Страница 60, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

10 Разгадай ребус и восстанови числовые выражения в рамке, если одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, а разными — разные.

$\begin{array}{r}КУБ \\- БУК \\\hlineЛИК\end{array}$

$ЛИК : К = КК$

Для решения этого ребуса необходимо проанализировать оба числовых выражения. Каждой букве соответствует уникальная цифра от 0 до 9, при этом первая цифра в числе не может быть нулём.

Начнём с анализа выражений по отдельности.

КУБ - БУК = ЛИК

Запишем это выражение, представив числа через их разряды: $ (100 \cdot К + 10 \cdot У + Б) - (100 \cdot Б + 10 \cdot У + К) = ЛИК $.

Упростим левую часть уравнения: $ 100К + 10У + Б - 100Б - 10У - К = 99К - 99Б = 99 \cdot (К - Б) $.

Таким образом, мы получаем важное свойство для числа ЛИК: $ ЛИК = 99 \cdot (К - Б) $. Это означает, что трёхзначное число ЛИК должно быть кратно 99.

ЛИК : К = КК

Это выражение можно переписать в виде умножения: $ ЛИК = К \cdot КК $.

Число $КК$ — это двузначное число с одинаковыми цифрами, которое можно записать как $ 10 \cdot К + К = 11 \cdot К $.

Подставим это в предыдущее равенство: $ ЛИК = К \cdot (11 \cdot К) = 11 \cdot К^2 $.

Теперь объединим выводы из анализа обоих выражений:

$ ЛИК = 99 \cdot (К - Б) $

$ ЛИК = 11 \cdot К^2 $

Приравняем правые части этих равенств: $ 99 \cdot (К - Б) = 11 \cdot К^2 $.

Разделим обе части на 11: $ 9 \cdot (К - Б) = К^2 $.

Из этого уравнения следует, что $К^2$ должно делиться на 9. Это возможно только если сама цифра $К$ делится на 3. Так как $К$ — первая цифра в числе КУБ, она не может быть нулём. Следовательно, возможные значения для $К$: 3, 6, 9.

Проверим каждое из этих значений:

• Если $К=3$, то $3^2 = 9 \cdot (3 - Б) \implies 9 = 9 \cdot (3 - Б) \implies 1 = 3 - Б \implies Б = 2$. Тогда найдём число ЛИК: $ЛИК = 11 \cdot 3^2 = 11 \cdot 9 = 99$. Но ЛИК — трёхзначное число, поэтому этот вариант не подходит.
• Если $К=6$, то $6^2 = 9 \cdot (6 - Б) \implies 36 = 9 \cdot (6 - Б) \implies 4 = 6 - Б \implies Б = 2$. Найдём число ЛИК: $ЛИК = 11 \cdot 6^2 = 11 \cdot 36 = 396$. Проверим, соответствуют ли буквы цифрам: $Л=3, И=9, К=6$. Все цифры (3, 9, 6, 2) разные, что соответствует условию. Этот вариант является решением.
• Если $К=9$, то $9^2 = 9 \cdot (9 - Б) \implies 81 = 9 \cdot (9 - Б) \implies 9 = 9 - Б \implies Б = 0$. Найдём число ЛИК: $ЛИК = 11 \cdot 9^2 = 11 \cdot 81 = 891$. Проверим соответствие букв и цифр: $Л=8, И=9, К=1$. Но мы исходили из того, что $К=9$. Получаем противоречие ($К$ не может быть одновременно 9 и 1), поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, мы нашли единственно верное решение: $К=6, Б=2, Л=3, И=9$. Цифра, обозначенная буквой $У$, может быть любой, не совпадающей с уже найденными (2, 3, 6, 9), например, $У=0, 1, 4, 5, 7, 8$, так как член $10 \cdot У$ сокращается при вычитании.

Восстановим исходные числовые выражения.

КУБ - БУК = ЛИК

Подставляем найденные значения: $К=6, Б=2, Л=3, И=9$. Для $У$ возьмем, например, 1.
$612 - 216 = 396$.
Ответ: $612 - 216 = 396$.

ЛИК : К = КК

Подставляем значения: $Л=3, И=9, К=6$.
$396 : 6 = 66$.
Ответ: $396 : 6 = 66$.

1 Рассмотри рисунок и назови речные суда в порядке увеличения их скоростей.

$19 \text{ км/ч}$

$30 \text{ км/ч}$

$40 \text{ км/ч}$

$10 \text{ км/ч}$

Чтобы назвать речные суда в порядке увеличения их скоростей, необходимо сравнить числовые значения скоростей, которые указаны под каждым судном на рисунке.

На рисунке представлены следующие суда и их скорости:

1. Моторная лодка (коричневая) — $19 \text{ км/ч}$.

2. Катер (желтый) — $30 \text{ км/ч}$.

3. Пассажирский теплоход (голубой) — $40 \text{ км/ч}$.

4. Грузовая баржа (красная) — $10 \text{ км/ч}$.

Теперь сравним эти скорости и расположим их в порядке возрастания (от наименьшей к наибольшей):

$10 \text{ км/ч} < 19 \text{ км/ч} < 30 \text{ км/ч} < 40 \text{ км/ч}$.

Сопоставив скорости с судами, получим искомый порядок:

- Грузовая баржа ($10 \text{ км/ч}$)

- Моторная лодка ($19 \text{ км/ч}$)

- Катер ($30 \text{ км/ч}$)

- Пассажирский теплоход ($40 \text{ км/ч}$)

Ответ: грузовая баржа, моторная лодка, катер, пассажирский теплоход.

2 Скорость полёта пчелы $21 \text{ км/ч}$, а скорость полёта шмеля в 7 раз меньше. С какой скоростью летит шмель?

По условию задачи, скорость полёта пчелы составляет 21 км/ч. Скорость полёта шмеля в 7 раз меньше. Чтобы найти скорость шмеля, необходимо скорость пчелы разделить на 7.

Выполним вычисление:
$21 \div 7 = 3$ (км/ч).

Следовательно, шмель летит со скоростью 3 км/ч.
Ответ: 3 км/ч.

3 На поезде за час проехали 36 км, на велосипеде — в 3 раза меньше, а на мотоцикле — в 3 раза больше, чем на поезде. Сколько километров проехали на мотоцикле?

Сформулируй условие и вопрос этой задачи, используя слово скорость. Реши задачу.

Скорость поезда: $36$ км/ч.

Скорость велосипеда: в $3$ раза меньше скорости поезда.

Скорость мотоцикла: в $3$ раза больше скорости поезда.

Какова скорость мотоцикла?

1. Скорость мотоцикла равна:

$36 \times 3 = 108$ (км/ч)

Ответ: $108$ км/ч.

Сформулируй условие и вопрос этой задачи, используя слово скорость.

Поскольку расстояние, пройденное за единицу времени (1 час), является скоростью движения, условие и вопрос задачи можно сформулировать так:

Условие: Скорость поезда равна 36 км/ч. Скорость велосипедиста в 3 раза меньше скорости поезда, а скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости поезда.

Вопрос: Какова скорость мотоциклиста?

Ответ: Условие: Скорость поезда — 36 км/ч, скорость мотоциклиста — в 3 раза больше, а скорость велосипедиста — в 3 раза меньше скорости поезда. Вопрос: Какова скорость мотоциклиста?

Реши задачу.

В задаче дано, что на поезде за час проехали 36 км. На мотоцикле проехали в 3 раза большее расстояние за то же время. Чтобы найти расстояние, которое проехали на мотоцикле, нужно расстояние, пройденное на поезде, умножить на 3.

1) $36 \times 3 = 108$ (км) — расстояние, которое проехали на мотоцикле.

Информация о велосипеде (в 3 раза меньше) является избыточной для ответа на вопрос задачи.

Ответ: на мотоцикле проехали 108 километров.

4 Выполни вычисления в столбик.

$648 + 275$

$981 - 547$

$854 - 799$

$273 + 328$

$69 + 273$

$197 + 406$

$124 \cdot 6$

$912 : 3$

648 + 275

Для выполнения сложения в столбик запишем числа одно под другим так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

1. Складываем единицы: $8 + 5 = 13$. 3 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем и переносим в разряд десятков.

2. Складываем десятки: $4 + 7 + 1$ (запомненный) $= 12$. 2 пишем под десятками, а 1 сотню запоминаем и переносим в разряд сотен.

3. Складываем сотни: $6 + 2 + 1$ (запомненная) $= 9$. 9 пишем под сотнями.

$\begin{array}{r}+\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} \overset{1}{6}\overset{1}{4}8 \\ 275 \\ \hline 923 \end{array}$

Ответ: 923

981 - 547

Для выполнения вычитания в столбик запишем вычитаемое под уменьшаемым, выравнивая разряды.

1. Вычитаем единицы: из 1 вычесть 7 нельзя. Занимаем 1 десяток у 8 десятков (остается 7 десятков). $10 + 1 - 7 = 4$. Пишем 4 под единицами.

2. Вычитаем десятки: теперь у нас 7 десятков. $7 - 4 = 3$. Пишем 3 под десятками.

3. Вычитаем сотни: $9 - 5 = 4$. Пишем 4 под сотнями.

$\begin{array}{r}-\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} 9\overset{\cdot}{8}1 \\ 547 \\ \hline 434 \end{array}$

Ответ: 434

854 - 799

Запишем числа в столбик.

1. Вычитаем единицы: из 4 вычесть 9 нельзя. Занимаем 1 десяток у 5 десятков (остается 4 десятка). $14 - 9 = 5$. Пишем 5.

2. Вычитаем десятки: осталось 4 десятка, из них вычесть 9 нельзя. Занимаем 1 сотню у 8 сотен (остается 7 сотен). $10 + 4 - 9 = 5$. Пишем 5.

3. Вычитаем сотни: осталось 7 сотен. $7 - 7 = 0$. Ноль в начале числа не пишем.

$\begin{array}{r}-\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} \overset{\cdot}{8}\overset{\cdot}{5}4 \\ 799 \\ \hline 55 \end{array}$

Ответ: 55

273 + 328

Запишем числа в столбик.

1. Складываем единицы: $3 + 8 = 11$. 1 пишем под единицами, 1 десяток переносим в следующий разряд.

2. Складываем десятки: $7 + 2 + 1$ (из переноса) $= 10$. 0 пишем под десятками, 1 сотню переносим в следующий разряд.

3. Складываем сотни: $2 + 3 + 1$ (из переноса) $= 6$. Пишем 6 под сотнями.

$\begin{array}{r}+\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} \overset{1}{2}\overset{1}{7}3 \\ 328 \\ \hline 601 \end{array}$

Ответ: 601

69 + 273

Запишем числа в столбик, выравнивая по правому краю (единицы под единицами, десятки под десятками).

1. Складываем единицы: $9 + 3 = 12$. 2 пишем под единицами, 1 десяток переносим в разряд десятков.

2. Складываем десятки: $6 + 7 + 1$ (из переноса) $= 14$. 4 пишем под десятками, 1 сотню переносим в разряд сотен.

3. Складываем сотни: $2 + 1$ (из переноса) $= 3$. Пишем 3 под сотнями.

$\begin{array}{r}+\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} \overset{1}{2}\overset{1}{7}3 \\ 69 \\ \hline 342 \end{array}$

Ответ: 342

197 + 406

Запишем числа в столбик.

1. Складываем единицы: $7 + 6 = 13$. 3 пишем под единицами, 1 десяток переносим в разряд десятков.

2. Складываем десятки: $9 + 0 + 1$ (из переноса) $= 10$. 0 пишем под десятками, 1 сотню переносим в разряд сотен.

3. Складываем сотни: $1 + 4 + 1$ (из переноса) $= 6$. Пишем 6 под сотнями.

$\begin{array}{r}+\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} \overset{1}{1}\overset{1}{9}7 \\ 406 \\ \hline 603 \end{array}$

Ответ: 603

124 · 6

Запишем числа в столбик для умножения.

1. Умножаем единицы: $4 \cdot 6 = 24$. 4 пишем в результат, 2 десятка запоминаем.

2. Умножаем десятки: $2 \cdot 6 = 12$. Прибавляем 2 из переноса: $12 + 2 = 14$. 4 пишем в результат, 1 сотню запоминаем.

3. Умножаем сотни: $1 \cdot 6 = 6$. Прибавляем 1 из переноса: $6 + 1 = 7$. Пишем 7 в результат.

$\begin{array}{r}\times\\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{r} \overset{1}{1}\overset{2}{2}4 \\ 6 \\ \hline 744 \end{array}$

Ответ: 744

912 : 3

Выполним деление в столбик (уголком).

1. Находим первое неполное делимое — 9. Делим 9 на 3, получаем 3. Записываем 3 в частное. Умножаем $3 \cdot 3 = 9$. Вычитаем 9 из 9, получаем 0.

2. Сносим следующую цифру — 1. Делим 1 на 3. Так как $1 < 3$, в частное записываем 0. Умножаем $0 \cdot 3 = 0$. Вычитаем 0 из 1, получаем 1.

3. Сносим следующую цифру — 2. Получаем 12. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем 4 в частное. Умножаем $4 \cdot 3 = 12$. Вычитаем 12 из 12, получаем 0. Деление завершено.

$\begin{array}{r|l} 912 & 3 \\ \hline -9 \downarrow \phantom{2} & 304 \\ \hline 01 \downarrow \\ -0 \downarrow \\ \hline 12 \\ -12 \\ \hline 0 \end{array}$

Ответ: 304

5 Сравни.

9 м 90 см 99 см 10 дм 4 $м^2$ 400 $дм^2$ 2 ч 150 мин

3 дм 30 м 18 дм 20 м 8 $м^2$ 800 $см^2$ 320 мин 6 ч

9 м ... 90 см

Чтобы сравнить эти значения, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры. В одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Вычислим, сколько сантиметров в 9 метрах: $9 \text{ м} = 9 \times 100 \text{ см} = 900 \text{ см}$.
Теперь сравним $900 \text{ см}$ и $90 \text{ см}$. Очевидно, что $900 > 90$.
Следовательно, $9 \text{ м}$ больше, чем $90 \text{ см}$.

Ответ: $9 \text{ м} > 90 \text{ см}$

3 дм ... 30 м

Для сравнения приведем оба значения к дециметрам. В одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
Переведем 30 метров в дециметры: $30 \text{ м} = 30 \times 10 \text{ дм} = 300 \text{ дм}$.
Теперь сравним $3 \text{ дм}$ и $300 \text{ дм}$. Так как $3 < 300$, то $3 \text{ дм}$ меньше, чем $30 \text{ м}$.

Ответ: $3 \text{ дм} < 30 \text{ м}$

99 см ... 10 дм

Приведем значения к сантиметрам. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).
Переведем 10 дециметров в сантиметры: $10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$.
Сравним $99 \text{ см}$ и $100 \text{ см}$. Так как $99 < 100$, то $99 \text{ см}$ меньше, чем $10 \text{ дм}$.

Ответ: $99 \text{ см} < 10 \text{ дм}$

18 дм ... 20 м

Приведем оба значения к одной единице измерения, например, к дециметрам. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Переведем 20 метров в дециметры: $20 \text{ м} = 20 \times 10 \text{ дм} = 200 \text{ дм}$.
Сравним $18 \text{ дм}$ и $200 \text{ дм}$. Так как $18 < 200$, то $18 \text{ дм}$ меньше, чем $20 \text{ м}$.

Ответ: $18 \text{ дм} < 20 \text{ м}$

4 м² ... 400 дм²

Для сравнения площадей приведем их к одной единице измерения. Вспомним, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Чтобы найти соотношение квадратных единиц, возведем это равенство в квадрат: $1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Теперь переведем 4 квадратных метра в квадратные дециметры: $4 \text{ м}^2 = 4 \times 100 \text{ дм}^2 = 400 \text{ дм}^2$.
Сравниваем $400 \text{ дм}^2$ и $400 \text{ дм}^2$. Эти значения равны.

Ответ: $4 \text{ м}^2 = 400 \text{ дм}^2$

8 м² ... 800 см²

Приведем квадратные метры к квадратным сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Следовательно, для площадей: $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10000 \text{ см}^2$.
Переведем 8 квадратных метров в квадратные сантиметры: $8 \text{ м}^2 = 8 \times 10000 \text{ см}^2 = 80000 \text{ см}^2$.
Теперь сравним $80000 \text{ см}^2$ и $800 \text{ см}^2$. Так как $80000 > 800$, то $8 \text{ м}^2$ больше, чем $800 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ м}^2 > 800 \text{ см}^2$

2 ч ... 150 мин

Чтобы сравнить время, приведем часы к минутам. В одном часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
Переведем 2 часа в минуты: $2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$.
Сравним $120 \text{ мин}$ и $150 \text{ мин}$. Так как $120 < 150$, то 2 часа меньше, чем 150 минут.

Ответ: $2 \text{ ч} < 150 \text{ мин}$

320 мин ... 6 ч

Приведем часы к минутам для удобства сравнения. Мы знаем, что $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
Переведем 6 часов в минуты: $6 \text{ ч} = 6 \times 60 \text{ мин} = 360 \text{ мин}$.
Теперь сравним $320 \text{ мин}$ и $360 \text{ мин}$. Так как $320 < 360$, то 320 минут меньше, чем 6 часов.

Ответ: $320 \text{ мин} < 6 \text{ ч}$

1 От станции отправился поезд дальнего следования со скоростью 50 км/ч. Через 2 ч от той же станции вслед за ним вышла электричка со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов электричка догонит поезд?

Для решения этой задачи сначала определим, какое расстояние успел проехать поезд за 2 часа, пока электричка стояла на станции. Затем вычислим скорость, с которой электричка догоняет поезд, и, наконец, найдем время, необходимое для преодоления начального расстояния с этой скоростью.

1. Найдем расстояние, которое проехал поезд за 2 часа. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$S_{поезда} = v_{поезда} \cdot t_{форы}$

$S_{поезда} = 50 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 100 \text{ км}$

Таким образом, к моменту отправления электрички, поезд уже отъехал от станции на 100 км.

2. Найдем скорость сближения. Так как электричка движется быстрее и в том же направлении, она догоняет поезд. Скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_{электрички} - v_{поезда}$

$v_{сближения} = 75 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 25 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними сокращается на 25 км.

3. Теперь найдем время, за которое электричка покроет расстояние в 100 км со скоростью сближения 25 км/ч. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{S_{поезда}}{v_{сближения}}$

$t_{встречи} = \frac{100 \text{ км}}{25 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Следовательно, электричка догонит поезд через 4 часа после своего отправления.

Ответ: 4 часа.