Страница 70, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

6 Вычисли значения выражений.

$630 - 110 \cdot (90 : 18)$

$283 + 356 + 44 + 120 + 117$

$(470 - 290) : 9 \cdot 10$

$160 + 126 + 340 + 74 + 118$

630 − 110 ⋅ (90 : 18)
Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение или деление, а после — сложение или вычитание.
1. Первым действием выполним деление в скобках:
$90 : 18 = 5$
2. Теперь выражение выглядит так: $630 - 110 \cdot 5$. Следующим действием выполняем умножение:
$110 \cdot 5 = 550$
3. Последним действием выполняем вычитание:
$630 - 550 = 80$
Ответ: 80

(470 − 290) : 9 ⋅ 10
В этом выражении сначала выполняем действие в скобках, а затем деление и умножение в порядке их следования (слева направо).
1. Выполним вычитание в скобках:
$470 - 290 = 180$
2. Теперь выражение имеет вид: $180 : 9 \cdot 10$. Выполним деление:
$180 : 9 = 20$
3. Завершаем вычисление умножением:
$20 \cdot 10 = 200$
Ответ: 200

283 + 356 + 44 + 120 + 117
Для удобства вычисления можно применить переместительный закон сложения и сгруппировать слагаемые так, чтобы их суммы были "круглыми" числами.
1. Сгруппируем слагаемые:
$(283 + 117) + (356 + 44) + 120$
2. Вычислим суммы в каждой группе:
$283 + 117 = 400$
$356 + 44 = 400$
3. Сложим полученные результаты и оставшееся слагаемое:
$400 + 400 + 120 = 800 + 120 = 920$
Ответ: 920

160 + 126 + 340 + 74 + 118
В этом выражении также воспользуемся группировкой слагаемых для упрощения расчетов.
1. Сгруппируем слагаемые:
$(160 + 340) + (126 + 74) + 118$
2. Вычислим суммы в скобках:
$160 + 340 = 500$
$126 + 74 = 200$
3. Сложим полученные результаты с оставшимся числом:
$500 + 200 + 118 = 700 + 118 = 818$
Ответ: 818

7 Два смежных участка земли прямоугольной формы имеют одинаковую ширину 9 м и общую длину 35 м. Площадь первого участка равна 243 $м^2$. Найди площадь второго участка земли.

9 м

243 $м^2$

35 м

Для решения этой задачи можно использовать два подхода. Рассмотрим оба.

Способ 1: Через нахождение длин участков

1. Сначала найдем длину первого участка. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Из этой формулы можно выразить длину: $a = S \div b$.
По условию, площадь первого участка ($S_1$) равна 243 м², а его ширина ($b$) – 9 м. Найдем длину первого участка ($a_1$):
$a_1 = 243 \text{ м}^2 \div 9 \text{ м} = 27 \text{ м}$

2. Теперь найдем длину второго участка ($a_2$). Общая длина двух участков составляет 35 м. Чтобы найти длину второго участка, нужно из общей длины вычесть длину первого:
$a_2 = 35 \text{ м} - 27 \text{ м} = 8 \text{ м}$

3. Наконец, вычислим площадь второго участка ($S_2$). Его ширина такая же, как у первого, и равна 9 м, а его длину мы нашли — 8 м.
$S_2 = a_2 \cdot b = 8 \text{ м} \cdot 9 \text{ м} = 72 \text{ м}^2$

Ответ: 72 м².

Способ 2: Через нахождение общей площади

1. Сначала найдем общую площадь двух участков, рассматривая их как один большой прямоугольник. Общая длина этого прямоугольника равна 35 м, а ширина — 9 м. Вычислим общую площадь ($S_{общ}$):
$S_{общ} = 35 \text{ м} \cdot 9 \text{ м} = 315 \text{ м}^2$

2. Общая площадь равна сумме площадей первого ($S_1$) и второго ($S_2$) участков. Площадь первого участка нам известна — 243 м². Чтобы найти площадь второго участка, вычтем из общей площади площадь первого:
$S_2 = S_{общ} - S_1 = 315 \text{ м}^2 - 243 \text{ м}^2 = 72 \text{ м}^2$

Ответ: 72 м².

8 За 3 кг персиков заплатили 285 р., а за 2 кг инжира — на 25 р. меньше. Сколько стоит 1 кг персиков? 1 кг инжира?

Сколько стоит 1 кг персиков?

Чтобы найти стоимость одного килограмма персиков, необходимо общую стоимость, уплаченную за персики (285 р.), разделить на их вес (3 кг).

$285 \div 3 = 95$ (р.)

Ответ: 1 кг персиков стоит 95 рублей.

Сколько стоит 1 кг инжира?

Сначала определим стоимость 2 кг инжира. По условию, она на 25 рублей меньше стоимости 3 кг персиков (285 р.).

$285 - 25 = 260$ (р.)

Теперь, зная, что 2 кг инжира стоят 260 рублей, найдем стоимость 1 кг инжира, разделив их общую стоимость на вес.

$260 \div 2 = 130$ (р.)

Ответ: 1 кг инжира стоит 130 рублей.

9 Сравни.

$8 \text{ м } 25 \text{ см } \quad 80 \text{ дм}$

$3 \text{ м } 16 \text{ см } \quad 30 \text{ дм}$

$670 \text{ дм } \quad 67 \text{ м}$

$502 \text{ см } \quad 52 \text{ дм}$

$18 \text{ дм } \quad 1 \text{ м } 8 \text{ дм}$

$4 \text{ м } 3 \text{ дм } \quad 430 \text{ см}$

8 м 25 см ◯ 80 дм

Чтобы сравнить эти величины, приведем их к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см). Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

Переведем 8 м 25 см в сантиметры: $8 \text{ м} 25 \text{ см} = 8 \times 100 \text{ см} + 25 \text{ см} = 825 \text{ см}$.

Переведем 80 дм в сантиметры: $80 \text{ дм} = 80 \times 10 \text{ см} = 800 \text{ см}$.

Теперь сравним полученные значения: $825 \text{ см} > 800 \text{ см}$. Следовательно, 8 м 25 см больше, чем 80 дм.

Ответ: $8 \text{ м} 25 \text{ см} > 80 \text{ дм}$.

3 м 16 см ◯ 30 дм

Приведем обе величины к сантиметрам (см), используя те же соотношения: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

Переведем 3 м 16 см в сантиметры: $3 \text{ м} 16 \text{ см} = 3 \times 100 \text{ см} + 16 \text{ см} = 316 \text{ см}$.

Переведем 30 дм в сантиметры: $30 \text{ дм} = 30 \times 10 \text{ см} = 300 \text{ см}$.

Сравниваем: $316 \text{ см} > 300 \text{ см}$. Таким образом, 3 м 16 см больше, чем 30 дм.

Ответ: $3 \text{ м} 16 \text{ см} > 30 \text{ дм}$.

670 дм ◯ 67 м

Для сравнения приведем обе величины к дециметрам (дм). В одном метре 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

Первая величина уже в дециметрах: 670 дм.

Переведем 67 м в дециметры: $67 \text{ м} = 67 \times 10 \text{ дм} = 670 \text{ дм}$.

Сравниваем: $670 \text{ дм} = 670 \text{ дм}$. Величины равны.

Ответ: $670 \text{ дм} = 67 \text{ м}$.

502 см ◯ 52 дм

Приведем обе величины к сантиметрам (см). В одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

Первая величина уже в сантиметрах: 502 см.

Переведем 52 дм в сантиметры: $52 \text{ дм} = 52 \times 10 \text{ см} = 520 \text{ см}$.

Сравниваем: $502 \text{ см} < 520 \text{ см}$. Значит, 502 см меньше, чем 52 дм.

Ответ: $502 \text{ см} < 52 \text{ дм}$.

18 дм ◯ 1 м 8 дм

Приведем обе величины к дециметрам (дм), используя соотношение $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

Первая величина: 18 дм.

Переведем 1 м 8 дм в дециметры: $1 \text{ м} 8 \text{ дм} = 1 \times 10 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 18 \text{ дм}$.

Сравниваем: $18 \text{ дм} = 18 \text{ дм}$. Величины равны.

Ответ: $18 \text{ дм} = 1 \text{ м} 8 \text{ дм}$.

4 м 3 дм ◯ 430 см

Приведем обе величины к сантиметрам (см). Используем соотношения $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

Переведем 4 м 3 дм в сантиметры: $4 \text{ м} 3 \text{ дм} = 4 \times 100 \text{ см} + 3 \times 10 \text{ см} = 400 \text{ см} + 30 \text{ см} = 430 \text{ см}$.

Вторая величина уже в сантиметрах: 430 см.

Сравниваем: $430 \text{ см} = 430 \text{ см}$. Величины равны.

Ответ: $4 \text{ м} 3 \text{ дм} = 430 \text{ см}$.

10 Геологи выехали в экспедицию 29 мая в 14 ч и находились в пути 4 суток и 20 ч. Когда они прибыли к месту назначения?

Чтобы найти дату и время прибытия, нужно к дате и времени отправления (29 мая в 14 часов) прибавить продолжительность пути (4 суток и 20 часов).

Для удобства вычислений можно сначала сложить часы, а затем — сутки.

1. Складываем часы: к времени отправления (14 часов) прибавляем часы в пути (20 часов).
$14 \text{ часов} + 20 \text{ часов} = 34 \text{ часа}$.

2. Преобразуем полученные часы в сутки. В одних сутках 24 часа.
$34 \text{ часа} = 24 \text{ часа} + 10 \text{ часов} = 1 \text{ сутки и } 10 \text{ часов}$.
Из этого следует, что время прибытия будет 10 часов.

3. Теперь складываем все сутки: 4 полных суток, которые геологи были в пути, и 1 сутки, которые мы получили при сложении часов.
$4 \text{ суток} + 1 \text{ сутки} = 5 \text{ суток}$.

4. Определяем дату прибытия. Для этого к дате отправления (29 мая) прибавляем общее количество суток в пути (5 суток).
В мае 31 день. От 29 мая до конца месяца остается 2 дня (30 и 31 мая).
$5 \text{ суток} - 2 \text{ суток} = 3 \text{ суток}$.
Значит, еще 3 дня пути придутся на следующий месяц — июнь. Таким образом, дата прибытия — 3 июня.

Объединив полученные данные, мы выясняем, что геологи прибыли к месту назначения 3 июня в 10 часов.

Ответ: 3 июня в 10 часов.

1 (Устно.)

1) Какое число надо прибавить к числу 238, чтобы получить 705?

2) Какое число надо уменьшить в 12 раз, чтобы получилось 6? 7? 9?

3) В каком числе 3 раза содержится число 27?

4) Какое число надо вычесть из числа 184, чтобы получить 125?

5) Чему равно делимое, если делитель 7, частное 12, остаток 4?

1) Какое число надо прибавить к числу 238, чтобы получить 705?
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Пусть искомое число – это $x$. Тогда можно составить уравнение: $238 + x = 705$.
Чтобы найти $x$, вычтем 238 из 705:
$x = 705 - 238$
$x = 467$
Проверка: $238 + 467 = 705$.
Ответ: 467.

2) Какое число надо уменьшить в 12 раз, чтобы получилось 6? 7? 9?
Чтобы найти исходное число (делимое), которое уменьшили (то есть разделили) в 12 раз, необходимо результат (частное) умножить на 12. Рассчитаем для каждого случая:
- Если получилось 6, то исходное число равно $6 \times 12 = 72$.
- Если получилось 7, то исходное число равно $7 \times 12 = 84$.
- Если получилось 9, то исходное число равно $9 \times 12 = 108$.
Ответ: 72; 84; 108.

3) В каком числе 3 раза содержится число 27?
Эта задача сводится к нахождению произведения чисел 27 и 3. Чтобы найти число, в котором 27 содержится 3 раза, нужно 27 умножить на 3.
$27 \times 3 = 81$
Это значит, что $81 \div 27 = 3$.
Ответ: 81.

4) Какое число надо вычесть из числа 184, чтобы получить 125?
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Обозначим искомое число через $x$. Тогда получаем уравнение: $184 - x = 125$.
Найдем $x$:
$x = 184 - 125$
$x = 59$
Проверка: $184 - 59 = 125$.
Ответ: 59.

5) Чему равно делимое, если делитель 7, частное 12, остаток 4?
Для нахождения делимого при делении с остатком используется формула: Делимое = (Делитель $\times$ Частное) + Остаток.
Подставим данные значения в формулу:
Делимое = $(7 \times 12) + 4$
Сначала выполняем умножение в скобках:
$7 \times 12 = 84$
Затем к результату прибавляем остаток:
$84 + 4 = 88$
Таким образом, искомое делимое равно 88.
Ответ: 88.

2 Альбом стоит 96 р., а записная книжка — 24 р.

1) На сколько рублей записная книжка дешевле альбома?

2) Во сколько раз альбом дороже записной книжки?

1) На сколько рублей записная книжка дешевле альбома?
Для того чтобы определить, на сколько рублей записная книжка дешевле альбома, необходимо из стоимости альбома вычесть стоимость записной книжки.
Стоимость альбома: 96 р.
Стоимость записной книжки: 24 р.
Выполним вычитание:
$96 - 24 = 72$ (р.)
Ответ: записная книжка дешевле альбома на 72 рубля.

2) Во сколько раз альбом дороже записной книжки?
Чтобы узнать, во сколько раз альбом дороже записной книжки, нужно стоимость альбома разделить на стоимость записной книжки.
Выполним деление:
$96 / 24 = 4$
Ответ: альбом дороже записной книжки в 4 раза.

10 Два поезда отправились одновременно навстречу друг другу из двух городов. Скорость первого поезда $85 \text{ км/ч}$, а скорость второго $60 \text{ км/ч}$. Через $3 \text{ ч}$ после отправления расстояние между поездами было равно $290 \text{ км}$. Найди расстояние между этими городами. Через сколько часов после отправления поезда встретятся?

$85 \text{ км/ч}$

$60 \text{ км/ч}$

$290 \text{ км}$

?

Для решения задачи нам даны следующие условия:

• Скорость первого поезда $v_1 = 85 \text{ км/ч}$
• Скорость второго поезда $v_2 = 60 \text{ км/ч}$
• Время в пути $t = 3 \text{ ч}$
• Расстояние между поездами через 3 часа $S_{ост} = 290 \text{ км}$

1. Сначала найдем скорость сближения поездов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 85 + 60 = 145 \text{ км/ч}$

2. Теперь рассчитаем, какое расстояние поезда прошли вместе за 3 часа. Для этого умножим скорость сближения на время в пути:
$S_{пройд} = v_{сбл} \times t = 145 \times 3 = 435 \text{ км}$

3. Общее расстояние между городами равно сумме расстояния, которое поезда уже проехали, и расстояния, которое между ними осталось:
$S_{общ} = S_{пройд} + S_{ост} = 435 + 290 = 725 \text{ км}$

Ответ: расстояние между этими городами 725 км.

Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, нужно общее расстояние между городами разделить на скорость сближения.

Мы уже знаем общее расстояние ($S_{общ} = 725 \text{ км}$) и скорость сближения ($v_{сбл} = 145 \text{ км/ч}$).
$t_{встр} = S_{общ} / v_{сбл} = 725 / 145 = 5 \text{ ч}$

Ответ: поезда встретятся через 5 часов после отправления.

11 Какая фигура на чертеже лишняя? Объясни почему.

1

2

3

4

Какая фигура на чертеже лишняя?

Лишней является фигура, изображенная под номером 4.

Ответ: 4.

Объясни почему.

Существует несколько верных объяснений, но наиболее строгое из них связано с расположением центров окружностей.

Во всех фигурах, кроме четвертой, центры синей и красной окружностей не совпадают. В фигуре 4 центры обеих окружностей находятся в одной и той же точке. Такие окружности с общим центром называются концентрическими.

Это можно также выразить математически. Если обозначить радиус большой (синей) окружности как $R$, радиус малой (красной) окружности как $r$, а расстояние между их центрами как $d$, то для каждой фигуры будет справедливо следующее:

• Фигура 1 (внутреннее касание): расстояние между центрами равно разности радиусов, $d = R - r$.
• Фигура 2 (пересечение): расстояние между центрами больше разности, но меньше суммы радиусов, $R - r < d < R + r$.
• Фигура 3 (внешнее касание): расстояние между центрами равно сумме радиусов, $d = R + r$.
• Фигура 4 (концентрические): расстояние между центрами равно нулю, $d = 0$.

Таким образом, только в фигуре 4 расстояние между центрами равно нулю, в то время как в фигурах 1, 2 и 3 оно всегда больше нуля ($d > 0$). Это и является ключевым отличием.

Другое объяснение: на рисунках 1, 2 и 3 окружности имеют общие точки (касаются или пересекаются), а на рисунке 4 общих точек у окружностей нет.

Ответ: Лишняя фигура — 4, потому что только на ней изображены концентрические окружности (окружности с общим центром), в отличие от всех остальных фигур, где центры не совпадают.

12 Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14. Сколько чашек чаю выпили три купчихи вместе? Сколько чашек чаю выпила каждая купчиха?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество чашек чая, выпитых каждой купчихой:

• Пусть $С$ — количество чашек, которые выпила Сосипатра Титовна.
• Пусть $О$ — количество чашек, которые выпила Олимпиада Карповна.
• Пусть $П$ — количество чашек, которые выпила Поликсена Уваровна.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

$С + О = 11$

$П + О = 15$

$С + П = 14$

Сколько чашек чаю выпили три купчихи вместе?

Чтобы найти общее количество выпитых чашек, сложим все три уравнения:

$(С + О) + (П + О) + (С + П) = 11 + 15 + 14$

Сгруппируем переменные:

$2С + 2О + 2П = 40$

Вынесем 2 за скобки:

$2(С + О + П) = 40$

Теперь найдем сумму $С + О + П$, которая и является общим количеством чашек:

$С + О + П = 40 / 2 = 20$

Таким образом, все три купчихи вместе выпили 20 чашек чая.

Ответ: 20 чашек.

Сколько чашек чаю выпила каждая купчиха?

Теперь, зная общее количество чашек ($С + О + П = 20$), мы можем найти, сколько выпила каждая купчиха, вычитая из общей суммы количество чашек, выпитых двумя другими.

• Чтобы найти, сколько чашек выпила Поликсена Уваровна ($П$), вычтем из общего количества то, что выпили Сосипатра и Олимпиада вместе ($С + О = 11$):

  $П = (С + О + П) - (С + О) = 20 - 11 = 9$ чашек.

• Чтобы найти, сколько чашек выпила Сосипатра Титовна ($С$), вычтем из общего количества то, что выпили Поликсена и Олимпиада вместе ($П + О = 15$):

  $С = (С + О + П) - (П + О) = 20 - 15 = 5$ чашек.

• Чтобы найти, сколько чашек выпила Олимпиада Карповна ($О$), вычтем из общего количества то, что выпили Сосипатра и Поликсена вместе ($С + П = 14$):

  $О = (С + О + П) - (С + П) = 20 - 14 = 6$ чашек.

Проверим решение:

Сосипатра и Олимпиада: $5 + 6 = 11$ (верно).

Поликсена и Олимпиада: $9 + 6 = 15$ (верно).

Сосипатра и Поликсена: $5 + 9 = 14$ (верно).

Ответ: Сосипатра Титовна выпила 5 чашек, Олимпиада Карповна — 6 чашек, а Поликсена Уваровна — 9 чашек.