виде квадрата. При этом получился остаток длиной 19 см, который пришлось отрезать. Найди длину стороны квадрата. Вычисли площадь этого квадрата.

Найди длину стороны квадрата.
1. Сначала определим, какая часть проволоки была использована для создания квадрата. Для этого из общей длины проволоки вычтем длину отрезанного остатка. Эта длина будет равна периметру квадрата ($P$).
$P = 287 - 19 = 268 \text{ см}$
2. Квадрат имеет четыре одинаковые стороны. Чтобы найти длину одной стороны ($a$), нужно его периметр ($P$) разделить на 4.
$a = P : 4 = 268 : 4 = 67 \text{ см}$
Ответ: длина стороны квадрата равна 67 см.

Вычисли площадь этого квадрата.
Площадь квадрата ($S$) равна квадрату длины его стороны ($a$).
Формула площади: $S = a^2$.
Подставим найденное значение длины стороны:
$S = 67^2 = 67 \times 67 = 4489 \text{ см}^2$
Ответ: площадь этого квадрата равна 4489 см².

$640 \, 400$ $640 \, 040$

$850 \, 500$ $805 \, 500$

$700 \, 100$ $701 \, 000$

$920 \, 001$ $920 \, 010$

$101 \, 000$ $11 \, 010$

$530 \, 000$ $503 \, 003$

640 400 ○ 640 040

Чтобы сравнить два числа, необходимо сравнивать их цифры поразрядно, начиная со старшего разряда (слева направо).
1. Сравниваем разряд сотен тысяч: в обоих числах стоит цифра 6 ($6 = 6$).
2. Сравниваем разряд десятков тысяч: в обоих числах стоит цифра 4 ($4 = 4$).
3. Сравниваем разряд единиц тысяч: в обоих числах стоит цифра 0 ($0 = 0$).
4. Сравниваем разряд сотен: у первого числа это 4, а у второго — 0. Поскольку $4 > 0$, первое число больше второго.
Ответ: $640 400 > 640 040$

700 100 ○ 701 000

Оба числа шестизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.
1. Разряд сотен тысяч: $7 = 7$.
2. Разряд десятков тысяч: $0 = 0$.
3. Разряд единиц тысяч: у первого числа это 0, а у второго — 1. Так как $0 < 1$, то первое число меньше второго.
Ответ: $700 100 < 701 000$

101 000 ○ 11 010

Для сравнения этих чисел достаточно посчитать количество цифр (разрядов) в каждом. Число 101 000 является шестизначным (6 цифр), а число 11 010 — пятизначным (5 цифр). Число, в котором больше разрядов, всегда больше.
Ответ: $101 000 > 11 010$

850 500 ○ 805 500

Оба числа шестизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.
1. Разряд сотен тысяч: $8 = 8$.
2. Разряд десятков тысяч: у первого числа это 5, а у второго — 0. Так как $5 > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $850 500 > 805 500$

920 001 ○ 920 010

Оба числа шестизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.
1. Разряды сотен тысяч, десятков тысяч, единиц тысяч и сотен совпадают (920 0).
2. Сравниваем разряд десятков: у первого числа это 0, а у второго — 1. Так как $0 < 1$, то первое число меньше второго.
Ответ: $920 001 < 920 010$

530 000 ○ 503 003

Оба числа шестизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.
1. Разряд сотен тысяч: $5 = 5$.
2. Разряд десятков тысяч: у первого числа это 3, а у второго — 0. Так как $3 > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $530 000 > 503 003$

8 Масса 7 одинаковых ящиков с яблоками и 5 одинаковых ящиков с виноградом составляет 486 кг, а масса 12 таких же ящиков с яблоками и 5 ящиков с виноградом равна 726 кг. Найди массу одного ящика с яблоками и одного ящика с виноградом.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса одного ящика с яблоками (в кг), а $y$ — масса одного ящика с виноградом (в кг).

На основе условий задачи составим систему из двух линейных уравнений:

1. Масса 7 ящиков с яблоками и 5 ящиков с виноградом составляет 486 кг, что можно записать как:

$7x + 5y = 486$

2. Масса 12 таких же ящиков с яблоками и 5 ящиков с виноградом равна 726 кг, что можно записать как:

$12x + 5y = 726$

Мы получили следующую систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 5y = 486 \\ 12x + 5y = 726 \end{cases} $

Самый простой способ решить эту систему — вычесть первое уравнение из второго. Это позволит нам избавиться от переменной $y$, так как коэффициент при ней одинаковый.

$(12x + 5y) - (7x + 5y) = 726 - 486$

Раскроем скобки:

$12x - 7x + 5y - 5y = 240$

$5x = 240$

Теперь найдем массу одного ящика с яблоками ($x$):

$x = \frac{240}{5}$

$x = 48$

Итак, масса одного ящика с яблоками равна 48 кг.

Теперь подставим найденное значение $x = 48$ в первое уравнение системы, чтобы найти массу одного ящика с виноградом ($y$):

$7 \cdot 48 + 5y = 486$

$336 + 5y = 486$

Выразим $5y$:

$5y = 486 - 336$

$5y = 150$

Найдем $y$:

$y = \frac{150}{5}$

$y = 30$

Таким образом, масса одного ящика с виноградом равна 30 кг.

Ответ: масса одного ящика с яблоками — 48 кг, масса одного ящика с виноградом — 30 кг.

9 Удаву 110 лет. «Сколько тебе лет?» — спросил он у черепахи. Черепаха ответила: «Мне в 10 раз больше, чем было тебе, когда мне было, как тебе сейчас». Сколько лет черепахе?

Ответь

Для решения этой логической задачи введем переменные:
Пусть $Ч$ — это текущий возраст черепахи, который нам нужно найти.
Пусть $У$ — это текущий возраст удава. По условию, $У = 110$ лет.

Решение
Разберем фразу черепахи по частям: «Мне в 10 раз больше, чем было тебе, когда мне было, как тебе сейчас».

1. Сначала определим момент в прошлом, о котором идет речь. Фраза «когда мне было, как тебе сейчас» означает время, когда возраст черепахи был равен нынешнему возрасту удава. То есть, возраст черепахи в прошлом был $У = 110$ лет.

2. Теперь выясним, сколько лет назад это было. Разница между текущим возрастом черепахи ($Ч$) и ее возрастом в прошлом ($У$) составляет $Ч - У$ лет. Следовательно, это событие произошло $Ч - 110$ лет назад.

3. Далее найдем, сколько лет было удаву в тот момент времени. Для этого отнимем от его текущего возраста количество прошедших лет:
Возраст удава в прошлом $= У - (Ч - У) = 2У - Ч$.
Подставим известное значение $У=110$:
Возраст удава в прошлом $= 2 \cdot 110 - Ч = 220 - Ч$.

4. Теперь используем основное условие из фразы: «Мне [сейчас] в 10 раз больше, чем было тебе [тогда]». На основе этого мы можем составить уравнение:
$Ч = 10 \cdot (220 - Ч)$

5. Осталось решить это уравнение, чтобы найти $Ч$:
$Ч = 2200 - 10Ч$
$Ч + 10Ч = 2200$
$11Ч = 2200$
$Ч = \frac{2200}{11}$
$Ч = 200$

Таким образом, текущий возраст черепахи — 200 лет.

Проверка:
Если сейчас черепахе 200 лет, а удаву 110 лет, то момент, "когда черепахе было как удаву сейчас", был $200 - 110 = 90$ лет назад.
90 лет назад удаву было $110 - 90 = 20$ лет.
Сравниваем: текущий возраст черепахи (200 лет) в 10 раз больше, чем возраст удава тогда (20 лет). $200 = 10 \cdot 20$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 200 лет.