Страница 64, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

5 Вычисли удобным способом.

$175 + 143 + 105 + 57$

$146 + 32 + 54 + 168 + 27$

$123 + 74 + 257 + 26 + 20$

$154 + 65 + 46 + 135 + 18$

$175 + 143 + 105 + 57$

Чтобы вычислить сумму удобным способом, сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами. Для этого воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения.
Сгруппируем числа, которые в сумме дают число, оканчивающееся на 0: $175$ и $105$ (так как $5+5=10$), а также $143$ и $57$ (так как $3+7=10$).
$175 + 143 + 105 + 57 = (175 + 105) + (143 + 57)$
Вычислим суммы в скобках:
$175 + 105 = 280$
$143 + 57 = 200$
Теперь сложим полученные результаты:
$280 + 200 = 480$
Ответ: 480

$146 + 32 + 54 + 168 + 27$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений.
Сгруппируем $146$ и $54$ (так как $6+4=10$), а также $32$ и $168$ (так как $2+8=10$).
$146 + 32 + 54 + 168 + 27 = (146 + 54) + (32 + 168) + 27$
Вычислим суммы в скобках:
$146 + 54 = 200$
$32 + 168 = 200$
Теперь сложим все вместе:
$200 + 200 + 27 = 400 + 27 = 427$
Ответ: 427

$123 + 74 + 257 + 26 + 20$

Сгруппируем слагаемые, суммы которых являются круглыми числами.
Сгруппируем $123$ и $257$ (так как $3+7=10$), а также $74$ и $26$ (так как $4+6=10$).
$123 + 74 + 257 + 26 + 20 = (123 + 257) + (74 + 26) + 20$
Вычислим суммы в скобках:
$123 + 257 = 380$
$74 + 26 = 100$
Сложим полученные результаты и оставшееся число:
$380 + 100 + 20 = 480 + 20 = 500$
Ответ: 500

$154 + 65 + 46 + 135 + 18$

Найдем удобные пары для сложения.
Сгруппируем $154$ и $46$ (так как $4+6=10$), а также $65$ и $135$ (так как $5+5=10$).
$154 + 65 + 46 + 135 + 18 = (154 + 46) + (65 + 135) + 18$
Вычислим суммы в скобках:
$154 + 46 = 200$
$65 + 135 = 200$
Теперь сложим все вместе:
$200 + 200 + 18 = 400 + 18 = 418$
Ответ: 418

6 На диаграмме показана продолжительность жизни яблони, ели, ольхи и пихты.

($900\;000$) ($35 : 17$) ($169 + 18 \times 9$)

$м^2$

300 л.

280 Найди неизвестн

С помощью этой диаграммы узнай, сколько лет живёт каждое дерево, если известно, что продолжительность жизни пихты составляет 300 лет.

Ответь на вопросы:

1) На сколько лет дольше живёт ель, чем ольха?

2) На сколько лет меньше живёт яблоня, чем пихта?

Для начала определим, какому количеству лет соответствует одно деление на диаграмме. Из условия известно, что продолжительность жизни пихты (П) составляет 300 лет. На диаграмме столбец для пихты состоит из 6 одинаковых делений.

Вычислим, сколько лет приходится на одно деление:

$300 \text{ лет} \div 6 \text{ делений} = 50 \text{ лет на деление}$

Теперь мы можем определить продолжительность жизни каждого дерева, посчитав количество делений в соответствующем столбце и умножив его на 50:

• Яблоня (Я): 1 деление, $1 \times 50 = 50$ лет.
• Ель (Е): 10 делений, $10 \times 50 = 500$ лет.
• Ольха (О): 3 деления, $3 \times 50 = 150$ лет.
• Пихта (П): 6 делений, $6 \times 50 = 300$ лет.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

1) На сколько лет дольше живёт ель, чем ольха?

Чтобы найти разницу, нужно из продолжительности жизни ели вычесть продолжительность жизни ольхи.

$500 - 150 = 350$ (лет)

Ответ: Ель живёт на 350 лет дольше, чем ольха.

2) На сколько лет меньше живёт яблоня, чем пихта?

Чтобы найти разницу, нужно из продолжительности жизни пихты вычесть продолжительность жизни яблони.

$300 - 50 = 250$ (лет)

Ответ: Яблоня живёт на 250 лет меньше, чем пихта.

7 В буфете детского театра во время антракта было продано 40 шоколадных медалей и столько же шоколадных батончиков на сумму 1 000 р. Сколько стоит один шоколадный батончик, если одна шоколадная медаль стоит 15 р.?

Для того чтобы найти стоимость одного шоколадного батончика, необходимо выполнить несколько действий.

1. Вычислим общую стоимость проданных шоколадных медалей.

Известно, что было продано 40 шоколадных медалей, и цена каждой составляет 15 рублей. Умножим количество медалей на их цену:

$40 \times 15 = 600$ (р.)

Таким образом, общая стоимость всех проданных медалей равна 600 рублей.

2. Найдем общую стоимость проданных шоколадных батончиков.

Общая выручка от продажи медалей и батончиков составила 1000 рублей. Чтобы найти, какая сумма была получена за батончики, вычтем из общей суммы стоимость медалей:

$1000 - 600 = 400$ (р.)

Следовательно, общая стоимость всех проданных батончиков составляет 400 рублей.

3. Определим стоимость одного шоколадного батончика.

В условии сказано, что батончиков было продано столько же, сколько и медалей, то есть 40 штук. Чтобы найти цену одного батончика, разделим их общую стоимость на их количество:

$400 \div 40 = 10$ (р.)

Ответ: один шоколадный батончик стоит 10 рублей.

8 Вычисли значения выражений.

$174 \cdot 5 : 3$

$(414 - 135) : 3 \cdot 7$

$(932 - 256) : (68 : 17)$

$246 : 6 \cdot 4$

$(906 - 258) : 6 \cdot 9$

$(540 - 465) : 3 - 25$

174 · 5 : 3
В выражении присутствуют действия одного порядка (умножение и деление), поэтому выполняем их последовательно слева направо.
1) Сначала выполним умножение: $174 \cdot 5 = 870$
2) Затем выполним деление: $870 : 3 = 290$
Ответ: 290

246 : 6 · 4
В выражении присутствуют действия одного порядка (деление и умножение), поэтому выполняем их последовательно слева направо.
1) Сначала выполним деление: $246 : 6 = 41$
2) Затем выполним умножение: $41 \cdot 4 = 164$
Ответ: 164

(414 – 135) : 3 · 7
Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем значение в скобках, а затем выполняем деление и умножение слева направо.
1) Выполним вычитание в скобках: $414 - 135 = 279$
2) Выполним деление: $279 : 3 = 93$
3) Выполним умножение: $93 \cdot 7 = 651$
Ответ: 651

(906 – 258) : 6 · 9
Сначала выполняем действие в скобках, затем оставшиеся действия (деление и умножение) по порядку слева направо.
1) Выполним вычитание в скобках: $906 - 258 = 648$
2) Выполним деление: $648 : 6 = 108$
3) Выполним умножение: $108 \cdot 9 = 972$
Ответ: 972

(932 – 256) : (68 : 17)
Сначала выполняем действия в каждой из скобок, а затем делим результат первого действия на результат второго.
1) Выполним вычитание в первых скобках: $932 - 256 = 676$
2) Выполним деление во вторых скобках: $68 : 17 = 4$
3) Выполним деление результатов: $676 : 4 = 169$
Ответ: 169

(540 – 465) : 3 – 25
Порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем деление, затем вычитание.
1) Выполним вычитание в скобках: $540 - 465 = 75$
2) Выполним деление: $75 : 3 = 25$
3) Выполним вычитание: $25 - 25 = 0$
Ответ: 0

9 Два участка земли одинаковой площади обнесены заборами. Первый участок имеет форму квадрата с длиной стороны 20 м, а второй — форму прямоугольника, ширина которого равна 8 м. На каком участке забор длиннее и на сколько метров?

Для решения задачи необходимо найти и сравнить периметры двух участков. Длина забора равна периметру участка.

1. Найдем площадь первого (квадратного) участка.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.
$S_{квадрата} = 20 \text{ м} \times 20 \text{ м} = 400 \text{ м}^2$.

2. Найдем размеры второго (прямоугольного) участка.
По условию, площади участков одинаковы, значит, площадь второго участка также составляет $400 \text{ м}^2$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ – его длина и ширина. Зная ширину (8 м), найдем длину:
$a = S / b = 400 \text{ м}^2 / 8 \text{ м} = 50 \text{ м}$.
Таким образом, второй участок имеет размеры 50 м на 8 м.

3. Вычислим периметры обоих участков.
- Периметр первого участка (квадрата): $P_1 = 4 \times a = 4 \times 20 \text{ м} = 80 \text{ м}$.
- Периметр второго участка (прямоугольника): $P_2 = 2 \times (a + b) = 2 \times (50 \text{ м} + 8 \text{ м}) = 2 \times 58 \text{ м} = 116 \text{ м}$.

Теперь, зная длины заборов (80 м и 116 м), ответим на вопросы задачи.

На каком участке забор длиннее
Сравниваем периметры: $116 \text{ м} > 80 \text{ м}$. Следовательно, забор на втором (прямоугольном) участке длиннее.

Ответ: забор длиннее на втором участке.

и на сколько метров?
Чтобы найти, на сколько забор длиннее, вычтем из большей длины меньшую:
$116 \text{ м} - 80 \text{ м} = 36 \text{ м}$.

Ответ: на 36 метров.

10 Сумма трёх последовательных чисел равна 105. Найди эти числа.

Для того чтобы найти три последовательных числа, сумма которых равна 105, можно воспользоваться алгебраическим методом.

Пусть наименьшее из этих трёх чисел равно $x$. Так как числа последовательные, то следующее за ним будет $x+1$, а третье число будет $x+2$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел составляет 105. Составим уравнение:

$x + (x+1) + (x+2) = 105$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в левой части:

$3x + 3 = 105$

Далее, вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$3x = 105 - 3$

$3x = 102$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{102}{3}$

$x = 34$

Таким образом, первое (наименьшее) число равно 34. Теперь найдём остальные два числа:
Второе число: $x + 1 = 34 + 1 = 35$
Третье число: $x + 2 = 34 + 2 = 36$

Искомые числа: 34, 35 и 36.

Также можно решить эту задачу арифметически. Сумма трёх последовательных чисел, делённая на их количество (3), даёт среднее из этих чисел.

$105 \div 3 = 35$

Значит, среднее число равно 35. Предыдущее число — это $35 - 1 = 34$, а следующее — $35 + 1 = 36$.

Проверим полученный результат: $34 + 35 + 36 = 105$. Сумма верна.

Ответ: 34, 35, 36.

19. Из двух посёлков, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость первого пешехода 5 км/ч, а скорость второго 4 км/ч. Через сколько часов пешеходы встретятся?

Это задача на встречное движение. Чтобы определить, через сколько часов пешеходы встретятся, нужно сначала вычислить их общую скорость сближения. Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме их скоростей.

1. Найдём скорость сближения пешеходов.
Скорость первого пешехода $v_1 = 5$ км/ч.
Скорость второго пешехода $v_2 = 4$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Теперь, зная расстояние между посёлками ($S = 27$ км) и скорость сближения, найдём время до встречи ($t$) по формуле $t = S / v_{сбл}$.
$t = 27 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 3$ часа.

Ответ: пешеходы встретятся через 3 часа.

20. Через сколько часов два пешехода окажутся друг от друга на расстоянии 32 км, если они выйдут одновременно из одного пункта и пойдут в противоположных направлениях, первый — со скоростью 3 км/ч, а второй — со скоростью 5 км/ч?

Для решения этой задачи необходимо определить, с какой скоростью пешеходы удаляются друг от друга. Так как они вышли из одного пункта и движутся в противоположных направлениях, их общая скорость удаления равна сумме их индивидуальных скоростей.

1. Найдем скорость удаления пешеходов.

Скорость первого пешехода $v_1 = 3$ км/ч.

Скорость второго пешехода $v_2 = 5$ км/ч.

Скорость удаления $v_{уд}$ вычисляется по формуле:

$v_{уд} = v_1 + v_2$

$v_{уд} = 3 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

Таким образом, каждый час расстояние между пешеходами увеличивается на 8 километров.

2. Найдем время, через которое расстояние между ними составит 32 км.

Чтобы найти время $t$, нужно общее расстояние $S$ разделить на скорость удаления $v_{уд}$.

Формула для нахождения времени: $t = \frac{S}{v_{уд}}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{32 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Следовательно, через 4 часа пешеходы окажутся на расстоянии 32 км друг от друга.

Ответ: через 4 часа.

21. Расстояние между пристанями 196 км. От них одновременно навстречу друг другу вышли катер и моторная лодка, которые встретились через 4 ч. Найди скорость моторной лодки, если скорость катера 27 км/ч.

Для решения этой задачи используется понятие скорости сближения. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они сближаются, равна сумме их индивидуальных скоростей.

1. Находим скорость сближения катера и моторной лодки.

Чтобы найти скорость сближения ($v_{сбл}$), нужно общее расстояние ($S = 196$ км) разделить на время, через которое они встретились ($t = 4$ ч).

$v_{сбл} = S / t$

$v_{сбл} = 196 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 49 \text{ км/ч}$

Таким образом, катер и моторная лодка сближались со скоростью 49 км/ч.

2. Находим скорость моторной лодки.

Скорость сближения является суммой скоростей катера ($v_{к} = 27$ км/ч) и моторной лодки ($v_{л}$).

$v_{сбл} = v_{к} + v_{л}$

Чтобы найти неизвестную скорость моторной лодки, нужно из общей скорости сближения вычесть известную скорость катера.

$v_{л} = v_{сбл} - v_{к}$

Подставляем известные значения:

$v_{л} = 49 \text{ км/ч} - 27 \text{ км/ч} = 22 \text{ км/ч}$

Ответ: 22 км/ч.

22. Из двух сёл, расстояние между которыми $40 \text{ км}$, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста $15 \text{ км/ч}$, а скорость автобуса $35 \text{ км/ч}$. Через сколько часов автобус догонит велосипедиста?

Для решения этой задачи необходимо найти скорость сближения автобуса и велосипедиста. Так как они движутся в одном направлении, скорость сближения будет равна разности их скоростей.

Обозначим:
Скорость автобуса $V_а = 35$ км/ч.
Скорость велосипедиста $V_в = 15$ км/ч.
Начальное расстояние между ними $S = 40$ км.

1. Найдем скорость сближения ($V_{сбл}$):
$V_{сбл} = V_а - V_в = 35 \text{ км/ч} - 15 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.
Это означает, что каждый час расстояние между автобусом и велосипедистом сокращается на 20 км.

2. Теперь найдем время ($t$), через которое автобус догонит велосипедиста. Для этого нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{40 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Таким образом, автобус догонит велосипедиста через 2 часа.
Ответ: 2 часа.

23. Составь и реши задачу по чертежу.

$49 \text{ км/ч}$

$52 \text{ км/ч}$

$?$

Условие задачи:

Из двух пунктов, расстояние между которыми 303 км, одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Скорость одного поезда 49 км/ч, а скорость другого — 52 км/ч. Через сколько часов поезда встретятся?

Решение:

Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, необходимо сначала определить их общую скорость сближения. Затем, зная общее расстояние, можно вычислить время.

1. Найдем скорость сближения поездов. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 49 \text{ км/ч} + 52 \text{ км/ч} = 101 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между поездами уменьшается на 101 километр.

2. Теперь, чтобы найти время до встречи ($t$), нужно разделить первоначальное расстояние ($S$) на скорость сближения ($v_{сближения}$):

$t = S / v_{сближения}$

$t = 303 \text{ км} / 101 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: поезда встретятся через 3 часа.

24. Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста $68 \text{ км/ч}$, а скорость второго $74 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?

Для того чтобы найти расстояние между мотоциклистами через 3 часа, нужно сначала определить, на какое расстояние они сблизятся за это время, а затем вычесть это расстояние из первоначального.

1. Найдём скорость сближения мотоциклистов.

Поскольку мотоциклисты движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения $V_{сбл}$ равна сумме скоростей первого $V_1$ и второго $V_2$ мотоциклистов.

$V_{сбл} = V_1 + V_2 = 68 \text{ км/ч} + 74 \text{ км/ч} = 142 \text{ км/ч}$

2. Найдём расстояние, на которое мотоциклисты сблизятся за 3 часа.

Чтобы найти это расстояние $S_{сбл}$, нужно скорость сближения умножить на время в пути $t$.

$S_{сбл} = V_{сбл} \times t = 142 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 426 \text{ км}$

3. Найдём расстояние, которое будет между мотоциклистами через 3 часа.

Для этого из первоначального расстояния между городами $S$ вычтем расстояние, на которое они сблизились.

$S_{ост} = S - S_{сбл} = 500 \text{ км} - 426 \text{ км} = 74 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между мотоциклистами будет 74 км.

25. Вычисли значения выражений.

$55\ 987 \cdot (59 \cdot 90 - 177 \cdot 30)$

$73\ 280 - 7\ 328 + 30\ 280$

$89\ 500 + 47 \cdot 300 - 3\ 600$

$4 \cdot (8\ 725 - 7\ 852) \cdot 100 - 9\ 200$

$(294\ 511 - 286\ 411) : 27 - 300$

$(98 + 333 \cdot 10 - 3\ 298) \cdot 100$

55 987 ⋅ (59 ⋅ 90 − 177 ⋅ 30)

1. Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок первым делом выполняем умножение:
$59 \cdot 90 = 5310$
$177 \cdot 30 = 5310$

2. Теперь выполняем вычитание в скобках:
$5310 - 5310 = 0$

3. Наконец, умножаем результат на число за скобками:
$55 987 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

73 280 − 7 328 + 30 280

1. В этом выражении только сложение и вычитание, поэтому выполняем действия по порядку слева направо:
$73 280 - 7 328 = 65 952$

2. Затем выполняем сложение:
$65 952 + 30 280 = 96 232$

Ответ: 96 232

89 500 + 47 ⋅ 300 − 3 600

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение:
$47 \cdot 300 = 14 100$

2. Теперь выполняем сложение и вычитание по порядку слева направо:
$89 500 + 14 100 = 103 600$

3. Выполняем вычитание:
$103 600 - 3 600 = 100 000$

Ответ: 100 000

4 ⋅ (8 725 − 7 852) ⋅ 100 − 9 200

1. Сначала выполняем действие в скобках:
$8 725 - 7 852 = 873$

2. Теперь выполняем умножение слева направо:
$4 \cdot 873 = 3 492$
$3 492 \cdot 100 = 349 200$

3. Наконец, выполняем вычитание:
$349 200 - 9 200 = 340 000$

Ответ: 340 000

(294 511 − 286 411) : 27 − 300

1. Сначала выполняем вычитание в скобках:
$294 511 - 286 411 = 8 100$

2. Затем выполняем деление:
$8 100 : 27 = 300$

3. Выполняем вычитание:
$300 - 300 = 0$

Ответ: 0

(98 + 333 ⋅ 10 − 3 298) ⋅ 100

1. Сначала выполняем действия в скобках. Первым делом умножение:
$333 \cdot 10 = 3 330$

2. Теперь выполняем сложение и вычитание в скобках слева направо:
$98 + 3 330 = 3 428$
$3 428 - 3 298 = 130$

3. Умножаем результат на число за скобками:
$130 \cdot 100 = 13 000$

Ответ: 13 000